Рис. 75. Разветвление ТТЧ. У каждого нового варианта ТТЧ — своя Гёделева строчка; эта строчка или ее отрицание могут быть добавлены к системе, так что из каждой системы могут родиться два новых варианта; этот процесс может продолжаться до бесконечности.
Разумеется, это только начало. Представьте себе, что мы движемся вниз по самой левой ветви этого дерева, всегда добавляя саму Гёделеву строчку (а не ее отрицание). Это большее, что мы можем сделать, чтобы избавиться от супернатуральных чисел. После добавления G мы добавляем G'; затем G'', G''' и так далее. Каждый раз, когда мы производим новый вариант ТТЧ, ее уязвимость против Черепашьего метода — простите, я имею в виду Гёделева метода — позволяет вывести новую строчку, интерпретируемую как:
«Я не могу быть доказана в формальной системе X».
Разумеется, через некоторое время весь этот процесс начинает казаться привычным и легко предсказуемым — ведь все эти «дырки» делаются при помощи одной и той же техники! Это означает, что, как типографские объекты, они все сделаны по одному и тому же эталону — что, в свою очередь, означает, что они могут быть представлены с помощью одной-единственной схемы аксиом. Так почему бы нам не попытаться заткнуть все дырки одним махом, чтобы раз и навсегда избавиться от этой противной неполноты? Вместо того, чтобы добавлять по одной аксиоме, мы можем добавить к ТТЧ схему аксиом. Эта схема аксиом будет тем эталоном, по которому будут изготовляться G, G', G'', G''' и так далее. Может быть, что путем добавления этой схемы аксиом (назовем ее «Gω.») нам удастся перехитрить метод «Гёделизации». Действительно, кажется совершенно ясным, что добавление Gω, к ТТЧ будет последним шагом, необходимым для полной аксиоматизации всех истин теории чисел.
Этот момент соответствует тому месту «Акростиконтрапунктуса», где Черепаха рассказывает о создании Крабом патефона «Омега». Однако читатели были оставлены в неизвестности по поводу судьбы этого аппарата, поскольку усталая Черепаха решила поползти домой спать (но прежде, чем уйти, хитрое животное сделало тонкий намек на Теорему Гёделя о неполноте). Теперь, наконец, у нас дошли руки до того, чтобы прояснить ту ситуацию… Возможно, что, прочтя Диалог «Праздничная Кантататата», вы уже подозреваете, каков будет ответ.
Непополнимость
Как вы, наверное, и подозревали, даже это фантастическое улучшение ТТЧ не может избежать той же судьбы. Странно, что происходит это по той же причине, что и раньше. Схема аксиом недостаточно мощна, и к ней снова приложимо Гёделево построение. Постараюсь это объяснить. (Существует более строгое объяснение, чем то, которое я приведу здесь.) Если бы удалось описать все строчки G, G', G'', G''', … при помощи одной-единственной типографской схемы, это означало бы, что существует способ описать Гёделевы номера этих строчек при помощи одной-единственной арифметической схемы. И этот арифметический портрет бесконечного класса чисел может быть представлен в ТТЧ + G' при помощи некоей формулы АКСИОМА-ОМЕГА{а}, которая интерпретируется следующим образом: «а — это Гёделев номер одной из аксиом, получающихся из Gω». Когда a заменяется на какой-либо определенный символ числа, получившаяся формула будет теоремой ТТЧ + Gω тогда и только тогда, когда этот символ представляет собой Гёделев номер аксиомы, принадлежащей этой схеме.
С помощью этой новой формулы становится возможным представить даже такое сложное понятие как пара-доказательства-ТТЧ + Gω внутри ТТЧ + Gω:
ПАРА-ДОКАЗАТЕЛЬСТВА-(ТТЧ + Gω){a,a'}
Используя эту формулу, мы можем построить нового «дядю» и затем приступить к его арифмоквайнированию уже знакомым нам способом, производя таким образом еще одну неразрешимую строчку, которую мы назовем «ТТЧ + Gω+1». Вы, наверное, спросите, почему ТТЧ + Gω+1 не находится среди аксиом, порожденных нашей схемой аксиом ТТЧ + Gω? Ответом является то, что ТТЧ + Gω оказалась недостаточно хитра, чтобы предусмотреть возможность своего собственного включения в теорию чисел.
В «Акростиконтрапунктусе» Черепаха, чтобы создать «непроигрываемую запись», должна была достать чертежи того патефона, который она собиралась разрушить. Это было необходимо для того, чтобы вычислить, какой тип вибраций обладает разрушительной силой для данного патефона, и затем создать запись, в звуковых дорожках которой были бы закодированы именно такие звуки. Это довольно близкая аналогия с методом Гёделя, где собственные свойства системы отражаются в понятии пар доказательства и затем используются против нее самой. Любая система, как бы сложна она ни была, может быть подвергнута Гёделевой нумерации, после чего в ней может быть определено понятие пар доказательства — и это будет ружьем, которое выстрелит в самого охотника. Как только система определена, упакована в «коробку», она становится уязвимой.
Этот принцип прекрасно иллюстрирован в диагональном методе Кантора, который позволяет найти недостающее действительное число для каждого хорошо определенного списка действительных чисел между 0 и 1. Именно создание хорошо определенного списка действительных чисел является причиной неудачи. Давайте посмотрим, как Канторов метод может быть повторен снова и снова. Подумайте, что произойдет, если, начиная с некоего списка L, вы проделаете следующее:
(1а) Возьмете список L и построите его диагональное число d.
(1b) Добавите d к списку L, получая таким образом новый список L + d.
(2а) Возьмете список L + d и построите его диагональное число d'.
(2b) Добавите d' к списку L + d, получая таким образом новый список L + d'.
.
.
Этот процесс постепенного «залатывания дырок» в L кажется слишком медленным, поскольку, имея в распоряжении L, мы могли бы получить d, d', d'', d''' сразу. Но если вы думаете, что создавав такой список, получите полное описание всех действительных чисел, то вы ошибаетесь. Проблема возникает в тот момент, когда вы спрашиваете себя, в каком месте L нужно вставить список диагональных чисел. Какой бы хитроумной схемой вы при этом не пользовались, как только ваш новый список L будет закончен, он тут же окажется уязвимым. Как я уже сказал, именно создание хорошо определенного списка действительных чисел оказывается причиной неудачи.
В случае с формальными системами, неполнота возникает, когда мы определяем предполагаемый рецепт выражения теоретико-численной истины. Именно в этом заключалась проблема ТТЧ + Gω. Как только вы вводите все хорошо определенные G в ТТЧ, там тут же появляется некое новое G, непредусмотренное вашей схемой аксиом. В случае сражения Черепахи с Крабом в «Акростиконтрапунктусе», как только «архитектура» патефона была определена, он становился уязвимым для разбивальной музыки.
Так что же делать? Конца этому не предвидится. Кажется, что ТТЧ, даже если расширять ее до бесконечности, всегда будет оставаться неполной. Поэтому говорят, что ТТЧ непополнима, поскольку неполнота является неотъемлемой характеристикой ТТЧ: это одно из ее основных свойств и избавиться от него невозможно. Более того, эта проблема будет преследовать любой вариант теории чисел, будь это расширенная версия ТТЧ, измененная версия ТТЧ, или альтернативная версия ТТЧ. Дело в том, что в любой данной системе возможность построить неразрешимую строчку путем Гёделева метода автореференции зависит от трех основных условий:
1) Чтобы система была достаточно мощной, так что все желаемые высказывания о числах, как истинные, так и ложные, могли бы быть в ней выражены. (Если это условие не выполняется, значит, система с самого начала слишком слаба, чтобы соперничать с ТТЧ, поскольку она даже не способна выразить теоретико-численные понятия, выразимые в ТТЧ. На метафорическом языке «Акростиконтрапунктуса» это было бы равносильно использованию вместо патефона, скажем, холодильника.
