Такое различие между электромагнитными и гравитационными силами считалось недостатком теории, и многие исследователи пытались создать такую теорию электромагнитного поля, в которой электрические и магнитные величины вычислялись бы из геометрических свойств пространства-времени. Одной из попыток такого рода является теория Калуцы (1921 г.). Вместо четырехмерной совокупности точек Калуца рассматривал пятимерную, в которой число метрических коэффициентов было поэтому больше, чем в четырехмерной совокупности. Потенциалы электромагнитного поля вычислялись им из этих коэффициентов. Теория Калуцы не имела успеха, хотя его идеи сыграли некоторую роль (пятимерная совокупность точек была снова введена в 1927 г. немецким математиком Оскаром Клейном и русским математиком В. А. Фоком в их математическом истолковании волновой механики Шредингера). К другим попыткам свести электромагнитное поле к геометрическим свойствам пространственно-временного мира принадлежит теория, разработанная цюрихским математиком Германом Вейлем. Эта теория также не смогла удовлетворительно описать электромагнитные явления, как и теория Калуцы. Обе теории удовлетворительно справлялись с уравнениями электромагнитного поля в пустоте, но не могли объяснить законов движения материи в этом поле.
Теория Эйнштейна, о которой идет речь в этой заметке, ставит перед собой такую же самую цель — включение электромагнитного поля в систему чисто геометрических величин. Для того чтобы понять новую теорию Эйнштейна, названную им «единой теорией поля», нужно рассмотреть понятие о параллелизме в неевклидовой геометрии. Пусть в неевклидовом пространстве дана точка 1 и в ней задано некоторое направление (например, направление некоторого бесконечно малого отрезка, начинающегося в точке 1). Пусть через точку 2 того же неевклидового пространства требуется провести отрезок, параллельный заданному бесконечно малому отрезку в точке 1. Простейшим способом является следующий. Соединим точки 1 и 2 геодезической (кратчайшей) линией и будем перемещать вдоль этой линии бесконечно малый отрезок из точки 1 в точку 2 так, чтобы при каждом бесконечно малом перемещении, на которые можно разложить его путь от точки 1 к точке 2, он оставался параллелен самому себе. Ясно, что, придя в точку 2, он будет находиться под тем же углом к касательной, проведенной к геодезической линии, под которым он находился в точке 1. На первый взгляд может казаться, что то положение, которое отрезок принял в точке 2, можно считать параллельным его первоначальному направлению в точке 1. Однако с этим связаны трудности. Если, например, дана, кроме точек 1 и 2, еще и точка 3, то можно было бы переместить бесконечно малый отрезок параллельно самому себе сперва из точки 1 к точке 3 по соединяющей их геодезической линии, а затем из точки 3 к точке 2 по геодезической линии 3 2. Окажется, что после двух таких перемещений бесконечно малый отрезок будет занимать в точке 2 не то положение, какое он имел бы при непосредственном перемещении параллельно самому себе по геодезической линии 1 2, а другое.
Таким образом, понятие параллелизма не может быть обобщено на пространство, обладающее кривизной. Это можно проверить на простом случае шаровой поверхности, которую можно рассматривать, как двумерное неевклидово пространство. Пусть на поверхности шара даны три точки 1, 2 и 3. Соединим их попарно дугами больших кругов (известно, что на поверхности шара дуга большого круга, соединяющая две точки, является кратчайшим расстоянием между ними). Получился сферический треугольник 123. Если в точке 1 проведен какой-нибудь отрезок в касательной плоскости к шару, то его можно переместить вдоль стороны сферического треугольника 1 2 таким образом, чтобы он все время оставался касателен к шару и все время образовывал один и тот же угол с касательной к большому кругу 1 2. Это и будет «перемещение параллельно самому себе» по геодезической линии 1 2. После этого его можно таким же образом «перенести параллельно самому себе» по геодезической линии 2 3, а затем и по линии 3 1. Окажется, что после такого «перемещения параллельно самому себе» по контуру сферического треугольника 123 отрезок не придет в прежнее положение, а образует со своим первоначальным направлением в точке 1 некоторый угол. С помощью элементарной геометрии нетрудно доказать, что этот угол будет равен так называемому « сферическому эксцессу» треугольника 1 2 3, т. е. разности между суммой углов сферического треугольника 1 2 3 и 180 градусами. (Сферический эксцесс треугольника, как доказывается в сферической тригонометрии, пропорционален площади треугольника.) Из этого примера видно, что сохранить на поверхности шара понятие о параллелизме без добавочных условий невозможно.
Новая теория Эйнштейна вводит в неевклидову геометрию понятие о параллелизме следующим образом: в каждой точке четырехмерного пространства проводятся четыре взаимно перпендикулярные направления, образующие в каждой точке как бы систему прямоугольных осей. Про эти оси вводится допущение, что они в разных точках пространства параллельны друг другу. Нетрудно видеть, что для определения положения этих четырех осей необходимо задать в каждой точке значения шести величин, из которых первые три определяют положение первой оси, вторые две — положение второй оси, наконец последняя определяет положение третьей оси, для определения же четвертой оси не нужно задавать добавочных величин, так как достаточно того, что она перпендикулярна остальным осям. Между ними устанавливает Эйнштейн ряд соотношений, которые вводятся для того, чтобы придать понятию о параллелизме определенный смысл и которые, кроме того, должны удовлетворять так называемому «требованию ковариантности». Это требование значит, что соотношения должны иметь одинаковую форму независимо от той координатной системы, с которой связан измеряющий геометрические свойства пространственно-временной совокупности наблюдатель. Требование ковариантности вообще играет основную роль в теории относительности. Оказывается, что выведенным для этих шести величин соотношениям возможно придать другую форму, а именно: определенные комбинации из этих величин возможно назвать (совершенно условно) слагающими электромагнитных сил и сил тяготения. Тогда окажется, что упомянутые соотношения превратятся в такие соотношения между электромагнитными и гравитационными силами, которые совершенно удовлетворительно оправдываются на опыте в случае пустого пространства. В этом заключается важнейший результат новой теории Эйнштейна. Отсюда видно, что электромагнитные силы уже не противопоставляются гравитационным, как это было в общей теории относительности Эйнштейна. Электромагнитные силы, как и силы тяготения, оказываются геометрическими характеристиками четырехмерной пространственно-временной протяженности.
