В двух своих следующих письмах Пуанкаре дает уже подробное описание самой функции, что показывает, насколько далеко продвинулся он в разработке этого вопроса. «…Фуксова функция имеет большую аналогию с эллиптическими функциями, — пишет Анри, — она существует лишь внутри определенной окружности и остается мероморфной внутри этой окружности. Она выражается на всей окружности частным двух сходящихся рядов». Термин «фуксова функция» здесь уже встречается неоднократно.
Работа Фукса послужила для Пуанкаре отправной точкой, но насколько смелее, дерзновеннее и изобретательнее оказался он в исконных владениях немецкого математика. За строчками прочитанной им статьи Анри увидел много больше того, что было написано, и, как оказалось впоследствии, много больше того, что представлял себе сам автор. Фукс лишь указал на возможность существования нового вида функций, оставалось доказать, что они действительно существуют, и сконструировать эти функции практически. По существу, надо было проделать полностью всю работу — приступить к разработке проблемы и закончить ее. Пуанкаре блестяще справился с этой задачей. Мысль Фукса упала на подготовленную почву, поэтому тут же развилась и стала плодоносить. Анри успел уже глубоко вдуматься в проблему интегрирования дифференциальных уравнений, когда статья Фукса указала ему направление приложения сил. Она сыграла роль железнодорожной стрелки, которую он проскочил настолько стремительно, что, если бы не его собственные признания, вряд ли кто-нибудь угадал бы в последующих результатах Пуанкаре какие-то отзвуки работ немецкого математика. Слишком далеко вперед ушел он в своих исследованиях.
К теории новых фуксовых функций Пуанкаре пришел на основе обобщения понятия эллиптических функций. Он сам свидетельствует об этом: «…путеводной нитью в моих поисках мне служила аналогия с эллиптическими функциями». Сами же эллиптические функции обобщают понятие простых периодических функций. Примером простейшей периодической функции является математическая запись колебаний маятника. Если заставить слабо раскачивающийся маятник чертить своим концом непрерывную линию на равномерно движущейся бумажной ленте, то он изобразит извилистую, волнообразную кривую, монотонное чередование гребней и впадин. Так представляются графически синус и косинус, хорошо известные периодические функции из разряда трансцендентных, определяющие зависимость величины отклонения маятника от времени.
Время, за которое маятник, совершив полное колебание, возвращается в исходное положение, называют периодом. Если точно через период бросать взгляд на маятник, то невозможно угадать, движется он или нет: маятник каждый раз оказывается в одном и том же положении. Периодическая функция тоже нечувствительна к изменению своей переменной величины на период. Сколько периодов ни приплюсовывай к какому-нибудь моменту времени, значение функции остается тем же самым, так как в конце каждого периода она возвращается к тому, с чего этот период начинала. Чтобы построить полный график такой функции, достаточно иметь лишь небольшой его участок — укладывающиеся на одном периоде гребень и провал. Ведь вся волнообразная линия, вычерчиваемая маятником, представляет собой не что иное, как последовательное повторение одной и той же «волны» длительностью в период. Сдвигая по оси времени отрезок, равный периоду, и каждый раз воспроизводя над ним стандартную «волну», можно как угодно далеко протянуть кривую синуса или косинуса.
Этому простому понятию периодичности в первой половине XIX века был придан более общий смысл. В 1827 году гениальный норвежский математик Нильс Генрик Абель приступил к разработке теории эллиптических функций. Его исследования подхватил молодой кенигсбергский профессор Карл Густав Якоби. Трудами этих двух ученых в математику были введены совершенно новые трансцендентные функции, двоякопериодические.
Эллиптическая, функция изображается уже не линией над осью времени, а целой поверхностью над плоскостью. Поэтому период ее «плоский», двухмерный, а не линейный, как у синуса или косинуса. Вся «неповторимость» эллиптической функции умещается в пределах некоторого ограниченного участка плоскости — параллелограмма, называемого параллелограммом периода. Над всей остальной плоскостью функция только повторяет один и тот же фрагмент своей поверхности, который обрисован над этим параллелограммом. Чтобы построить полный график функции, то есть полную ее поверхность, достаточно переставлять на плоскости параллелограмм периода вместе с тем куском поверхности, который над ним расположен, как если бы ровную площадь застраивали совершенно одинаковыми, вплотную примыкающими друг к другу домами. Море повторяющихся крыш, рельефная мозаика, выложенная из одного-единственного фрагмента, — вот что такое эллиптическая функция, периодичная на плоскости.
Введение эллиптических функций оказалось настолько полезным, позволило решить столько задач, казавшихся до этого неразрешимыми, что математики уже не раз задумывались над тем, как бы еще больше углубить и расширить понятие периодичности. Быть может, на этом пути их ожидают еще более грандиозные удачи и достижения? Эти надежды были осуществлены в первых работах Пуанкаре.
В одной из своих монографий Брио и Буке отмечали: «Случаи, когда можно интегрировать дифференциальное уравнение, в высшей степени редкие и должны рассматриваться как исключения. Но можно рассмотреть дифференциальное уравнение как определяющее функцию и заняться изучением свойств этой функции по данному дифференциальному уравнению». Из самого дифференциального уравнения авторы предлагали извлекать информацию о той неизвестной функции, которая является его решением. Этот новый подход превращал все не решенные до сих пор дифференциальные уравнения в неисчерпаемый источник новых трансцендентных функций. К сожалению, не было примеров подобных открытий на этом заманчивом, многообещающем пути. Сами Брио и Буке продемонстрировали свой метод на известных эллиптических функциях, установив их основные свойства, которые уже были объектом исследования многих математиков.
Анри Пуанкаре, со студенческих лет находившийся под большим влиянием идей Брио и Буке, решил воспользоваться их рекомендацией, разработанным ими методом. Приняв в качестве определения искомой функции линейное дифференциальное уравнение с алгебраическими коэффициентами, он пришел к первому важному результату: функция, являющаяся решением такого уравнения, должна оставаться неизменной при дробно-линейных преобразованиях переменной величины, от которой она зависит. Это свойство функции сразу же позволяло отнести ее к разряду особого рода периодических функций, если пересмотреть и расширить понятие периодичности. Обычные периодические функции и двоякопериодические эллиптические функции остаются неизменными при простом прибавлении периода к их переменным величинам. Новая гипотетическая функция должна принимать одинаковые значения при более сложных, более общих операциях, произведенных над ее переменной. Подхватив и продолжив эстафету обобщения понятия периодичности, Анри уже в первых работах продемонстрировал свою склонность к широким научным обобщениям.
