Примечания
1
Среди них известный сборник Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки» (из трех книг; книги 2-я и 3-я составлены при моем участии) почти исчерпывает весь «классический» материал арифметических развлечений.
2
Вечерний выпуск газеты «Биржевые Ведомости» от 16 марта 1917 г.
3
Их было много тогда в Петрограде. Позднее я узнал, что китайский иероглиф для 10 имеет как раз указанную форму креста. Китайцы вообще не употребляют наших «арабских» цифр.
4
Подтверждение того, что знаки эти были в широком употреблении среди населения.
5
Расположение чисел здесь такое, какое принято в Англии и Америке: частное и делитель пишутся по обе стороны делимого.
6
Английское название игры «div-a-let» – сокращение от «division by letter» – деление буквами.
7
«Арифметика, сиречь наука числительная, повелением царя Петра Алексеевича в великом граде Москве типографским тиснением ради обучения мудролюбивых российских отроков и всякого чина и возраста людей на свет произведена в лето от рождества Бога слова 1703».
8
Максом Дюрингом («Zeitschr. f. päd. Psychol.», 1912).
9
Это была доска (стол), разграфленная на полосы, по которым передвигали особые шашки, игравшие роль косточек наших счетов. Такой вид имел греческий абак. Абак римский имел форму медной доски с желобами (прорезами), в которых передвигались кнопки. Родственен абаку перуанский «квипос» – ряд ремней или бечевок с завязанными на них узлами; этот счетный прибор получил особенное распространение среди первоначальных обитателей Ю. Америки, но, без сомнения, был в употреблении также и в Европе (см. далее, стр. 43).
10
Этот прием полезен и для устного деления на 9.
11
Один считает на камешках, другой – на бобах, читаем у Кампанеллы в «Государстве Солнца» (1602).
12
Перечисленные приемы умножения описаны в старинной «Арифметике» Тарталья. Наш современный способ умножения имеется там под названием «шахматного».
13
Венеция и некоторые другие государства Италии в XIV–XVI столетиях вели обширную морскую торговлю, и потому в этих странах приемы счета были, ради коммерческих надобностей, разработаны раньше, чем в других. Лучшие труды по арифметике появились в Венеции. Многие итальянские термины коммерческой арифметики сохранились еще в настоящее время.
14
Последние две девятки приписаны к делителю в процессе деления.
Это выясняется попутно при выводе признака делимости на 9 (читатель найдет вывод в каждом подробном учебнике арифметики).
15
Папирус был разыскан английским египтологом Генри Риндом; он оказался заключенным в жестяном футляре. В развернутом виде имеет 10 сажен длины, при 6 вершках ширины. Хранится в Британском музее, в Лондоне.
16
Звание «писец» принадлежало третьему классу египетских жрецов; в заведывании их находилось «все относившееся к строительной части храма и к его земельной собственности». Математические, астрономические и географические знания составляли их главную специальность (В. Бобынин).
17
«Природа и Люди» (потом была перепечатана в сборнике Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки»).
18
Зато, как увидим далее, для такой системы до крайности упрощаются таблица сложения и таблица умножения.
19
Нечетное число, умноженное на себя (т. е. на нечетное), всегда дает нечетное число (напр., 7 × 7 = 49, 11 × 11 = 121 и т. п.).
20
Древние (последователи Пифагора) считали 9 символом постоянства, так как все числа, кратные 9, сохраняют одну и ту же сумму цифр – 9.
Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли число орехов в мешке выражено числом в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в 12-ричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например, в десятичной, оно должно иметь тех же делителей. Разница лишь в том, что в 12-ричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах 12-ричной системы в смысле делимости на большее число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в 12-ричной системе, нулями.
Почему 12345 × 9 + 6 дает именно 111111 – было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.
21
Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится от того, будет ли число орехов в мешке выражено числом в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в 12-ричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например, в десятичной, оно должно иметь тех же делителей. Разница лишь в том, что в 12-ричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах 12-ричной системы в смысле делимости на большее число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в 12-ричной системе, нулями.
22
Почему 12345 × 9 + 6 дает именно 111111 – было показано при рассмотрении предыдущей числовой пирамиды.
23
В двоичной системе счисления, как мы уже объясняли ранее (см. главу V), все умножения именно такого рода. На этом примере мы наглядно убеждаемся в преимуществах двоичной системы.
24
Если множитель кратен 7, то результат равен числу 999999, умноженному на число семерок в множителе; такое умножение легко выполнить в уме. Например, 42857 × 28 = 999999 × 4 = 4000000 -4 = 3999996.
25
Русский перевод (вольный) Жуковского. Эпизод, о котором далее идет речь, описан в главе VIII этой повести.
26
Проходившие алгебру знают, что и число 1 можно рассматривать, как степень 2, именно нулевую.
27
Единицу можно рассматривать как нулевую степень 3 (вообще как нулевую степень каждого числа).
28
Русский разновес: 2 п., 1 п., 20 ф., 10 ф., 5 ф., 3 ф., 2 ф., 1 ф.
29
Например, изящный фокус с «волшебным веером» – отгадывание задуманного числа, если известно, в каких табличках чисел оно находится.
30
Это свойство разности вытекает из «закона остатков», о котором мы упоминали раньше.
31
Нетрудно ввести и поправку на високосные годы.
32
Прием для вычисления числа минут читатель, после сказанного в следующей статье, не затруднится найти самостоятельно.
33
Деля 1904 на 28, мы уже учли, что 1904-й год – високосный; беря же в феврале 29 дней, мы учитываем это обстоятельство второй раз. Поэтому надо лишний день откинуть.
34
Для наглядности на стр. 140 приложен чертеж такого циферблата.
35
Способов сокращенного вычисления календарных дат существует множество. Я изложил здесь самый простой из известных мне приемов, употребляемый упомянутым выше германским математиком, Ф. Ферролем, прославившимся в последнее время своими поразительно быстрыми устными вычислениями.
36
Тушью, а не чернилами, чтобы возможно было, по миновании надобности, легко смыть точки с циферблата.
37
В книге «Положение человека во вселенной».
38
Например, взаимные расстояния планет измеряются десятками и сотнями миллионов верст; расстояния звезд – миллионами миллионов верст, а число молекул в кубическом сантиметре воздуха – миллионами миллионов миллионов. – Я.П.
39
Отметим для сведения, что в году (астрономическом) 31556926 секунд.
40
До какой степени люди склонны недооценивать величину миллионов, показывает следующий поучительный пример. Тот самый Уоллес, который так предостерегает других от преуменьшения миллиона, заканчивает приведенный выше (стр. 144–145) отрывок таким советом:
«В маленьких размерах каждый может устроить это сам для себя: стоит только достать сотню листов толстой бумаги, разлиновать их на квадратики и поставить крупные черные точки. Подобное изображение было бы очень поучительно, хотя не в такой, конечно, степени, как осуществленное в большом масштабе». Почтенный автор, по-видимому, полагал, что подобная работа под силу одному человеку. Между тем мы уже знаем, что для этого потребовался бы настоящий подвиг труда – несколько месяцев непрерывной работы, всецело посвященной кропотливой расстановке в квадратиках крупных черных точек (конечно, не по одной в секунду). Ошибка Уоллеса произошла, разумеется, вследствие недооценки истинной величины миллиона.
41
Мы проделали здесь умножение несколько необычным путем – вместо умножения числа мы только заменили самую единицу меры другою, в миллион раз большею. Этот прием очень удобен для устных подсчетов, и им следует пользоваться при выкладках с метрическими мерами.
