В том же году при изучении проективной геометрии на Мехмате я познакомился с понятием проективной шкалы на коническом сечениии, в частности, на круге. В работе "Математическая теория круговой диаграммы" я доказал, что шкала скольжений на круговой диаграмме асинхронного двигателя является проективной шкалой и поэтому на ней, как на всякой проективной шкале, можно с помощью простых геометрических построений производить сложение, вычитание, умножение и деление скольжений. В случае, если на некотором участке круговой диаграммы целочисленные значения s скольжений расположены слишком густо, их можно умножить на 10, и полученные значения 10s будут расположены более удобно.
Когда я показал эту работу профессору МЭИ Б.П.Апарову, большому любителю математики, он сказал - "это - новенькое". Тогда я отнес статью в журнал "Электричество", где ее напечатали в N4 за 1940 г.
В 1939 г., под руководством А.П.Нордена на основе его курса "Геометрия линейчатого пространства", я написал свою первую чисто геометрическую работу. Норден в своем курсе рассматривал многообразия прямых линий трехмерных неевклидовых пространств Лобачевского и Римана. Мне Норден посоветовал рассмотреть более подробно неевклидово пространстно Римана - эллиптическое пространство. Норден показал, что прямые этого пространства можно изобразить точками 4-мерной квадрики (поверхности второго порядка) в 5-мерном эллиптическом пространсте. При этом линии, 2-мерные и 3-мерные поверхности на квадрике изображают, соответственно, линейчатые поверхности, конгруэнции и комплексы прямых. Я доказал, что геодезические (кратчайшие) линии на квадрике изображают винтовые поверхности (геликоиды) и нашел много свойств квадрики, соответствующих свойствам линейчатых поверхностей, конгруэнций и комплексов прямых. Работа под названием "Теория конгруэнций и комплексов прямых в эллиптическом пространстве" была представлена А.Н.Колмогоровым в "Известия Академии наук СССР" и напечатана в N 5 математической серии этого журнала за 1941 г.
В том же 1939 г., прочитав только что вышедший русский перевод книги "Высшая геометрия" Феликса Клейна, я написал аналогичную статью о многообразии сфер того же пространства, также изображаемых точками квадрики в 5-мерном пространстве. Работа была напечатана в "Ученых записках МГУ" в 1944 г.
Весной 1939 г. на Мехмате состоялся конкурс студенческих научных работ. Я объединил все три мои работы под общим заголовком "Некоторые задачи чистой и прикладной геометрии" и подал на конкурс. Рецензентом работы был П.К.Рашевский. Мне свое мнение о работе он выразил словом "Начудил!", но дал хороший отзыв. Работа получила вторую премию, которую я разделил с моим сокурсником С.В.Фоминым. Первую премию получил третьекурсник Н. А.Леднев за работу по теории полей классов.
Государственные экзамены
В июне 1939 г. наш курс Мехмата сдавал государственные экзамены. К этому времени я уже был оформлен как студент-экстерн. Я принес из МЭИ справки о сданных мной общественно-политических дисциплинах, физкультуре и военной подготовке. В МГУ мне перезачли эти предметы и допустили к государственным экзаменам.
Мы сдавали три экзамена: математический анализ с Индифуром, основания геометрии, и спецкур, в качестве которого я выбрал проективную геометрию. Анализ я сдавал академику Сергею Львовичу Соболеву. Мне "попались" неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Я рассказал, как такие уравнения с синусоидальной правой частью решают электротехникии с помощью "векторных диаграмм". С.Л.Соболев остался очень доволен. Курс "Основания геометрии", включающий геометрию Лобачевского, я сдавал В.Ф.Кагану, проективную геометрию - Н.А.Глаголеву. По всем трем госэкзаменам я получил отличные отметки. В моей зачетной книжке все отметки были отличные и мне выдали "Диплом с отличием".
Аспирантура
Кафедра В.Ф.Кагана рекомендовала меня в аспирантуру. Против этого возражали общественные организации, так как я был в 1937 г. исключен из комсомола. Но В.В.Степанов, который в это время был директором Научно-исследовательского института математики и механики, при котором находилась аспирантура Мехмата, настоял на моем принятии в аспирантуру.
Приемные экзамены я сдал благополучно. Моим руководителем был назначен П.К.Рашевский. Вместе со мной в аспирантуру были приняты мои сокурсники: ученик Колмогорова Сергей Васильевич Фомин (1917-1985), алгебраист Олег Николаевич Головин (1916-1989), геометр Моисей Ильич Песин (1913-1941). На курс старше в аспирантуре учился Георгий Евгеньевич Шилов (1917-1972). На курс моложе - Владимир Абрамович Рохлин (1919-1984).
1 сентября 1939 г. началась II Мировая война. В связи с этим Верховный Совет СССР отменил отсрочки от призыва в армию для студентов и аспирантов. Поэтому наиболее авторитетные профессора Мехмата обратились к Наркому Обороны К.Е.Ворошилову с просьбой предоставить, в порядке исключения, отсрочки от призыва до окончания аспирантуры нескольким наиболее перспективным аспирантам, в число которых был включе и я. Мы получили такие отсрочки за подписью Щаденко - заместителя Ворошилова.
В аспирантуре я сдавал 4 экзамена комиссиям: по алгебре, топологии, функциональному анализу и непрерывным группам, и 4 отчета руководителю по различным разделам геометрии.
Для одного из отчетов Рашевский предложил мне изучить "Лекции по дифференциальной геометрии" Луиджи Бьянки на итальянском языке, которого я не знал. Он уверил меня, что я все пойму по формулам, и он оказался прав.
На экзамене по алгебре Курош попросил меня привести пример некоммутативного поля, и когда я не смог ответить, он сказал: "Ну, с кватернионами Вам никогда не придется иметь дело". Но я всю жизнь работал с кватернионами.
В аспирантуре я написал еще несколько статей, развивающих идеи моих первых геометрических работ. В часности, в работе 1941 г. я ввел инвариантную метрику в многообразие m-мерных плоскостей n-мерного эллиптического пространства и доказал, что роль геодезических линий в этом многообразии играют "m-геликоиды" - обобщения обычных геликоидов. Рашевский относился к этим работам скептически и считал, что кандидатскую диссертацию по этой тематике мне не написать. Он рекомендовал мне развивать идеи его докторской диссертации о полиметрической геометрии.
На самом деле, моя кандидатская и докторская диссертации выросли из моих первых работ, написанных под руководством А.П.Нордена, а докторскую диссертацию П.К.Рашевского я прочитал, уже будучи доктором наук.
В школе я учил немецкий язык, в МЭИ - английский, на Мехмате сдал немецкий, в аспирантуре я учил французский, а кроме того - итальянский, латинский, древнегреческий и чешский.
