Обратимся теперь к упрощению G. Доказано, что в каждой достаточно мощной формальной системе с Гёделевой нумерацией существует Диофантово уравнение, эквивалентное G. Это происходит потому, что это уравнение, интерпретированное на метаматематическом уровне, утверждает о себе самом, что у него нет решений. Теперь перевернем это утверждение задом наперед: если бы вы нашли решение этого уравнения, вы смогли бы построить на его основе Гёделев номер доказательства того, что это уравнение не имеет решений! Именно это и проделала Черепаха в «Прелюдии», используя в качестве Диофантинбва уравнения уравнение Ферма. Приятно знать, что если вы сможете это сделать, вам удастся восстановить из молекул воздуха звуки игры самого Баха!
Праздничная Кантататата…
В один прекрасный майский день Черепаха и Ахилл встречаются, прогуливаясь по лесу. Ахилл, разодетый в пух и прах, пританцовывает под звуки мелодии, которую он сам себе напевает под нос. На его пиджаке прицеплен огромный круглый значок со словами «Сегодня — мой день рождения!»
Черепаха: Приветствую вас, Ахилл! Что это вы сияете, как начищенный пяпятак? У вас, случайно, не день рождения?
Ахилл: Да, да! Да, сегодня у меня день рождения!
Черепаха: Я так и думала, из-за значка на вашем пиджаке. Кроме того, вы напеваете тему Баховской «Праздничной кантаты», написанной в 1727 году на день рождения Саксонского короля Августа, которому тогда исполнилось 57 лет.
Ахилл: Вы правы. Мы с королем родились в один день, поэтому ЭТА «Праздничная кантата» имеет двойное значение. Однако я вам не скажу, сколько мне лет.
Черепаха: Хорошо, но мне бы хотелось узнать вот что: могу ли я заключить из того, что вы мне до сих пор сообщили, что сегодня ваш день рождения?
Ахилл: Конечно, можете. Сегодня ДЕЙСТВИТЕЛЬНО мой день рождения.
Черепаха: Прекрасно. Я так и подозревала. Так что теперь я заключу, что сегодня ваш день рождения, если только это не…
Ахилл: Если только это не — что?
Черепаха: Если только это не будет слишком поспешным заключением. Знаете ли, черепахи не любят делать поспешных заключений. (Мы вообще не любим спешить, и особенно в наших заключениях.) Так что позвольте мне вас спросить, зная вашу любовь к логическому мышлению, разумно ли заключить из ваших предыдущих высказываний, что сегодня ваш день рождения?
Ахилл: Мне кажется, я улавливаю некую схему в ваших вопросах, г-жа Черепаха. Но вместо того, чтобы делать поспешные заключения, я постараюсь понять ваш вопрос буквально и ответить на него прямо: ДА.
Черепаха: Чудно! Чудно! Мне нужно знать только еще одну вещь, чтобы быть вполне уверенной в том, что сегодня —
Ахилл: Да, да, да, да… Я уже представляю себе, что вы сейчас спросите. Я покажу вам, что я уже не так прост, как тогда, когда мы обсуждали Эвклидово доказательство.
Черепаха: Кто когда-либо считал вас простаком? Как раз наоборот — я считаю вас экспертом в логическом мышлении, знатоком науки верных заключений, кладезем знаний о правильных методах рассуждения… По правде говоря, Ахилл, по моему мнению вы — просто гигант мысли, титан искусства рациональных размышлений И только лишь поэтому я хочу вас спросить «Дают ли ваши предыдущие высказывания достаточно оснований для того, чтобы я без дальнейших колебаний могла заключить, что сегодня ваш день рождения?»
Ахилл: Вы меня совсем раздавили своей тяжеловесной похвалой — подавили, я имею в виду. Но я удивлен повторяющимся характером ваших вопросов — по-моему, вы и сами могли ответить «да» на каждый из них.
Черепаха: Разумеется, могла бы, Ахилл. Но это было бы Тыканием Пальцем В Небо — а Черепахи этого терпеть не могут. Черепахи допускают только Разумные Догадки. О, мощь Разумных Догадок! Вы не представляете себе, сколько людей забывает учитывать все Важные Факторы, когда они строят свои предположения.
Ахилл: Мне кажется, что во всей этой белиберде был только один Важный Фактор — мое первое утверждение.
Черепаха: Точнее, это по меньшей мере ОДИН из факторов, который мне необходимо учесть — но неужели вы хотите, чтобы я упускала из вида Логику, эту славную науку древних? Логика всегда являлась Важным Фактором при построении Разумных Догадок, и, поскольку я имею счастье находиться в компании известного эксперта по Логике, думаю, что будет только логично этим воспользоваться и подтвердить мою интуицию, прямо спросив у него, права ли я. Так что позвольте мне, наконец, обратиться к вам с прямым вопросом «Позволяют ли предыдущие суждения заключить, что сегодня ваш день рождения?»
Ахилл: И еще раз, ДА! Но честно говоря, у меня складывается впечатление, что вы сами могли ответить на этот вопрос, как и на все предыдущие.
Черепаха: О, что за удивительные слова! Желала бы я быть такой мудрой, как вы предполагаете. Но будучи только простой смертной Черепахой, глубоко невежественной и желающей принять во внимание все Важные Факторы, я нуждалась в ваших ответах на все эти вопросы.
Ахилл: В таком случае, позвольте мне прояснить ситуацию раз и навсегда ответом на этот и на все последующие подобные вопросы является ДА.
Черепаха: Великолепно! Одним ударом, со свойственным вам блеском, вам удалось разобраться во всей этой путанице. Надеюсь вы не возражаете, если я назову этот изобретательный трюк СХЕМОЙ ОТВЕТОВ. Она превращает положительные ответы на первый, второй, третий и так далее вопросы в один единственный положительный ответ. На самом деле, поскольку эта схема является завершающим аккордом наших рассуждений, она заслуживает называться Схемой Ответов Омега, поскольку «ω» — последняя буква греческого алфавита (Бог мой, кому я это объясняю!)
Ахилл: Мне не важно как вы это назовете, но какое облегчение, что вы наконец согласились с тем, что сегодня мой день рождения, и мы можем поговорить о чем-нибудь другом — например, о том что вы мне подарите.
Черепаха: Погодите — не так быстро! Я СОГЛАШУСЬ, что сегодня ваш день рождения — при одном условии.
Ахилл: Каком? Не просить подарка?
Черепаха: Вовсе нет. Наоборот, я собиралась пригласить вас на шикарный праздничный ужин, после того, как я буду убеждена, что одновременное знание всех этих положительных ответов (утверждаемое схемой ω) позволит мне прямо и без дальнейших экивоков заключить, что сегодня ваш день рождения. Так оно и есть, не правда ли?
Ахилл: Разумеется.
Черепаха: Хорошо. Предположим, что я получила ответ ω + 1. Вооруженная им, я могу приступить к принятию гипотезы, что сегодня ваш день рождения, если только это позволено сделать. Что вы мне посоветуете, Ахилл?
Ахилл: Что такое? Я-то думал, что мне удалось вырваться из ваших бесконечных сетей. Почему же вас не удовлетворяет ответ ω + 1? Ну, хорошо: я дам вам не только положительный ответ ω + 2, но и ω + 3, ω + 4, и так далее.
Черепаха: Как это щедро с вашей стороны, Ахилл. А ведь сегодня как раз ваш день рождения, когда это Я должна преподносить ВАМ подарки, а не наоборот. Скорее, я ПОДОЗРЕВАЮ, что сегодня ваш день рождения. Наверное, теперь, когда я вооружена новой Схемой Ответов, которую я назову «Схемой Ответов 2ω», я могу заключить, что сегодня ваш день рождения. Но скажите мне, пожалуйста, Ахилл: действительно ли Схема Ответов 2ω позволяет мне совершить этот огромный скачок, или же я что-то пропускаю?
Ахилл: Больше вы меня не проведете, г-жа Черепаха. Как я погляжу, этой глупой игре конца нет! Я решил покончить с этим раз и навсегда и дать вам такую Схему Ответов, которая одним ударом расправится со всеми предыдущими Схемами. Я дам вам одновременно Схему Ответов ω, 2ω, Зω, 5ω и т. д. С этой Мета-Схемой-Ответов мне уж наверняка удастся ВЫСКОЧИТЬ из системы, перехитрить эту глупую игру, в сети которой вы думали меня уловить — теперь-то вам ПРИДЕТСЯ в этом признаться!
