Анри чужда воинственная непримиримость и задиристость, свойственная некоторым его соотечественникам. Политические разногласия он склонен решать на полях мирных сражений. Недаром на французских монетах изображена символическая сеятельница. Именно таким представляется ему облик послевоенной Франции, сеющей по всему миру плоды своего труда и своей мысли.
Профессор Рош де Теллой, преподававший риторику, предложил Анри написать сочинение на тему «Различие между человеком и животным». Через некоторое время сочинение было готово. Анри представил его непосредственно в том виде, в каком оно писалось во время отдельных порывов вдохновения, — на разрозненных листках бумаги самого различного формата. Когда он поинтересовался, какую, по мнению профессора, отметку заслужит такое сочинение на экзаменах, преподаватель в сомнении покачал головой и откровенно признался, что не в состоянии ответить на этот вопрос. Слишком неординарной была работа, слишком оригинальной и дерзновенной, чтобы оценивать ее обычными мерками, предъявляемыми к сочинениям кандидатов в бакалавры. Местами Пуанкаре высказывает довольно смелые самостоятельные суждения, весьма далекие от школьного подчинения авторитету или от общих мест. В таких случаях можно ожидать самого неожиданного исхода, все зависит от степени приверженности экзаменаторов к традиционным, узаконенным требованиям, которые, конечно же, далеко не все были соблюдены в сочинении. Анри снова вспомнил предостережение, с которым обратился к нему преподаватель девятого класса: не быть оригинальным во вред себе. Желая уберечь это любопытное произведение от последующих исправлений и искажений, Рош де Теллой разрешил Пуанкаре не переписывать его начисто.
5 августа 1871 года лицеист Пуанкаре успешно закончил экзамены на бакалавра словесности с оценкой «хорошо». Его латинское сочинение превзошло даже сочинение на французском языке и заслужило наивысшее оценки. Ряды словесников Франции могли бы пополниться весьма талантливым, незаурядным мыслителем, если бы Анри избрал филологический факультет университета. Но этим надеждам некоторых преподавателей лицея не суждено было сбыться. Через несколько дней Анри изъявил желание участвовать в экзаменах на степень бакалавра наук. Намерения лучшего выпускника отделение словесности теперь уже ни для кого не представляли секрета.
Хотя Пуанкаре и не окончил научного отделения лицея, никто из профессоров не счел его желание самонадеянным или легкомысленным. Тем не менее ему предложили как следует подготовиться. Экзамены были отложены до ноября. Эти месяцы вынужденной передышки Анри проводит в Арранси. Блуждая по аллеям большого сада, он время от времени останавливается и задумчиво чертит палкой на песке математические формулы. Но чаще всего, сидя на скамье рядом с Алиной, он развивает свои доказательства, не очень-то заботясь о том, понятны ли ей его рассуждения или нет. Просто ему нужен безмолвный преданный слушатель, живое лицо, к которому он мог бы обратить свое вдохновение. Порой он заставляет сестру производить в уме сложные вычисления, засекая время по часам. Это уже своего рода забава, отдохновение от головоломных математических выкладок и преобразований. Для него такие расчеты не представляют затруднений и воспринимаются как легкая гимнастика ума.
Экзамен состоялся 7 ноября 1871 года. Пуанкаре выдержал его, но лишь с оценкой «удовлетворительно». Подвела его письменная работа по математике, которую Анри попросту провалил. История этого казуса такова: опоздав на экзамен, весьма возбужденный и выбитый из колеи, Анри плохо понял задание. Требовалось вывести формулу для суммы геометрической прогрессии. Но Пуанкаре отклонился от темы и начал излагать совершенно другой вопрос. В результате написанная им работа заслуживала лишь неудовлетворительной оценки. По формальным правилам Анри должен был в этом случае выбыть из числа экзаменующихся. Но слава о его необычных математических способностях достигла даже стен университета, где происходили экзамены на бакалавра. Председатель экзаменационной комиссии сказал, что любой другой учащийся после такой письменной работы не был бы допущен к устному экзамену, но Пуанкаре пошли навстречу. Университетские профессора отнеслись к его провалу как к досадному недоразумению и закрыли глаза на некоторое нарушение формальных канонов ради торжества справедливости. Им не пришлось об этом пожалеть, когда они присутствовали на устном экзамене. Анри отвечал уверенно и блестяще, продемонстрировав свободное владение материалом. Ему была присуждена степень бакалавра наук.
В это же время, в ноябре 1871 года, сдает два экзамена (на бакалавра словесности и на бакалавра наук) другой ученик лицея — Поль Аппель. После этого он уезжает домой, в Эльзас, чтобы весной 1872 года вновь вернуться в Нанси. Именно тогда и состоится его первая встреча с Пуанкаре.
Французская система образования предусматривала в лицеях, которые были на особо хорошем счету, два дополнительных класса, готовивших к поступлению в высшие учебные заведения. Окончив первый класс лицея, учащиеся могли продолжить обучение в классе элементарной математики, а на следующий год — в классе специальной математики. В некоторые высшие учебные заведения можно было поступить уже после класса элементарной математики. Но для того чтобы участвовать во вступительном конкурсе Политехнической школы или Высшей Нормальной школы, где на экзаменах предъявлялись весьма высокие требования, необходимо было пройти еще курс обучения в специальном классе. Учебная программа этого последнего класса лицея была чрезвычайно насыщена математическими дисциплинами. Излагались даже элементы математического анализа, то есть дифференциального и интегрального исчисления, основы аналитической геометрии, на высоком уровне преподавалась механика. Так обеспечивался отбор наиболее подготовленных учеников в эти ведущие учебные заведения страны.
Получив диплом бакалавра наук, Анри поступает в класс элементарной математики. Только теперь по-настоящему полно и самозабвенно отдается он своему будущему призванию. Не довольствуясь рекомендованными учебниками, он изучает более серьезную математическую литературу: «Геометрию» Руше, «Алгебру» Жозефа Бертрана, «Анализ» Дюамеля, «Высшую геометрию» Шаля. Алина чувствует, как брат постепенно отдаляется от нее. По-прежнему он рядом, и свободные часы досуга они, как и раньше, проводят вместе, но все более редкими становятся недолгие периоды их былой духовной близости. В отличие от нее Анри явно не тяготится одиночеством. В его внутренний мир вторглось нечто такое, с чем Алина не в силах соперничать. Друзья по лицею тоже замечают появившуюся у Анри в последнее время некую мечтательность, склонность к уединению, к тихим прогулкам.
