но без подставки… Это тоже не годится. Он сходен с яблоком. Тогда помещение, где мы были, пропало, и я увидел огромный шар далеко – в нескольких километрах. Ремень я заменяю стальным обручем – задача трудная – охватить его надо точно. Потом я прибавляю метр и вижу, как отскакивает пространство. Какое пространство? Мне нужно сообразить, понять, чтобы превратить его в размеры, которые приняты у людей… Я у дверей вижу ящик, я превращаю его в форму шара, ящик обтягиваю ремнем… Теперь я прибавляю метр точно по углам… Затем я беру точный размер, разрезаю его на 4 части, каждая часть 25 см – для каждого ремешка получается излишек – длина каждой стороны ящика и 1/4 часть… Ну вот, безразлично, какой бы величины ящик ни был, если каждая сторона 100 км, я прибавляю 25 см… Какая ни будет длина каждой стороны ящика – все равно прибавится 25 см… Получается 4 стороны – и каждая сторона имеет прибавку в 25 см… Я отодвигаю ремень вдоль стороны – и получается с каждой стороны по 12,5 см, ремень везде отстает от ящика на 12,5 см. Пусть ящик огромный, каждая сторона имеет миллион см – все равно, если прибавить 1 метр – каждая сторона имеет 25 см… Теперь ящик превращается в нормальный. Мне нужно только снять углы и превратить его в круглую форму. И получилось опять то же самое… Вот как я решал эту задачу» (опыт 12/III 1937 г.).
Читатель простит автора за слишком длинную выдержку; у автора есть одно оправдание: выдержка показывает, какие умозрительные методы применяет Ш. и как эти методы приводят его к решению задачи совсем иными путями, чем те, которые применяет человек, оперирующий «расчетами и карандашом».
Мы провели с Ш. много часов над анализом того, какие преимущества давал умозрительный метод для решения арифметических задач, – и мой испытуемый многому научил меня, анализируя ту роль, которую для решения задач играют наглядные образы.
Нет сомнения, «расчеты с карандашом и бумагой» или с умственными схемами не могут не оставаться основным приемом решения задач, но как часто задачи, в которых эти расчеты, не опирающиеся на наглядные образы, могут уводить в сторону от правильного решения или заменять простой способ решения сложным и неэкономным.
Кто не знает, какой трудной может оказаться, казалось бы, простая задача: «Кирпич весит 1 кг и еще столько, сколько весит полкирпича. Сколько весит кирпич?»… С какой легкостью люди, сосредоточившиеся только на числах, дают неверный ответ – 1,5 кг! Такие соскальзывания на формальные ответы были чужды Ш., нет, даже просто невозможны для него. Его умозрительная форма решения, которая заставляла его всегда иметь дело с предметами и всегда связывать числа с наглядными вещами, не допускала формальных решений, и задачи, вызывавшие состояние конфликта у других, протекали у него без вызванных таким конфликтом затруднений. Вот несколько иллюстраций этого положения.
«…Мне предлагают задачу: “Книга в переплете стоит 1 руб. 50 коп. Книга дороже переплета на 1 руб. Сколько стоит книга и сколько переплет?” Я решил это совсем просто. У меня лежит книга в красном переплете, книга стоит дороже переплета на 1 руб. Я вырываю часть книги и думаю, что она стоит 1 руб. Остается часть книги, которая равна стоимости переплета – 50 коп. Потом я присоединяю эту часть книги – получается 1 руб. 25 коп.
И еще: мой товарищ, инженер, дал мне задачу: “Отцу и сыну вместе 47 лет; сколько лет им было три года назад?” Я вижу отца, он держит за руку сына, им 47 лет. С ними идет еще один сын и еще один отец. Я откидываю каждому по три года… Я представляю себе, что это нужно взять вдвойне. Я умножаю на 2, получается 6, и я вычитаю 6» (опыт 12/III 1937 г.).
Наглядные образы вещей уводят от ошибок формального решения задачи, и у Ш. не появляется искушение заменить подлинное решение задачи операцией формального числового отсчета.
Сделаем еще один шаг и посмотрим, как умозрительно решаются задачи, которые мы обычно решаем сложным отсчетом.
Задача: «Блокнот в 4 раза дороже карандаша. Карандаш дешевле блокнота на 30 коп. Сколько стоят блокнот и карандаш в отдельности?»
Ш. решает эту задачу. На столе появляется блокнот, рядом с ним 4 карандаша (рис. 1а).
Рис. 1
«Карандаш дешевле блокнота на 30 коп. Три карандаша отодвигаются вправо (рис. 1б) как лишние и уступают место их денежному эквиваленту. Вслед за этими образами появляется изображение двух чисел: 10 и 40… Вот и ответ на вопрос, сколько стоят блокнот и карандаш в отдельности» (из записей Ш.).
Нетрудно видеть, как быстро и легко выполняется умозрительное решение задачи там, где решение ее вербально-логическим путем должно вызывать дополнительные отвлеченные расчеты.
Еще отчетливее выступают приемы умозрительного решения задач в более сложных примерах. Остановимся на двух из них.
Ш. дается задача: «Мудрец и путешественник сидели на лужайке. У путешественника было 2 хлебца, у мудреца – 3. К ним подошел прохожий, они предложили ему покушать и поделили поровну хлеб на 3 части. После еды прохожий, поблагодарив за угощение, дал им 10 яиц. Как мудрец и путешественник поделили между собой полученные 10 яиц?»
«…У меня возникают образы: двое (А и В) сидят на лужайке. К ним присоединяется прохожий (С). Вся группа располагается треугольником. Между ними появляются хлебцы. Люди исчезают и заменяются буквами А, В, С, а неправильной формы хлебцы – продолговатыми дощечками. Дощечки, принадлежавшие А, – серого цвета, принадлежавшие В – белого (рис. 2а). Двумя горизонтальными линиями разрезаю дощечки на три равные группы кубиков. Получается следующая картина (рис. 2б).
Рис. 2
За 5 съеденных кубиков С дал 10 яиц. У А – 6 кубиков, из которых он сам съел первый вертикальный ряд и 2 кубика из второго ряда. В – со своей стороны – с такой же конфигурацией съел столько же. Рис. 3 явно показывает количество кубиков, доставшихся С от А и от В.
Может быть еще и другое – логическое решение. Для удобства расчета заменяю слово “яйца” словом “рубли”.
Часть хлеба, съеденная прохожим, оценена в 10 рублей. Все трое съели поровну, следовательно, все количество хлеба, съеденного всей группой, стоит 30 рублей (10 x 3 = 30), а один хлебец стоит 6 рублей (30: 5 = 6). Два хлебца, принадлежавшие путешественнику, стоят 12 рублей (2 x 6 = 12). Путешественник сам съел количество хлеба стоимостью 10 рублей, значит, прохожему он смог выделить хлеба лишь на 2 рубля (12–10 = 2). У мудреца было 3 хлебца, стоимость которых 18 рублей,
