Рис. 141. Разрез досок, найденных на додинастическом кладбище в Тархане. Здесь видно, каким образом можно было связать доски, чтобы получить стену дома
В Египте, как и в других странах, время от времени изготовляли кирпичи особой формы для различных целей, но недостаток места не позволяет нам описать те формы, которые были найдены археологами. Впрочем, два примера заслуживают особого внимания. В кирпичных пирамидах, построенных поверх гробниц XIX династии в Дра-Абу-ль-Негге в Фивах, у внешних кирпичей в кладке, лежащей в основании пирамиды, края выполнены в форме карниза. В домах эпохи XVIII династии в Эль-Амарне были обнаружены кирпичи в форме четверти круга. Они использовались для сооружения колонн.
Глава 20
Египетская математика
Математические расчеты, например вычисление площадей и пропорций зданий, а также углов наклона стен пирамид и насыпей, по которым на эти стены доставлялись необходимые материалы, играли очень важную роль в строительстве любого масштаба, поэтому, прежде чем закончить обзор египетских методов строительства, было бы весьма уместно кратко описать, что мы знаем о математике древних египтян.
Мы получили эти сведения из следующих источников:
а) папируса, датируемого эпохой фараона Аусерра-Апопи, гиксосского правителя. Предполагают, что это копия документа времен фараона Аменемхета III. Сейчас этот источник известен под названием «Папирус Ринд»;
б) документа, известного как «Московский папирус», времен Среднего царства;
в) папирусов XII династии, известных как фрагменты из Кахуна;
г) папируса времен Среднего царства, хранящегося сейчас в Берлине;
д) двух деревянных табличек эпохи Среднего царства, хранящихся сейчас в Каирском музее (номера по каталогу 25367/8);
е) демотического папируса римского периода, содержащего таблицы дробей;
ж) нескольких таблиц дробей византийского периода;
з) коптского остракона с таблицами дробей;
и) «Математического папируса из Ахмима», датируемого VI–IX веками н. э.
К этому следует добавить длинное сатирическое письмо, называемое «Папирус Анастаси I», которое мы уже цитировали (глава 8). Это письмо, хотя и не приводит способов решения проблем, показывает, что египтяне знали, как рассчитать количество кирпичей, необходимых для сооружения наклонной насыпи с внутренними перегородками, а также определить вес обелиска.
Из всех этих документов самым ценным является «Математический папирус Ринд», поскольку он самый полный и освещает самый разнообразный круг вопросов[56].
Перед тем как оценить математические методы египтян, надо рассказать об особенностях их мышления. Они хорошо выражены в следующем высказывании: «Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне»[57].
Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян. Профессор Пит пишет об особенностях математического мышления египтянина так: «Он не говорит и не думает о числе «восемь» как об абстрактном числе, он думает о восьми хлебах или восьми овцах. Он вычисляет наклон стороны пирамиды вовсе не потому, что это интересно, а потому, что ему нужно объяснить каменщику, каким образом надо будет обтесывать камень. Если он раскладывает 2/13 на 1/8 + 1/52 + 1/104, то вовсе не потому, что это ему нравится, а просто потому, что рано или поздно он встретится с дробью 2/13 при сложении, а поскольку он не знает, как складывать дроби, чей числитель больше единицы, ему потребуется приведенное выше разложение».
У египтян была десятичная система счисления. Для обозначения единицы, десяти, ста и всех кратных десяти величин, вплоть до миллиона, у них были особые знаки. Целые числа записывались с помощью знаков, повторяемых столько раз, сколько было нужно. Для того чтобы написать, к примеру, число 879, требовалось двадцать четыре иероглифа, хотя в скорописи использовались многочисленные сокращения.
Главная особенность египетской системы счисления заключается в выражении дробей, что делает ее совершенно не похожей на нашу. Дробь изображалась так: знак человеческого рта, который, по-видимому, читался как ре и означал «часть», писался над тем числом, которое мы сейчас назвали бы знаменателем. В египетском языке число, следовавшее за ре, имело порядковое значение, таким образом, ре, написанный над 5, означал «часть пяти», то есть «пятая часть», которая заключала собой ряд аналогичных частей, в сумме образующих число 5. Будучи частью, которой заканчивался ряд того или иного числа, ре в египетской дроби играл роль числителя. Для египетского способа мышления написать ре 4/7 было бы совершенной бессмыслицей, ибо в любой серии частей числа 7 только одна часть может быть одной седьмой, а именно та, которая занимала седьмое место в ряду семи равных частей. Хотя египтянин и мог понять, что означает четыре седьмых, тем не менее выражал дробь 4/7 в виде 1/2 + 1/14. Аналогичным образом, 11/49 выражалось в виде 1/7 + 1/14 + 1/98 или любым другим набором дробей, дающих в сумме то же число.
Помимо знака ре у египтян был еще один, обозначавший дробь 1/2 или, как это ни странно, знак, обозначавший 2/3, что в реальности означало «две части» (из трех), и еще один для 3/4. Значок 2/3 играл очень важную роль в египетской арифметике, а вот значок 3/4 совсем, по-видимому, не использовался, кроме как, вероятно, в метрологии.
Самыми важными расчетами для египтянина были те, в которых применялись деление и умножение, причем деление представляло большие сложности.
Для того чтобы ускорить процесс деления, египтяне составляли таблицы, в которых записывались серии ре-дробей, где число 2 делилось на все нечетные числа до 101. Писцы использовали эти таблицы так же часто, как мы – таблицы логарифмов. Существовали, по-видимому, и другие таблицы, в которых приводились значения 2/3 разных чисел, хотя мы не знаем, как они выглядели. И только в поздние времена появились таблицы со значениями дробей 1: 7, 2: 7[58], 3: 7 и т. д., как суммы делителей[59].
Раскладывание числа 2, деленного на нечетные числа от 5 до 47, таковы:
Не всегда понятно, почему египтяне предпочли именно эти значения для деления 2, хотя имеется много других. По-видимому, эти таблицы были составлены с учетом опыта многих поколений, а приведенные значения дробей – наиболее легкими для использования.
Таким образом, египетский метод умножения и деления представлял собой систему проб и ошибок, состоявших из удвоения, деления на две части и умножения на две трети. Сначала определяли две трети какого-то количества и уже на основе этого, в случае необходимости, вычисляли одну треть, одну шестую и т. д. Процесс определения двух третей от целого числа не представлял особых трудностей. Что касается дробей, то древний метод заключался в прибавлении половины к одной шестой части. Так, 2/3 от 1/5 равняется 1/10 + 1/30, аналогичным образом, 2/3 от составляло 1/22 + 1/66. Почему египтяне в первую очередь не определяли одну треть нужного количества, мы не можем объяснить. Умножение на число, превышавшее 2 (за исключением 10), производилось, вероятно, очень редко. Папирус Ринд, представляющий собой более или менее продвинутую работу, почти не приводит примеров простого умножения или деления. Повсюду видно странное стремление все усложнять, и почти везде опущены этапы, очевидные для египтян, но часто непонятные для современного ума. Ниже приводятся примеры простого умножения и деления, выполненных древним способом, которые содержатся в папирусе Ринд и помогут читателям понять, в чем заключается проблема, поскольку ряд этапов в этих операциях опущен.
(Способ сложения дробей объясняется ниже.)[60]
2) Получить 49 из 11 (разделить 49 на 11) 1 (умноженное на 11 дает) 11
Два, полученное из 11, – это 1/6 1/66 Найдено (см. таблицу дробей)
Сколько двоек укладывается в 5
Ответ 21/2
Умножить 1/6 1/66 на 21/2
Всего 21/2» Ответ: 1/3 1/11 1/33
Прибавить число 4 Конечный ответ 41/3 1/33.
Мы видим, что решение заключается в следующем: 1) сначала выясняют, сколько раз 11 содержится в 49 и каков остаток, 2) а затем, зная значение 2: 11, находят, умножая его на 21/2, значение остатка, или 5, разделенное на 11.
