Математическая формулировка этого принципа гласит, что элемент либо принадлежит множеству, либо нет. Так как любой третий вариант исключен, в математике этот принцип называется законом исключенного третьего.
Чтобы объяснить свой парадокс простыми словами, Рассел описал город, где по закону брадобрей должен брить только тех, кто не бреет себя сам. Мы заменили свойство «принадлежать самому себе» на «бриться самому», и теперь в роли множества R будет выступать брадобрей. В этой версии парадокса возникает вопрос: кто бреет брадобрея? Если он бреет себя сам, то принадлежит к числу тех, кого по закону ему брить нельзя. Если же он не бреет себя сам, то по закону он должен брить себя сам. Что бы они ни делал, он окажется в тюрьме, где, возможно, некий логик попытается убедить его, что провести несколько лет в тюрьме всегда лучше, чем столкнуться с противоречием, которое ставит под сомнение правильность всей математики двух тысячелетий.
В другой версии парадокса брадобрей заменен на библиотекаря, которому нужно навести порядок в библиотеке — такой большой, что для нее требуется каталог, содержащий все каталоги. Кто-то предложил, что было бы неплохо отделить каталоги, которые содержат ссылки на самих себя, от каталогов, которые не содержат таких ссылок. Это предложение понравилось библиотекарю, и он принялся за работу.
В течение многих лет он работал днями и ночами, и вот, когда он осмотрел одну за другой все полки, ему осталось решить, куда следует поместить объемистый каталог, в составление которого он вложил столько сил. Если этот каталог содержит ссылку на самого себя, его нельзя включить в каталог всех каталогов, которые не содержат ссылку на себя. Если, напротив, этот каталог не содержит ссылки на себя самого, его нужно включить в каталог всех каталогов, которые не содержат ссылку на себя. Если он принадлежит к такому каталогу, то не принадлежит ему, и наоборот. Лишь в этот момент библиотекарь понял, что все его труды оказались напрасными: предложенный критерий не позволит составить полную классификацию.
Столкнувшись с этим парадоксом, Рассел написал письмо Фреге, который в то время вносил правки в доказательства второго тома своего главного труда — «Основные законы арифметики». В него Фреге включил аксиому, благодаря которой стало возможным сформировать множество всех объектов, обладающих свойством Р, однако Рассел открыл, что если эту аксиому применить к самому свойству Р = «принадлежать самому себе», то это приведет к противоречию: множество R всех множеств, которые не принадлежат сами себе, нарушает закон исключенного третьего. Обескураженный этим открытием, Фреге, с присущей ему скрупулезностью, добавил к книге предисловие, в котором признался: «С автором не может произойти ничего более печального, чем, закончив свой труд, увидеть, как рушится одна из основ выстроенного им здания». Затем он предложил видоизменить эту аксиому, однако ее новый вариант не согласовывался с остальной системой аксиом, поэтому решения парадокса Рассела пришлось ждать несколько лет.
В период с 1906 по 1908 год Рассел нашел простое решение парадокса, на основе которого сформулировал теорию типов. До этого он занимался решением онтологической задачи, предметом которой были описания вида «наибольшее натуральное число» или «нынешний король Франции», которые, будучи грамматически корректными, не описывают никакой конкретный объект. В случае с «множеством всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента» дело обстоит еще хуже: это множество не просто не существует, но даже его описание не является корректным. Оно равносильно высказыванию «Франция в период правления нынешнего короля» или «наибольшее натуральное число».
* * *
РАССЕЛ О ФРЕГЕ
В письме к историку математической логики Жану ван Хейенорту от 23 ноября 1962 года Рассел так отзывался о Фреге:
«Когда я думаю о благородстве и честности, то понимаю, что не знаком ни с кем, кто мог бы сравниться с Фреге в стремлении к поиску истины. Фреге заканчивал труд всей своей жизни, большая часть его трудов была проигнорирована, а предпочтение было отдано людям бесконечно менее компетентным, чем он. Второй том уже был готов к публикации, и когда Фреге понял, что его фундаментальная гипотеза была ошибочной, он отреагировал на это с интеллектуальным удовольствием, подавив всякое разочарование. Это было чем-то почти сверхчеловеческим и являло собой признак того, на что способны люди, которые посвятили себя творчеству и знанию, а не отчаянной погоне за властью и славой».
* * *
В простейшем варианте теории Рассела каждому математическому объекту можно присвоить число в зависимости от его сложности: элементы имеют тип 0, множества элементов — тип 1, множества множеств элементов — тип 2 и т. д. Например, если рассмотреть натуральные числа, то число 8 будет иметь тип 0, множество Р всех четных чисел и множество I всех нечетных чисел — тип 1, а множество {Р, I} будет иметь уже тип 2, так как его элементы будут иметь тип 1. После того как всем объектам присвоены типы, устанавливается нерушимое правило: для объекта типа n можно задать отношение принадлежности только к объекту типа n + 1. Выражение «число 8 четное» является корректным, так как 8 имеет тип О, Р — тип 1. Тем не менее нет смысла задаваться вопросом, является ли само множество Р четных чисел четным числом или нет, так как в этом случае речь идет об отношении принадлежности, связывающем объекты одного типа. Именно о таком отношении шла речь в описании множества всех множеств, которые не принадлежат самим себе. На языке логики говорить «принадлежать самому себе» с концептуальной точки зрения некорректно, и здесь парадокс исчезает: для данного свойства Р можно рассмотреть множество объектов, которые обладают этим свойством, однако для этого Р как минимум должно быть корректно определено.
Эрнст Цермело, создатель первой аксиоматики теории множеств.
Одновременно с публикацией в журнале American Journal of Mathematics статьи Рассела «Математическая логика, основанная на теории типов» Эрнст Цермело (1871–1953) предложил новое решение этого парадокса, менее концептуальное, чем выдвинутое Расселом, но намного более практичное с точки зрения «рабочих от математики». Сегодня нам известно, что одна из величайших трудностей при создании любой теории — это определить предмет ее изучения. Повсюду говорят о теории информации, но что такое информация? Некоторые определяют биологию как науку о жизни, но что такое жизнь? Этими же вопросами задался Цермело при рассмотрении теории множеств. Согласно интуитивному определению Кантора, множества были не более чем совокупностями объектов, обладающих определенным свойством, однако такое определение допускало создание множества всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Без четкого определения множества нельзя было двигаться дальше. Цермело заменил примитивное определение множества списком аксиом, в число которых включил аксиому, не позволявшую определить множество из парадокса Рассела. Начиная с этого момента множества стали определяться как объекты, удовлетворяющие списку аксиом.
Парадокс лжеца
Мы начали эту главу с анализа парадокса Рассела, однако пусть читатель не думает, что логические парадоксы являются исключительно творениями современности. Само слово «парадокс» — «неожиданный, странный» — имеет греческие корни.
В широком смысле парадокс — это абсурдное заключение, к которому ведут рассуждения, кажущиеся правильными и начинающиеся с корректных гипотез. Когда Рассел стал рассматривать множество всех множеств, которые не принадлежат сами себе, он опирался на литературную и философскую традицию. Вплоть до конца XIX века казалось невозможным, что парадоксы пересекут границу естественных наук и вторгнутся в царство чистого разума. Философы прибегали к парадоксам, чтобы подчеркнуть, что чувства обманчивы, а поэты использовали парадоксы как единственный способ донести до читателя истину о любви. Математики же страшились парадоксов, словно ящика Пандоры, открыв крышку которого, можно разрушить все в один миг. Поэтому открытие противоречий в теории множеств в то самое время, когда ученые постепенно начали признавать труд Кантора универсальной основой математики, вызвало кризис, пошатнувший самые основы науки. И на преодоление этого кризиса потребовалось несколько лет.
Один из древнейших парадоксов — это парадокс об Ахиллесе и черепахе, с помощью которого философ-досократик Зенон Элейский, ученик Парменида, хотел доказать, что движения не существует, и нанести удар по защитникам атомистической концепции пространства и времени. Зенон объяснял: фора, которую Ахиллес дает черепахе, чтобы забег проходил в равных условиях, непреодолима — когда атлет добежит до того места, где черепаха находилась вначале, она проползет чуть дальше. Когда Ахиллес преодолеет расстояние, пройденное черепахой, он вновь не сможет поравняться с ней — она успеет проползти немного вперед. Ахиллеса всегда будет отделять от черепахи некоторое расстояние, сколь бы малым оно ни было.
