(1) Утверждение на другой стороне этой карточка истинно.
Перевернув карточку на другую сторону, вы увидите надпись:
(2) Утверждение на другой стороне этой карточки ложно.
Парадокс заключается в следующем. Если первое утверждение истинно, то второе утверждение истинно (так как в первом утверждении говорится, что второе утверждение истинно).
Следовательно, первое утверждение ложно (так как во втором утверждении говорится, что первое утверждение ложно). Если же первое утверждение ложно, то второе утверждение ложно.
Следовательно, первое утверждение не ложно, а истинно.
Таким образом, первое утверждение истинно в том и только в том случае, если оно ложно, а это невозможно.
255. Еще один вариант.
В другом варианте парадокса лжецов на карточке написаны следующие три утверждения:
(1) Это утверждение содержит пять слов.
(2) Это утверждение содержит восемь слов.
(3) Ровно одно утверждение на этой карточке истинно.
Утверждение (1) заведомо истинно, а утверждение (2)
заведомо ложно. Проблема возникает в связи с утверждением (3). Если утверждение (3) истинно, то на карточке - два истинных утверждения, а именно утверждение (3) и утверждение (1), вопреки тому, о чем говорится в утверждении (3). Следовательно, утверждение (3) должно быть ложно. С другой стороны, если утверждение (3) ложно, то утверждение (1) единственное истинное утверждение на карточке, а это означает, что утверждение (3) должно быть истинным! Итак, утверждение (3) истинно в том и только в том случае, если оно ложно.
[Примечание. Где ошибка в рассуждениях во всех этих парадоксах? Вопрос этот весьма тонкий и довольно спорный. Некоторые (главным образом философы, а не математики) считают совершенно недопустимым любое утверждение, содержащее ссылку на себя. Подсчитав число входящих в него слов, вы убедитесь, что оно истинно.]
Утверждение "это утверждение содержит шесть слов" ложно, тем не менее смысл его ясен, и значение истинности устанавливается без труда: в нем говорится, что число входящих в него слов равно шести, тогда как их только пять.
Никаких сомнений относительно смысла утверждений в обоих рассмотренных нами примерах не возникает. Рассмотрим теперь следующее утверждение:
Это утверждение истинно.
Оно не приводит ни к каким парадоксам. Никаких противоречий не возникает независимо от того, предположим ли мы, что оно истинно, или будем считать его ложным. Тем не менее это утверждение не имеет смысла по следующим причинам.
Всякий раз, когда возникает необходимость установить, что означает истинность какого-нибудь утверждения, мы начинаем с выяснения того, что означает само утверждение. Например, пусть X - утверждение "дважды два - четыре". Прежде чем я смогу понять, что означает истинность утверждения X, мне необходимо выяснить, что означает каждое из входящих в X слов и в чем заключается смысл самого утверждения X. В данном случае я знаю, что означает каждое слово, входящее в X, и мне ясен смысл утверждения X: в нем говорится, что дважды два равно четырем. Поскольку мне известно, что дважды два действительно равно четырем, то я знаю, что X должно быть истинно. Но я не мог бы знать, что X истинно, если бы не знал, что дважды два - четыре. Более того, я бы не мог знать, что означает истинность утверждения X, если бы не знал, что означает утверждение "дважды два - четыре". Приведенный мною пример отчетливо показывает, что истинность утверждения "X истинно" зависит от того, что означает утверждение X. Если же X устроено так, что его значение зависит от истинности утверждения "X истинно", то мы оказываемся в ловушке, ибо ходим по кругу.
Именно так и устроено внешне безобидное утверждение "это утверждение истинно". Прежде чем я смогу понять, что означает истинность этого утверждения, мне необходимо понять, что означает само утверждение. О чем в нем говорится? B нем сообщается лишь, что оно истинно, а я еще не знаю, что означает для данного утверждения быть истинным. Я не могу узнать, что означает истинность данного утверждения (не говоря уже о том, что мне не известно, истинно оно или ложно), пока не узнаю, что оно означает а узнать, что оно означает, я не могу до тех пор, пока не узнаю, что означает его истинность. Таким образом, наше утверждение не содержит никакой информации. Такие утверждения принято называть не вполне обоснованными.
Парадокс лжеца (и все его варианты) основан на использовании необоснованных утверждений. (Необоснованными я называю для краткости не вполне обоснованные утверждения.) B задаче 253 ("Парадокс лжеца") не обосновано утверждение "это утверждение ложно". В задаче 254 ("Парадокс Журдэна") не обоснованы утверждения на обеих сторонах карточки. В задаче 255 ("Еще один вариант") два утверждения вполне обоснованы, а третье не обосновано.
Заметим, кстати, что теперь мы можем сказать гораздо больше относительно того, в каком месте допустил ошибку в своих рассуждениях претендент на руку Порции N-й (см. гл. 5 о шкатулках Порции). Все ее предки по материнской линии использовали только вполне обоснованные утверждения, а Порция N-я, желая подшутить над своим пылким поклонником, искусно использовала необоснованные утверждения. Та же ошибка встречается и в ряде доказательствах, приведенных в начале предыдущей главы.
256. Что вы скажете?
Вернемся к нашим добрым старым друзьям Беллини и Челлини из истории о шкатулках Порции. Эти два замечательных мастера не только изготовляли шкатулки, но и гравировали на их крышках различные надписи. Челлини на своих шкатулках гравировал ложные утверждения, а Беллини украшал крышки шкатулок своей работы истинными утверждениями. Предположим, что, кроме Беллини и Челлини, в те далекие времена никто не гравировал надписей на крышках шкатулок (их сыновья занимались изготовлением шкатулок, но не умели гравировать).
Вам встретилась шкатулка, на крышке которой выгравировано:
Эту надпись выгравировал Челлини
Чей это автограф? Если бы надпись оставил Челлини, то это означало бы, что он выгравировал истинное утверждение, и мы пришли бы к противоречию. Если бы надпись оставил Беллини, то это означало бы, что он выгравировал ложное утверждение, и мы опять пришли бы к противоречию. Кто же оставил надпись?
Вы не можете ответить на вопрос, сославшись на то, что утверждение "эту надпись выгравировал Челлини" не обосновано. Оно вполне обосновано. Оно сообщает нам некий исторический факт, а именно что эта надпись была выгравирована Челлини. Если надпись действительно была сделана рукой Челлини, то она истинна. Если ее сделал другой мастер, то она ложна. В чем здесь дело?
Трудность возникла из-за того, что я снабдил вас противоречивой информацией. Если бы вам действительно попалась в руки шкатулка с надписью "Эту надпись выгравировал Челлини" на крышке, то это означало бы, что либо Челлини в стародавние времена иногда гравировал не только ложные, но и истинные утверждения (вопреки тому, что я вам о нем говорил), либо по крайней мере, что некогда существовал какой-то другой мастер, гравировавший иногда на крышках шкатулок ложные утверждения (опять-таки вопреки тем сведениям, которые вы получили от меня). Следовательно, перед нами не подлинный парадокс, а своего рода жульническая проделка.
Кстати, вам все еще не удалось выяснить, как называется эта книга?
257. Утопить или повесить?
Эта головоломка известна довольно широко. Некто совершил преступление, караемое смертной казнью. На суде ему предоставляется последнее слово. Он должен произнести одно утверждение. Если оно окажется истинным, преступника утопят. Если же оно будет ложным, преступника повесят.
Какое утверждение он должен высказать, чтобы привести палачей в полное замешательство?
258. Парадокс цирюльника.
Приведу еще один хорошо известный парадокс. В небольшом городке цирюльник бреет всех, кто не бреется сам, и не бреет никого из тех, кто бреется сам. Бреет ли цирюльник самого себя? Если цирюльник бреет самого себя, то тем самым он нарушает правило, так как бреет одного из тех, кто бреется сам. Если же цирюльник не бреет самого себя, то он опять-таки нарушает правило, так как не бреет одного из тех, кто не бреется сам. Что делать цирюльнику?
259. Что вы на это скажете?
Один из островов рыцарей и лжецов малонаселен: на нем живут только два туземца A и B. Они высказали следующие утверждения:
A: B - лжец.
B: A - рыцарь.
Кто такой A: рыцарь или лжец? A что можно сказать о B?
Решения задач 257, 258, 259.
257. Преступник должен сказать: "Я буду повешен".
258. Ничего: существование такого цирюльника логически невозможно.
259. В ответ на вопросы задачи вам следует заявить, что автор опять лжет! Описанная мною ситуация невозможна. В действительности эта задача представляет собой не что иное, как парадокс Журдэна в слегка "загримированном" виде (см.
задачу 254).
Если бы A был рыцарем, то B в действительности был бы рыцарем. Следовательно, A в действительности не рыцарь.
