Гёдель впервые доказал свою теорему для системы "Principia Mathematica" Уайтхеда и Расселла, но предложенное им доказательство, как я уже говорил, допускает перенос и на многие другие системы. Во всех этих системах существует вполне определенное множество выражений, называемых предложениями, которые подразделяются на истинные и ложные. Некоторые истинные предложения приняты за аксиомы системы. Точный перечень правил вывода позволяет доказывать (выводить из аксиом) одни предложения и опровергать другие.
Помимо предложений система содержит имена различных множеств (целых и положительных) чисел. Любое множества чисел, наделенное в рассматриваемой системе именем, можно назвать именуемым, или определимым, множеством системы (в предыдущей задаче такие множества скрывались под псевдонимом "учтенные множества"). Весьма существенно, что все предложения можно перенумеровать, а все определимые множества перечислить по порядку. Это означает, что математическая система удовлетворяет условиям E1, E2, C и H нашей задачи. (Номер, присваиваемый каждому предложению, - в задаче мы называли его просто номером - в математической логике известен подназванием гёделевого номера предложения.) Доказать, что система удовлетворяет условиям C и H, очень просто. Доказательство того, что система удовлетворяет условиям E1 и E2, в принципе несложно /* Напомним условие H. Для любого числа n существует высказывание, утверждающее, что n - экстраординарное число. Это высказывание (как и всякое другое предложение)
имеет гёделев номер. Обозначим его n*. Оказывается, что для любого определимого множества A множество B всех чисел n, для которых n* принадлежит A, также определимо.
Поскольку геделев номер n* сопряжен с числом n, то тем самым условие H выполнено.*/, но довольно громоздко. Коль скоро доказано, что система удовлетворяет всем четырем условиям, они позволяют построить предложение, которое истинно, но недоказуемо (невыводимо) в данной системе.
Это предложение можно представлять себе как некоторое предложение X, содержащее утверждение о своей недоказуемости. Такое предложение действительно должно быть истинно, но недоказуемо (подобно тому как житель острова G, утверждавший, что он непризнанный рыцарь, действительно был рыцарем, но не был признанным рыцарем).
Возможно, вы спросите: но если известно, что предложение X (содержащее утверждение о своей недоказуемости) истинно, то почему бы не принять его за новую аксиому? Разумеется, мы можем пополнить список аксиом системы еще одной аксиомой, но расширенная система также будет удовлетворять условиям E1, E2, C и H. Следовательно, в ней найдется другое предложение X1, которое будет истинным, но недоказуемым в расширенной системе. Таким образом, хотя расширенная система позволяет доказать больше истинных предложений, чем старая, тем не менее и в ней доказать все истинные предложения невозможно.
Должен сказать, что мое изложение метода Гёделя отличается от первоначального доказательства теоремы, предложенного самим Гёделем. Основное отличие состоит в том, что я использую понятие истинности, отсутствующее у Гёделя.
Действительно, в первоначальном виде теорема Гёделя не содержит утверждения о существовании в системе истинного, но недоказуемого (невыводимого) предложения. В ней говорится нечто иное: при некотором правдоподобном допущении относительно системы в ней непременно существует предложение (и Гёдель демонстрирует такое предложение), которое в рамках системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть.
Понятие истинности было строго формализовано логиком Альфредом Тарским. Он доказал, что для математических систем, удовлетворяющих условиям теоремы Гёделя, множество гёделевых номеров истинных предложений неопределимо в системе. Иногда этот результат формулируют так: "Во всякой достаточно мощной системе истинность предложений системы неопределима в рамках самой системы".
271. Последнее слово.
Рассмотрим следующий парадокс:
Это предложение недоказуемо.
Парадокс состоит в следующем. Если это предложение ложно, то не верно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо, а это означает, что оно истинно. Итак, предположив, что это предложение ложно, мы пришли к противоречию. Значит, оно должно быть истинно.
А теперь будьте внимательны! Я доказал, что предложение, набранное курсивом, истинно. Но в истинном предложении говорится о том, что есть на самом деле. Значит, оно недоказуемо. Как же мне удалось доказать его?
Где ошибка в приведенных мною рассуждениях? Ошибка в том, что понятие доказуемого предложения не вполне определенно. Одна из основных задач важного раздела современной математики, известного под названием "математической логики", состоит в придании точного значения понятию доказательства. Вполне строгого универсального определения доказательства, применимого к любым математическим системам, пока не существует. В современной математической логике принято говорить о доказуемости в рамках данной системы. Предположим, что у нас имеется система (назовем ее системой S), в которой строго определено, что такое доказуемость в рамках системы S. Предположим также, что система S непротиворечива, то есть что всякое доказуемое в S предложение действительно истинно. Рассмотрим следующее предложение:
Это предложение недоказуемо в системе S.
Никакого парадокса теперь не возникает, хотя это предложение обладает одним довольно интересным свойством.
Дело в том, что оно должно быть истинным, но недоказуемым в системе S. Оно представляет собой грубый аналог предложения X (содержащего утверждение о собственной недоказуемости не вообще, а в рамках системы S), построенного Гёделем в первоначальном варианте доказательства его знаменитой теоремы.
Несколько слов я хотел бы сказать о "дважды гёделевом"
условии, которое мы анализировали в разделе Б. Дело в том, что полученный Гёделем результат справедлив не только для гёделевых систем (гёделевой я называю систему, в которой для любого определимого множества A найдется предложение, истинное в том и только в том случае, если его гёделев номер принадлежит A), но и для дважды гёделевых систем (дважды гёдёлевой я называю систему, в которой для любых определимых множеств A, B найдутся предложения X, Y, такие, что X истинно в том и только в том случае, если гёделев номер предложения Y принадлежит A, а Y истинно в том и только в том случае, если гёделев номер предложения X принадлежит B). Располагая дважды гёделевой системой, мы можем (используя условия E1, E2 и C построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение о доказуемости предложения Y (при этом я понимаю, что X истинно в том и только в том случае, если Y доказуемо), а Y будет содержать утверждение о недоказуемости предложения X.
Одно из предложений (какое именно - не известно) X и Y должно быть истинно, но недоказуемо. Можно поступить иначе и построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение об опровержимости предложения Y, а Y будет содержать утверждение о неопровержимости предложения X. По крайней мере одно из предложений X, Y (какое именно не известно) должно быть ложно, но неопровержимо.
Возможен я еще один вариант. Не используя даже условие C, можно построить два предложения X, Y, такие, что X будет содержать утверждение о доказуемости Y, а Y - о неопровержимости X. Одно из них (какое именно - не известно) должно быть либо истинно, но недоказуемо, либо ложно, но неопровержимо (но каким именно набором из этих двух будет обладать предложение - не известно).
И последнее, о чем я хочу сказать вам, пока не забыл. Как же называется эта книга? Эта книга так и называется - "Как же называется эта книга?"
