Он выразил π следующим образом:
π/ 4 = 1–1/3 + 1/5 — 1/7 + … + (-1)n/(2n+1) + …
Кроме того, он дал оценку ошибке при вычислении числа π через n членов этого ряда. Эти расчеты требовали обширных знаний в области рядов. Позднее разложение арктангенса в ряд было повторно открыто Джеймсом Грегори и использовано Готфридом Лейбницем для вычисления π. По этой причине этот ряд известен как ряд Лейбница и ряд Грегори — Лейбница. Лишь сравнительно недавно он получил название ряд Мадхавы — Лейбница в честь истинного первооткрывателя.
Разложение арктангенса в ряд выглядит следующим образом:
arctgx = х — (х3)/3 + (х5)/5 — (х7)/7 + …
Этот ряд крайне неэффективен для вычисления π. Причина в том, что для верного расчета 10 знаков я потребуется выполнить 10 миллиардов математических действий.
Глава 2
Средневековая Европа
В начале Средневековья образование в Европе держалось на трудах и авторитете поздних римских авторов, в частности Боэция. Образование в средневековых университетах следовало модели, введенной в V веке философом Марцианом Капеллой, автором трактата De Nuptiis Philologiae et Mercurio («О браке Филологии и Меркурия»), также известного как De septem disciplinis («О семи дисциплинах»), в котором он впервые разделил науки на тривиум и квадривиум.
Культурное наследие римлян ощущалось и в том, как производились вычисления, так как по-прежнему использовались римские цифры. Арабские цифры вводились медленно, этот процесс сопровождался горячими спорами и диспутами и длился в течение всего Средневековья. Тем не менее в Средние века также были совершены важные открытия, сыгравшие определяющую роль в развитии науки последующих эпох. Так, следует упомянуть логическую систему Раймунда Луллия, которая оказала большое влияние на работы Лейбница XVII века.
Боэций и ритмомахия
Ритмомахия — игра, напоминавшая шахматы, которая была широко известна в Средние века. Она была придумана в середине XI века в монастырях на юге Германии и достигла наивысшей популярности в XVI веке. Затем наступил период упадка, когда игра была полностью забыта. Ритмомахия была лишь игрой, однако она представляет особый интерес для исследователей, поскольку периоды роста ее популярности соответствуют этапам расцвета математики.
Основным математическим трудом Средневековья была «Арифметика» Боэция, носившая латинское название De Institutione Arithmeticae. Структура «Арифметики» очень отличалась от современных математических работ. В некотором роде ее можно считать возвратом к наследию Древней Греции. Боэций изложил в ней свои идеи об отношениях между числами, в особенности о пропорциях, а также определил множество понятий (в этом его работа схожа с «Началами» Евклида). Однако он не ввел понятия доказательств и предложений, известные еще в далекие времена Древней Греции. Ритмомахия стала своеобразным спасательным кругом: она использовалась для того, чтобы обучать студентов понятиям и отношениям из книг Боэция.
* * *
ТРИВИУМ И КВАДРИВИУМ
Понятие «тривиум» появилось в VIII–IX веках, после того как широкое распространение получил его «старший брат» квадривиум. Тривиум состоял из грамматики, логики и риторики и являлся введением в свободные искусства и квадривиум, который считался более сложным. Этот предрассудок отчасти сохранился до наших дней, так как словом «тривиальный» мы называем нечто простое и понятное.
Квадривиум состоял из арифметики, геометрии, астрономии и музыки, которые вкупе с тривиумом образовывали семь свободных искусств. В V–VI веках Боэций привел их в систему, однако само понятие свободных искусств упоминается уже в пифагорейских текстах.
Иллюстрация из книги «Сад наслаждений» Гэррады Ландсбергской, посвященная семи свободным искусствам. «Сад наслаждений» был написан в образовательных целях в конце XII века.
БОЭЦИЙ (480–524)
Аниций Манлий Торкват Северин Боэций был христианским философом из знатной семьи, к которой принадлежали несколько императоров. Наиболее известной его работой является De Consolatione Philosophiae («Утешение философией»»), написанная во время тюремного заключения. Боэций рассуждает о неравенстве в мире, следуя за Платоном. Он перевел множество греческих трудов на латынь, чтобы сделать греко-латинскую культуру доступной будущим поколениям. Крах западной Римской империи наступил за четыре года до его рождения, когда последний император Ромул Август был смещен Одоакром, предводителем германского племени.
Многие переводы Боэция были не дословными и содержали многочисленные комментарии. Так, De Institutione Arithmeticae Libri II, которая задумывалась как перевод «Введения в арифметику»» Никомаха Герасского, изобилует материалом, принадлежащим самому Боэцию. Переводы Боэция широко использовались в средневековой Европе.
Боэций в заключении. Миниатюра из «Утешения философией», издание XIV века.
* * *
Со временем были вновь обретены более сложные труды греческих авторов, и в математике стал преобладать средневековый стиль. К сожалению, с уходом от греческого наследия исчезла и сама игра. Уже Лейбниц, великие открытия которого основывались на достижениях средневековой математики, лишь слышал о ней, но ее правила были ему неизвестны.
В математике Боэция числа могут быть равными (aequalis) или неравными (inaequalis). Равенство нельзя разделить на категории, так как это понятие неделимо. Однако можно классифицировать различные виды неравенства. К первой категории (maioris) относились случаи, когда некое число было больше данного, ко второй (minoris) — случаи, когда некое число было меньше данного. Эти категории делились на пять подкатегорий в зависимости от типа отношения между числами. Первая категория содержала кратные (multiplex), сверхчастичные (superparticularis), сверхчастные (superpartiens), кратно-сверхчастные (multiplex superparticularis) и кратно-сверхчастичные (multiplex superpartiens) числа. Вторая категория делилась на подкратные (submultiplex), подсверхчастичные (subsuperparticularis), подсверхчастные (subsuperpartiens), подкратно-сверхчастные (submultiplex superparticularis) и подкратно-сверхчастичные (submultiplex superpartiens).
Как можно убедиться, игра, подобная ритмомахии, значительно помогала прояснить систему Боэция. Для этого позднеримского автора кратным числом было такое, в котором первое число укладывалось n раз. Таким образом, вводились двойные, тройные, четверные числа и так далее. Например, 8 — четверное число для 2.
Число называлось сверхчастичным, если содержало другое число и его часть. Например, 9 — сверхчастичное число для 6, так как 9 = 6 + (1/2)·6. Сверхчастное число содержит другое число и несколько его частей. Например, 9 — сверхчастное для 7, так как 9 = 7 + (2/7)·7. Кратно-сверхчастичные числа содержат другое число несколько раз и одну его часть, кратно-сверхчастные содержат другое число несколько раз и несколько его частей. Например, 15 — кратно-сверхчастичное для 6, так как оно равняется 6 + 6 + (1/2)·6, а 16 — кратно-сверхчастное для 7, так как равняется 7 + 7 + (2/7)·7.
Боэций в своей книге также определял три типа средних величин. Первая из них — среднее арифметическое, определяемое как m = (а + Ь)/2. Его основное свойство заключается в том, что интервалы между ним и данными числами одинаковы. Вторая — среднее геометрическое, определяемое как m = √(а·b). Его основное свойство заключается в том, что а относится к m точно так же, как m относится к Ь. Иными словами, а/m = m/b. Третья средняя величина — среднее гармоническое: m = 1/((1/а + 1/Ь)/2), или, что аналогично, m = 2аЬ/(а + Ь).
Как ритмомахия помогала разобраться в этом нагромождении отношений между числами? Очевидно, путем их использования в увлекательной игре. Игра велась на доске шириной 8 и длиной 16 клеток (длина доски могла отличаться). Каждому игроку выдавались 24 фишки с числами, которые были кратными, сверхчастными и сверхчастичными для данных чисел. Игроки использовали математические операции, чтобы снимать с доски фишки противника. Например, если фишка с номером 4 располагалась в 9 клетках от фишки с номером 36, то фишка с номером 36 оказывалась взятой (так как 36 = 4·9). Если фишки с номерами 4 и 8 располагались по бокам от фишки с номером 12, последняя оказывалась взятой (так как 12 = 4 + 8).
