В повседневной жизни мы применяем слово «пропорция» для обозначения соотношения между частями целого по размеру или количеству – или когда хотим подчеркнуть гармоничные отношения между разными частями. В математике термин «пропорция» применяется для описания равенства следующего типа: девять относится к трем, как шесть к двум. Как мы увидим, золотое сечение дарит нам чарующее сочетание этих определений: хотя определяется оно строго математически, однако считается, что оно обладает свойствами, обеспечивающими приятную гармонию.
Первое четкое определение соотношения, которое впоследствии станет известно как золотое сечение, дал примерно в 300 году до н. э. Евклид Александрийский, основатель геометрии как формальной дедуктивной системы. К Евклиду и его фантастическим достижениям мы еще вернемся в главе 4, а пока позвольте отметить, что Евклид вызывает столь сильное восхищение, что поэтесса Эдна Сент-Винсент Миллей в 1923 году даже посвятила ему стихотворение под названием «На обнаженность красоты Евклид взглянул» (пер. Л. Мальцевой). Эдна даже сохранила свою школьную тетрадь по евклидовой геометрии. Евклид определил пропорцию, выведенную из простого деления линии (отрезка), по его выражению, «в крайнем и среднем отношении»: «Прямая линия называется рассеченною в крайнем и среднем отношении, когда как целая прямая к большему отрезку, так больший к меньшему» (пер. Ф. Петрушевского) (рис. 2).
Рис. 2
Иначе говоря, если мы посмотрим на рис. 2, то увидим, что отрезок АВ определенно длиннее отрезка АС, в то же время АС длиннее СВ. Если отношение длины АС к длине СВ такое же, как отношение длины АВ к длине АС, значит, отрезок поделен «в крайнем и среднем отношении» – или в золотом сечении.
Кто бы мог подумать, что такое на первый взгляд невинное разделение отрезка, которое Евклид определил в чисто геометрических целях, окажет влияние на самые разные разделы знания – от положения листьев в ботанике до структуры галактик, состоящих из миллиардов звезд, от математики до искусства? Следовательно, золотое сечение – прекрасный пример того самого крайнего изумления и восторга, которые так высоко ценил великий физик Альберт Эйнштейн (1879–1955). Вот как он об этом писал: «Самое прекрасное, что только может выпасть нам на долю, – это тайна. Стремление разгадать ее стоит у колыбели подлинного искусства и подлинной науки. Тот, кто не знает этого чувства, утратил любопытство, не способен больше удивляться, – все равно что мертвый, все равно что задутая свеча».
Как мы еще увидим, когда проследим на страницах этой книги все необходимые вычисления, точное значение золотого сечения (то есть отношение АС к СВ на рис. 2) – бесконечное непериодическое число 1,6180339887…, а такие бесконечные неповторяющиеся числа интересовали людей со времен античности. Рассказывают, что когда греческий математик Гиппас из Метапонта в V веке до н. э. обнаружил, что золотое сечение – это и не целое число (подобное нашим добрым знакомым 1, 2, 5 и т. д.), и даже не отношение двух целых чисел (подобное дробям вроде 1/2, 2/3, 3/4, которые в совокупности называются рациональными числами), это привело остальных пифагорейцев – то есть последователей знаменитого математика Пифагора – в полнейшее смятение. Предметом поклонения для пифагорейского мировоззрения (о котором мы подробно поговорим в главе 2) был arithmos – то есть имманентные качества целых чисел и их отношений и их предполагаемая роль в мироздании. А открытие, что существуют числа вроде золотого сечения, которые все тянутся и тянутся вечно и при этом в них нет никаких следов повторяемости, никакой закономерности, вызвало самый настоящий философский кризис. Легенда даже утверждает, будто пифагорейцы, совершенно потрясенные этим открытием колоссальной важности, устроили гекатомбу – пожертвовали сто быков, – хотя это вряд ли, учитывая, что пифагорейцы были строгими вегетарианцами. Тут я вынужден подчеркнуть, что большинство подобных историй основаны на недостоверном историческом материале. Так или иначе, мы даже приблизительно не знаем, когда именно были открыты числа, которые не являются ни целыми, ни дробями – так называемые иррациональные числа. Однако некоторые ученые датируют это открытие V веком до н. э., что, по крайней мере, соответствует только что рассказанным легендам. Очевидно одно: пифагорейцы в общем и целом считали, что существование подобных чисел так ужасно, что это, должно быть, своего рода ошибка мироздания, которую надо замолчать и держать в тайне.
Тот факт, что золотое сечение невозможно выразить в виде дроби (как рациональное число), попросту означает, что нельзя выразить в виде дроби соотношение длин АС и СВ на рис. 2. Иначе говоря, как бы мы ни трудились, мы не найдем единицы измерения, которая, скажем, укладывалась бы 51 раз в АС и 19 раз в СВ. Две длины, у которых нет подобной единицы измерения, называются несоизмеримыми. В своем труде «Жизнь Пифагора» (ок. 300 г. н. э.) философ и историк Ямвлих из аристократического сирийского семейства так описывает бурную реакцию на это открытие: будто бы тот, кто открыл эту тайну непосвященным, «вызвал, как говорят, такую ненависть, что его не только изгнали из общины и отлучили от пифагорейского образа жизни, но и соорудили ему надгробие, как будто действительно ушел из жизни тот, кто некогда был их товарищем» (пер. И. Ю. Мельниковой).
В профессиональной математической литературе золотое сечение принято обозначать греческой буквой τ (тау) – от греческого слова τομή (читается «томэ»), которое означает «сечение» или «разрез». Однако в начале ХХ века американский математик Марк Барр предложил обозначать золотое сечение буквой φ – по первой букве имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего примерно в 490–430 гг. до н. э. Величайшие шедевры Фидия – Афина Партенос в Афинах и Зевс в Олимпии. Кроме того, полагают, что он отвечал и за другие скульптуры в Парфеноне, хотя весьма вероятно, что их создали его ученики и помощники. Барр решил, что надо почтить память скульптора, поскольку многие искусствоведы полагают, что Фидий часто и весьма точно применял золотое сечение в своих творениях (эту и подобные гипотезы мы очень дотошно разберем в нашей книге). Я буду называть его и золотым сечением, и числом φ, поскольку именно такие обозначения чаще всего встречаются в популярной математической литературе.
Величайшие математические умы в истории – и древнегреческие мудрецы Пифагор и Евклид, и средневековый итальянский ученый Леонардо Пизанский по прозвищу Фибоначчи, и астроном эпохи Возрождения Иоганн Кеплер, и современные научные светила, например, физик из Оксфорда Роджер Пенроуз, немало часов провели в размышлениях над этим простым соотношением и его свойствами. Однако золотое сечение чарует отнюдь не только математиков. Биологи, художники, историки, музыканты, архитекторы, психологи и даже мистики – все они размышляли над тем, почему это число столь вездесуще и в чем его притягательность. По сути дела, можно, пожалуй, сказать, что золотое сечение вдохновляло мыслителей из всех отраслей знания – и в этом с ним не в силах сравниться никакое другое число в истории математики.
Даже простому вопросу о происхождении названия «золотое сечение» посвящено огромное количество исследований, а особенно глубоко этим интересовался канадский математик и писатель Роджер Герц-Фишлер, о чем и рассказано в его превосходной книге «A Mathematical History of the Golden Number» («Математическая история золотого сечения»). Учитывая, какой пристальный интерес вызывало это число еще со времен античности, можно было бы подумать, что и название это античного происхождения. И в самом деле, некоторые авторитетные труды по истории математики, например, «Рождение математики во времена Платона» Франсуа Ласерре (François Lasserre. «The Birth of Mathematics in the Age of Plato») и «История математики» Карла Б. Бойера (Carl B. Boyer. «History of Mathematics»), возводят это название, соответственно, к XVI и XVII векам. Однако дело, скорее всего, не в этом. Насколько я могу судить по обширным источниковедческим данным, впервые это словосочетание применил в 1835 году немецкий математик Мартин Ом (брат знаменитого физика Георга Симона Ома, в честь которого назван закон Ома в электромагнетизме) во втором издании своей книги «Чистая элементарная математика» (Martin Ohm. «Die Reine Elementar-Mathematik»). В одной сноске Ом пишет: «Подобное разделение произвольного отрезка на две части принято также называть золотым сечением». Формулировка Ома однако создает впечатление, что он не сам придумал этот термин, а скорее привел уже принятое название. Тем не менее, в первом издании книги, опубликованном в 1826 году, Ом этого названия не приводит, а это заставляет сделать по крайней мере тот вывод, что выражение «золотое сечение» (нем. «der Goldene Schnitt») завоевало популярность лишь к 1835 году. Вероятно, ранее это было лишь разговорное выражение, применявшееся преимущественно в математических кругах. Однако нет никаких сомнений, что после книги Ома термин «золотое сечение» стал часто повторяться в немецкой литературе по математике и искусствоведению. А в англоязычной печати это выражение, по всей видимости, дебютировало в статье Джеймса Салли (James Sully) по эстетике, которая появилась в девятом издании Британской энциклопедии в 1875 году. Салли описывает «интересное экспериментальное исследование… проведенное Густавом Теодором Фехнером (известным немецким физиком и первопроходцем в области психологии, жившим в XIX веке) о том, что «золотое сечение» первоначально было именно зримой пропорцией» (об экспериментах Фехнера мы подробно поговорим в главе 7). В математическом контексте этот термин впервые встретился в англоязычной литературе, по всей видимости, в статье Э. Эккерманна, которая так и называлась «Золотое сечение» (E. Ackermann. «The Golden Section») и была напечатана в журнале «American Mathematical Monthly» в 1895 году, а также – примерно в это же время, в 1898 году – в книге «Введение в алгебру» известного преподавателя и писателя Дж. Кристала (1851–1911). Позвольте мне отметить любопытства ради, что единственное определение «золотого числа», появившееся в издании французской энциклопедии «Nouveau Larousse Illustré» 1900 года, гласит: «Число, определяющее каждый год лунного цикла». Это относится к положению календарного года в пределах 19-летнего цикла, после которого фазы луны снова приходятся на те же даты. Очевидно, во французскую математическую номенклатуру «золотое число» и тем более «золотое сечение» проникало гораздо дольше.
