Другим, несколько хитроумным решением, будет поставить вопрос: не принадлежит ли понятие истинности, подобно понятию множества, к числу тех, которые просто использовать, но трудно определить. Этой точки зрения придерживался Альфред Тарский (1902–1983), который в 1933 году опубликовал статью объемом свыше двухсот страниц на польском языке, где впервые формально определил истину. Несмотря на значительный объем статьи, Тарский не предложил придать понятию «истинность» новое значение, а вместо этого всего лишь описал на языке математики аристотелево определение истины как соответствие между тем, что говорится о реальности, и самой реальностью. Подобно тому как высказывание «снег белый» истинно тогда и только тогда, когда снег в самом деле белый, высказывание Р является истинным в некоторой теории тогда и только тогда, когда при интерпретации Р в рамках структуры, которую описывает эта теория, Р является истинным. В какой структуре следует интерпретировать фразу вида «эта фраза ложна»?
Как вы увидите в главе 4, ответить на этот вопрос удалось лишь Курту Геделю.
В конечном итоге парадокс Рассела, парадокс Ахиллеса и черепахи и парадокс лжеца были решены, однако попутно родилось множество других вопросов.
В 1905 году преподаватель института Дижона Жюль Ришар открыл парадокс, связанный с диагональным методом Кантора. Годом позже юный библиотекарь Бодлианской библиотеки Оксфордского университета (необязательно тот, который проводил дни и ночи, составляя каталог всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя) упростил парадокс Ришара, представив, что произойдет, если для описания любого натурального числа можно использовать только пятнадцать слов. Так как число выражений, состоящих из пятнадцати слов, является конечным, то с их помощью мы можем описать лишь конечное множество чисел. Среди всех чисел, которые мы не сможем описать пятнадцатью словами, одно будет наименьшим. Обозначим его через n. Однако в этом случае n будет «наименьшим числом, которое нельзя описать менее чем пятнадцатью словами» — это описание содержит всего девять слов!
Как мы можем быть уверены, что парадоксы не будут и дальше распространяться, подобно вирусам? Источниками противоречий служили бесконечность, самоотносимость и не вполне точно определенные понятия. Однако не все высказывания, которые ссылаются сами на себя, порождают парадоксы, полностью исключить бесконечность из математики нельзя, и у нас нет инструмента, который безошибочно укажет на недостаточно четко определенные понятия. В следующей главе мы расскажем о стратегии, с помощью которой наиболее выдающийся математик своего поколения, Давид Гильберт, хотел полностью избавиться от парадоксов.
Глава 3
Программа Гильберта
Бог существует потому, что математика непротиворечива, а дьявол существует потому, что мы не можем доказать это.
Приписывается Андре Вейлю
«Кто из нас не обрадовался бы, если бы мог поднять завесу, за которой скрывается будущее, окинув взором перспективы нашей науки и ее секреты?»
Начинался новый век, и тысячи посетителей Всемирной выставки в Париже наводнили ее павильоны, озаряемые ярким августовским солнцем. В это же время в Париже проходил II Международный математический конгресс, и Давид Гильберт выступал в амфитеатре Сорбонны на заседании своих секций. Его целью было впервые рассказать не о том, что уже доказано, а о том, что еще предстоит открыть.
Никто не сомневался, что Гильберт был лучшим математиком своего поколения, однако его выступление было отодвинуто на второй план — наряду с исследованиями, посвященными древним японским геометрам, и предложениями ввести во всех странах единый научный язык. Разумеется, ученого пригласили выступить и на общем заседании конгресса в день открытия, но он слишком долго не мог определиться с темой выступления, и организаторам пришлось исключить его доклад из программы.
Наблюдая, как Гильберт в своих очках поднимался на кафедру, зрители спрашивали друг у друга, о чем же он все это время размышлял.
«История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как неразрешимые, чтобы заменить их новыми». Гильберт был убежден, что единственным двигателем прогресса в математике является решение задач. Поэтому, обращаясь к собравшимся в зале Сорбонны, лидер Гёттингенской математической школы подчеркивал, что решить задачу означает сформулировать рассуждения, с помощью которых, исходя из конечного числа гипотез, выраженных точными терминами, можно прийти к выводу за конечное число этапов посредством строгих логических правил вывода. Чтобы проиллюстрировать свои идеи, Гильберт выбрал двадцать три задачи, которые, по его мнению, должны были указать направления исследований математикам XX века, однако ему не хватило времени, чтобы прокомментировать все эти задачи. Благодаря свидетельствам его друзей — математиков Германа Минковского (1864–1909) и Адольфа Гурвица (1859–1919) — нам известно, каких трудов стоило Гильберту выбрать задачи, упомянутые в парижском докладе. И однако он ни на секунду не усомнился в своем выборе. Вторая задача из списка звучала, казалось, совершенно невинно: являются ли аксиомы арифметики непротиворечивыми?
* * *
ЗАДАЧА О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ МНОЖЕСТВА
В предыдущей главе вы увидели, что одним из величайших открытий Георга Кантора было доказательство того, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. И действительно, его диагональный метод позволил показать, что натуральных чисел меньше, чем бесконечных последовательностей, состоящих из нулей и единиц. В первой задаче из списка Гильберта требовалось дать положительный или отрицательный ответ на вопрос о том, существует ли такое множество, кардинальное число которого будет больше, чем кардинальное число множества натуральных чисел, но меньше, чем кардинальное число множества последовательностей из нулей и единиц. Благодаря трудам Курта Гёделя (1940) и математика Пола Коэна из Стэнфордского университета (1963) сегодня нам известно, что если исходить из привычной системы аксиом теории множеств, на этот вопрос нельзя дать ни положительного, ни отрицательного ответа.
* * *
Доклад Гильберта прозвучал 8 августа 1900 года. К этому времени в теории множеств уже появились первые парадоксы, однако Рассел открыл противоречие, которое заставило всех забить тревогу, лишь годом позже. Очень быстро парадокс о множестве всех множеств, которые не принадлежат сами себе, встревожил европейские математические круги: в Англии Уайтхед предсказал конец «счастливым и спокойным будням», в Германии Фреге добавил к своим «Основам арифметики» пессимистичное предисловие, во Франции Анри Пуанкаре, враг математической логики, победно воскликнул: «Формальная логика не бесплодна: она порождает противоречия». Если от кого и ожидали ответа, то это был Давид Гильберт — его многие считали новым Евклидом благодаря опубликованной им в 1899 году системе аксиом геометрии, которая ознаменовала начало современного подхода к этой дисциплине. Тем не менее Гильберт не потрудился дать меткий ответ, который вошел бы в историю, подобно изречениям Уайтхеда, Фреге и Пуанкаре: он просто точно знал, как можно избавить математику от парадоксов.
Давид Гильберт больше всего подходил на роль того, кто покончил бы с математическими парадоксами.
Формализм Гильберта
Решение, предложенное Гильбертом, состояло из двух этапов. Сначала нужно было полностью формализовать арифметику, то есть представить все ее содержимое как формальную систему. Это следовало сделать с максимально возможной строгостью, и за этим первым этапом должен был последовать второй, на котором доказывалась бы корректность выполненной формализации. Математика, в отличие от жены Цезаря, не была выше подозрений: ее непротиворечивость следовало доказать. Для этого Гильберт предложил ряд приемов, объединенных названием «метаматематика».
Читатель справедливо заметит: какова разница между системами аксиом, которые мы рассматривали выше, и формальными системами, которые Гильберт хотел определить для арифметики? Действительно, эти понятия очень похожи, однако формальные системы обладают важным отличием: в них любое утверждение представляется в виде символов искусственного языка, лишенных конкретных значений.
Цель Гильберта понятна из его переписки, в которой он, например, объясняет, что геометрия не изменится, если вместо терминов «точка», «прямая» и «плоскость» мы напишем «любовь», «закон» и «трубочист». Как следствие, для формалиста выражения «глава третья» и «глава 3» — это два разных высказывания, единственная связь между которыми заключается в особенностях синтаксиса: оба выражения начинаются с одного и того же слова.
