Рассказ Тасманца
Обнаружение предков является увлекательным времяпрепровождением. Как и в случае с самой историей, существует два метода. Вы можете двигаться назад, перечисляя Ваши двух родителей, четырех бабушек и дедушек, восьмерых прабабушек и прадедушек, и так далее. Или Вы можете выбрать отдаленного предка и пойти вперед, перечисляя его детей, внуков, правнуков, пока не закончите непосредственно Вами. Генеалоги-любители используют оба метода, двигаясь вперед и назад между поколениями, пока они не заполнят дерево настолько, насколько позволяют приходские метрические книги и семейные Библии. Этот рассказ, как и книга в целом, использует метод продвижения назад.
Выберите любых двух людей и двигайтесь назад по поколениям и, рано или поздно, мы найдем их самого последнего общего предка – ПОП. Вы и я, водопроводчик и королева, любая пара из нас должны сходиться на одном копредке (или двух). Но, если исключить близких родственников, мы обнаруживаем, что копредок нуждается в обширном генеалогическом дереве, и большинство из его ветвей будет неизвестно. Это тем более применимо к копредку всех людей, живущих сегодня. Определение возраста Копредка 0, последнего общего предка всех живущих людей – не то задание, которое может быть выполнено специалистом по практической генеалогии. Это – задача на вычисление: задача для математика.
Прикладной математик пытается понять реальный мир, выстраивая его упрощенную версию – «модель». Модель облегчает понимание, пока не теряет способности освещать действительность. Иногда модель дает нам исходную линию, новое направление, объясняющее реальный мир.
В создании математической модели для определения возраста общего предка всех живых людей хорошим упрощающим допущением – своего рода игрушечным миром – является популяция постоянного размера, живущая на острове без иммиграции или эмиграции. Пусть это будет идеализированная популяция тасманских аборигенов в более счастливые времена, прежде чем они были истреблены как сельскохозяйственные паразиты поселенцами девятнадцатого столетия. Последний чистокровный тасманец, Труганини, умер в 1876 году, вскоре за своим другом «Королем Билли», мошонка которого была превращена в кисет (тени нацизма). Тасманские аборигены были изолированы приблизительно 13 000 лет назад, когда сухопутные мосты с Австралией были затоплены возрастающим уровнем моря, и они не знали чужаков, пока не столкнулись с их возмездием в Холокосте девятнадцатого века. В целях моделирования мы полагаем, что Тасмания была вполне изолирована от остальной части мира в течение 13 000 лет до 1800 года. Понятие «настоящее время» в нашей модели будет означать 1800 год нашей эры.
Следующий шаг должен смоделировать паттерн спаривания. В реальном мире люди влюбляются или устраивают браки, но здесь мы, разработчики модели, безжалостно заменяем детали человека послушной математикой. Существует более чем одна модель спаривания, которую мы смогли себе представить. В случайной диффузионной модели есть мужчины и женщины, ведущие себя как частицы, распространяющиеся от места их рождения, с большей вероятностью столкнутся с более близкими, чем отдаленными соседями. Еще более простая и менее реалистичная модель – случайная модель спаривания. Здесь мы забываем о расстоянии в целом и просто предполагаем, что, строго в пределах острова, спаривание между любым мужчиной и любой женщиной одинаково вероятно.
Конечно, любая модель лишь отдаленно правдоподобна. Случайная диффузия предполагает, что люди движутся в любом направлении от своей отправной точки. В действительности есть пути или дороги, которые направляют их стопы: узкие каналы генов через леса, острова и поля. Случайная модель спаривания даже более нереалистична. Не беда. Мы настраиваем модели, чтобы увидеть то, что происходит при идеальных, упрощенных условиях. Они могут быть удивительными. Тогда мы должны обсудить, реальный мир более удивителен или менее, и в какой сфере.
Джозеф Чанг (Joseph Chang), следуя давней традиции математических генетиков, выбирал случайное спаривание. Его модель игнорировала размер популяции, считая его постоянным. Он не занимался конкретно Тасманией, но мы примем, снова для упрощения расчетов, что наше игрушечное население неизменно составляло 5 000 человек; это является единственной оценкой для исконного населения Тасмании в 1800 году, прежде чем началась резня. Я должен повторить, что такие упрощения являются очень важными в математическом моделировании, это не слабость метода, но, в определенных случаях, сила. Чанг, конечно, не верит в случайное спаривание людей, не больше, чем Эвклид, полагавший, что у линий нет никакой толщины. Мы последуем за абстрактными предположениями, чтобы увидеть, к чему они ведут, и затем решим, отличаются ли детали от объектов реального мира.
Итак, на сколько поколений Вы должны были бы возвратиться, чтобы быть обоснованно уверенными, что обнаружите человека, который был предком всех живущих ныне людей? Ответ, рассчитанный из абстрактной модели – логарифм (с основанием 2) размера населения. Логарифм показывает степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить это число. Чтобы получить 5 000 Вы должны умножить 2 на себя приблизительно 12.3 раз, поэтому для нашего тасманского примера теория велит нам вернуться на 12.3 поколений, чтобы найти копредка. Принимая четыре поколения в столетии, это меньше, чем четыре столетия. Эта цифра даже меньше, если люди производят потомство раньше, чем в 25 лет.
Я даю название «Чанг Один» дате, когда жил последний общий предок некоторой конкретной популяции. Продвигаясь во времени назад от Чанг Один, очень скоро мы попадем в пункт – я назову его «Чанг Два» – в котором все либо являются общими предками, либо не имеют никаких выживших потомков. Только в период краткого междуцарствия между Чанг Один и Чанг Два действительно существует промежуточная категория людей, которые имеют некоторых выживших потомков, но не являются общими предками для всех. Удивительный вывод, что в Чанг Два большое количество людей – всеобщие предки: приблизительно 80 процентов людей в любом поколении будут теоретически предками всех, кто будет жить в отдаленном будущем.
Что касается распределения во времени, математика дает результат, что Чанг Два приблизительно в 1.77 раза старше, чем Чанг Один. 1.77 помноженное на 12.3 дает менее 22 поколений, от пяти до шести столетий. Поскольку мы движемся на своей машине времени в прошлое Тасмании, то ко времени Джеффри Чосера в Англии мы входим на территорию «все или ничего». 0 этой даты назад ко времени, когда Тасмания была соединена с Австралией, можно биться об заклад, что все, с кем встретится наша машина времени, будут либо предками всего населения, либо не будут иметь потомков вообще.
Не знаю как Вы, но нахожу эти вычисленные даты на удивление недавними. К тому же выводы не сильно изменятся, если Вы примите большее население. Беря в качестве модели население, размером как в сегодняшней Британии, 60 миллионов, мы все еще должны вернуться лишь на 23 поколения, чтобы достигнуть Чанг Один с нашим самым последним всеобщим предком. Если модель применить к Великобритании, то дата Чанг Два, когда все являются либо предками всех современных британцев, либо ни одного, соответствует приблизительно 40 поколениям назад, или приблизительно 1000 году нашей эры. Если допущения модели верны (конечно, это не так), то Король Альфред Великий – либо предок всех сегодняшних британцев, либо ни одного.
Я должен повторить предостережения, с которых я начал. Существуют всевозможные различия между «модельными» и «реальными» поселениями в Великобритании, или Тасмании, или где-нибудь еще. Население Британии круто возросло в историческое время, чтобы достигнуть нынешнего размера, и это полностью меняет вычисления. В любой реальной популяции люди не спариваются случайным образом. Они предпочитают свое собственное племя, языковую группу или район местности и, конечно, у них всех есть индивидуальные предпочтения. История Британии вдобавок осложнена тем, что, хотя географически это – остров, его население совсем не изолировано. Волны иностранных иммигрантов неслись из Европы в течение столетий: среди них римляне, саксы, датчане и норманны.
Если Тасмания и Великобритания – острова, то мир – больший «остров», так как у этого нет никакой иммиграции или эмиграции (плюс-минус похищения инопланетянами в летающих тарелках). Но он подразделен на континенты и меньшие острова, где не только моря, но и горные цепи, реки и пустыни в различной степени препятствуют движению людей. Сложные отклонения от случайного спаривания путают наши вычисления, не просто немного, а чрезвычайно. Нынешнее население мира – 6 миллиардов, но было бы абсурдно искать логарифм 6 миллиардов, умножать его на 1.77 и воспринимать получившийся 500 год нашей эры как дату Свидания 0! Реальная дата старше, хотя бы только потому, что очаги обитания человечества были разделены намного дольше, чем порядок величины, которую мы сейчас вычисляем. Если остров был изолирован в течение 13 000 лет, как это было с Тасманией, для человеческого рода в целом невозможно иметь всеобщего предка, младше чем 13 000 лет. Даже частичная изоляция субпопуляций вносит беспорядок в наши слишком аккуратные вычисления, поскольку делает спаривания в некотором роде неслучайными.
