3) Задача № 30 из папируса Ринд
Если писец говорит тебе:
«10 стало 2/3 1/10 от какого числа?
То пусть он услышит:
Ты используешь 2/3 1/10, чтобы определить 10[61]
Всего, количество, которое называет это 131/23.
(Доказательство)
Всего 10
Следует отметить, что процесс сложения дробей и определения, каким образом дробь 2/3 1/10 составляет 1/30, не приведены. Другие задачи, однако, приводят весь ход сложения дробей, который в принципе мало отличается от современного способа приведения их к общему знаменателю. В задаче № 32, приведенной в папирусе Ринд, необходимо сложить целый ряд дробей, чтобы доказать, что их сумма равна 1/4. Процесс решения заключается в следующем[62]:
Всего: 228 (т. е.) 1/4
Профессор Пит объясняет ход решения тем, что «все дроби или делители, по-видимому, были приведены к самому большому делителю, а именно к 912: под каждой дробью красным написано число, показывающее, сколько раз число 912 входит в него. Как мы видим, это число не всегда является целым. Этот этап, должно быть, требовал подсчетов, которые в задачах на папирусе всегда опускаются. Красные числа суммируются и дают 228, которое представляет собой 1/4 от 912. Таким образом, сумма всех дробей действительно составляет 1/4…».
В задаче № 30 папируса Ринд, которую мы привели выше, процесс сложения дробей гораздо более простой и, по-видимому, выглядел так:
Сумма (для дробей) составляет 29, давая результат суммы дробей, равный единице без 1/30, а для всей задачи сумму, близкую к 10.
Второй этап решения задачи, который опускается при ее описании, заключается в определении, сколько раз 1/30 входит в 2/3 1/10. Это выясняется путем обычного деления, и ход решения мог быть таким:
С другой стороны, вполне возможно, что египтянин мог сразу определить, что три раза по 1/30 составляет 1/10, и его подсчеты могли быть такими:
Профессор Пит объясняет этот этап так: «Поскольку 2/3 1/10 равно 23/30 – а это действие полностью опущено, то ответ должен быть 1/23». Выполнение этого действия в ходе цепи рассуждений заставило, по-видимому, профессора решить, что египтянин понимал, что означает 23/30, или представлял себе эту дробь как 23 части из тридцати. Это является логическим выводом из его метода сложения дробей путем приведения их к общему знаменателю. Если бы это было так, он смог бы выразить эту дробь только в виде ряда множителей, который мог при необходимости восполнить дробью 2/3.
В папирусе Ринд приводится совершенно ненужное, с нашей точки зрения, число примеров умножения и деления, которое мы, с помощью алгебры, могли бы выразить несколькими пояснительными строчками или одной формулой. Причиной этого является тот факт, что задача, решаемая методом проб и ошибок, создает свои, только ей присущие трудности, причем некоторые из них требуют большой ловкости для разрешения.
Уравнения первой степени решались египтянами простым методом проб и ошибок. Знали они также и уравнения второй степени, в которых имелось одно неизвестное. В Берлинском папирусе приводится задача – разделить 100 квадратных локтей на два квадрата, стороны которых соотносились друг с другом как 1 к 3/4.
Знали египтяне и возведение во вторую степень, и извлечение квадратных корней. Первый процесс – это простое умножение, второй же заключался для самых простых чисел в длинной серии проб. В Берлинском папирусе приводятся квадратные корни для 6 1/4 и 11/2 1/16.
Хотя древнее значение соотношения длины окружности к ее диаметру, или число п, и не встречается в математических папирусах, однако в папирусе Ринд дан пример (№ 50) определения площади круга. Способ заключался в вычислении 1/9 диаметра и возведении полученного числа во вторую степень. Сейчас мы выразили бы это формулой A = (8/9 D)2. Эта формула дает значение, близкое к реальному. Египтяне получили площадь круга, равную 0,7902 D2, тогда как в реальности она составляет 0,7854 D2. Эта площадь, вероятно, была определена таким образом: на разделенной на квадраты поверхности был нарисован круг и подсчитано число квадратов, попавших в него.
У нас имеется много свидетельств того, что в поздние времена площадь треугольных полей для взимания налогов определялась как половина произведения самой длинной и самой короткой сторон. У нас почти нет сомнений в том, что в более ранние времена эту площадь египтяне правильно определяли как половину произведения основания треугольника и вертикальной высоты, или эмройет. Более того, они знали, что площадь равнялась половине прямоугольника, построенного на его основании с той же самой вертикальной высотой.
Объем цилиндра вычислялся путем умножения квадрата его диаметра минус его девятая часть (см. выше) на длину, а объем симметричной пирамиды (по крайней мере) равнялся 1/3 площади основания, умноженной на высоту. Как объем определялся первоначально, мы не знаем, поскольку для доказательства этого потребуются знания, которыми египтяне не обладали, а практическая демонстрация получения пирамиды из параллелепипеда связана с огромными трудностями. Мистер Баттискомб Ганн в разговоре со мной высказал предположение, что египтяне сначала взвешивали параллелепипед, сделанный из глины или ила, а затем – пирамиду, отрезанную от него. Это простой и удобный метод, который египтяне вполне могли использовать.
Самое удивительное заключается в том, что египтяне умели определять объем усеченной пирамиды. Если H – вертикальная высота, a – сторона квадрата основания, а b – сторона квадрата на вершине, то формула объема будет такова: H/3 (a2 + ab + b2) – именно в такой форме она и была известна в Древнем Египте. Усеченную пирамиду можно было превратить в параллелепипед, четыре клина и четыре косых пирамиды, из которых можно было собрать одну симметричную пирамиду. Было показано, что с помощью простого графического процесса формула, найденная путем разделения фигуры, может быть превращена в более удобную, которую и используют в наши дни в простых графических методах.
Итак, мы охарактеризовали основные особенности египетского способа вычислений. Знание действий умножения и деления было вполне достаточно, чтобы решить любую проблему, возникавшую при сооружении храма, пирамиды или стены, и для измерения веса использованного при этом материала. Насколько далеко продвинулись египтяне в познании математики, мы узнаем в ходе дальнейших научных исследований, однако вряд ли писцы обладали более сложными математическими познаниями. Чтобы получить такие знания, египтянам надо было изменить не только свою систему вычислений, но и сам способ своего мышления.
Рис. 142. Карта населенных пунктов Египта и Нижней Нубии, которые упоминаются в книге
Приложение I
Древнеегипетские инструменты
Инструменты, изображенные на рис. 44 и фотографиях 62–65, дают нам достаточно полное представление о том, какие приспособления использовали древние архитекторы, каменотесы и строители. Все они хранятся в Каирском музее, за исключением бобины с веревкой, которая находится в музее Метрополитен в Нью-Йорке.
Среди не приведенных на фотографиях инструментов следует отметить линейку длиной в локоть, тесло каменотеса, мотыгу изготовителя кирпичей и «клинья с щёчками». Изображение линейки мы не стали приводить по той причине, что ее описание дает четкое представление о том, как она выглядела, а также потому, что Каирский музей обладает всего одним экземпляром этой палки – очень грубой, с неточной разметкой, – которая была найдена в гробнице Сеннеджема в Фивах. Прекрасные деревянные образцы из могилы Тутанхамона, выставленные в музее, пока еще недоступны для описания.
Хотя плотницкие тесла и их модели хорошо известны, пока еще не найдено ни одного, которое применялось бы для обработки камня. Форма лезвия с течением времени сильно изменилась, но способ его прикрепления к ручке остался практически неизменным (рис. 7).
Было найдено много мотыг, которые использовались людьми, изготовлявшими кирпич. Они всегда делались из дерева, и «острие» лезвия входило в углубление в ручке. Лезвие и ручка удерживались под нужным углом пальмовой веревкой (рис. 136). Мотыга с металлической ручкой, называемая фас или турья, в той форме, которая используется в Египте в наши дни, появилась не ранее римского периода.
