Да, счастливые озарения существуют, но они не являются уделом гениев, и не все задачи решаются исключительно благодаря озарениям. Как вы увидите далее, эти озарения, равно как и поиск взаимосвязей между элементами задачи, — плод длительного и упорного труда. Как найти среди множества взаимосвязей между исходными данными те, которые приведут к решению? Именно в правильном выборе подобных «благоприятных возможностей» и заключается математическое творчество.
Социальные, культурные и гуманистические составляющие математики
В гуманистическом представлении математика рассматривается как исторический, социальный и культурный продукт. В самом деле, многие открытия в математике сделаны точно так же, как и в других науках. С помощью «предположений и опровержений», по словам Имре Лакатоса, математик прорубает дорогу в джунглях, обходит препятствия и постепенно, шаг за шагом, от одного контрпримера к другому, движется к формулировке теоремы. Математические теории доказываются с помощью безупречных логических рассуждений, которые остальному миру напоминают ровную и безопасную дорогу, ведущую прямо в пункт назначения.
Английский математик и философ науки венгерского происхождения Имре Лакатос.
Однако для строительства этой магистрали необходимы и другие, на первый взгляд незаметные, факторы, в частности эксперимент, интуиция и аналогия. Вновь процитируем слова Херша:
«Доказательство в реальной жизни, полностью или частично, является неформальным. Фрагмент формальной аргументации — вычисления — обретают смысл только как дополнение или подтверждение некоторого неформального рассуждения. Логический и формальный облик доказательства является предметом рассмотрения логики, а не математики реального мира…»
Математические знания создаются по итогам критической проверки результатов, представленных членами научного сообщества, однако истоки этих знаний лежат в практике и в ощущениях, подобных тем, что испытывает любой человек, взаимодействуя с окружающей средой. Такая «натуралистическая» точка зрения, как вы увидите на страницах этой книги, допускает возможность совершения математических открытий в сферах, никак не связанных с наукой.
Взгляд на математику как на продукт культуры, в котором, как и в любом другом продукте культуры, возможны неточности, а основы которого носят эмпирический характер, носит название «социальный конструктивизм». Эта точка зрения близка взглядам уже упомянутых нами авторов, в частности Лакатоса, Дэвиса и Херша.
Процитируем одного из наиболее выдающихся представителей этой школы, американца Пола Эрнеста:
«В общей сложности тезис социального конструктивизма заключается в том, что объективное математическое знание существует в социальном мире человеческих действий с его правилами и благодаря ему. В основе этого знания лежит субъективное математическое знание отдельных людей, которое непрерывно воссоздается. Так, субъективное знание воссоздает объективное, при этом последнее нельзя свести к первому».
В этом видении математики наука и образование идут рука об руку, а обучение математике определяется обществом и культурой. Историки математики упоминают о важных для развития этой науки цивилизациях древнего мира: это Древняя Месопотамия, Древний Египет, Древняя Греция, древняя Аравия, древняя Индия и древний Китай. Все это мертвые цивилизации.
Историки сходятся в том, что математика берет начало в глубокой древности, когда зарождался сам язык, когда еще не существовало ни западной культуры, ни цивилизации вообще. Если мы будем считать создание и распространение систем счисления началом математической деятельности человечества и, подобно выдающимся историкам науки, будем полагать, что системы счисления были созданы до того, как появилась письменность, то остается сделать последний вывод: математика зародилась не только за рамками нашей культуры, но и задолго до ее рождения.
Математики творят или совершают открытия?
Накопленные математические знания и наследие Платона заставляют думать, что математика представляет собой череду открытий, однако в этой науке не открывают — здесь создают. Процитируем испанского логика Жузепа Пла:
«…Математика, практически так же, как язык, является продуктом человеческого разума и обладает собственной жизненной силой, что заставляет думать, что она существует независимо от математических знаний и математического творчества. Позволю себе решительно заявить — эта точка зрения ошибочна».
Проиллюстрируем это представление на примере. Допустим, что животные собрались на водопой. Некий человек, посмотрев на них, опишет их множеством способов и сформулирует множество вопросов о них. Но эти описания и вопросы будут определяться его культурой. При этом математики-формалисты указывают, что на водопой собралось, например, семь животных, и их число не зависит от наблюдателя. Мы нашим примером хотим подчеркнуть, что число семь определяется нашей культурой, так как наблюдатель умеет считать, умеет различать «много» и «мало» и ему интересно, сколько же именно составляет «много», а сколько — «мало».
Однако человек, насчитавший семь животных, возможно, упустил из виду что-то, что находится у него перед глазами и доступно его чувствам, поскольку особенности его культуры не позволяют ему сформулировать вопросы об этом на своем языке.
Откуда мы знаем, что эти незаданные вопросы не относятся к сфере математики и не являются такими же важными, как вопрос о числе животных на водопое?
Поэтому разумно утверждать, вслед за Хершем и Эрнестом, что известная нам математика является продуктом человеческого общества и культуры. Следовательно, в разных культурах она будет отличаться. И это действительно так. Разве неевклидова геометрия, созданная в буржуазной Европе XVIII века, не отличается от древнегреческой геометрии Евклида, созданной 2500 лет назад?
Вся математика Евклида имеет конечный характер. В ней отсутствуют итеративные процессы и понятие предела. В этом контексте дифференциальное исчисление нельзя рассматривать как нечто относящееся к математике. Сегодня степень математической глобализации такова, что все возможные различия нивелировались.
Евклидова, проективная, сферическая, фрактальная геометрия, метод конечных элементов, рекуррентные формулы, использование простейших (линейка, циркуль) и сложных приспособлений (компьютерные программы) — все это и многое другое мы объединяем одним названием: «математика». Теперь все перечисленное выше образует единое целое, но раньше это было не так.
В ванной с
Архимедом и
ПуанкареПо легенде, когда великий математик и мудрец Архимед принимал ванну, ему пришла в голову идея (озарение?), что объем тела, погруженного в воду, равен объему вытесненной им воды, и он воскликнул «Эврика!», то есть «Нашел!». Подобное счастливое озарение было и остается примером математического творчества. Однако это кажущаяся спонтанность. Другие великие математики, например француз Анри Пуанкаре, переживали похожие моменты и рассказывали о том, как и когда на них снизошло вдохновение.
Как в мозгу человека зарождаются удивительные идеи? В результате чего они возникают? Ответы на эти вопросы нужно искать не в математике, а в психологии.
В начале прошлого века Пуанкаре предложил описание того, как работает ум математика, и представил его Парижскому психологическому обществу. Он начал свой доклад с двух парадоксальных вопросов: «Как может кто-то не понимать математики вообще или с трудом понимать ее? Возможны ли в математике ошибки?»
* * *
АРХИМЕД ИЗ СИРАКУЗ (287–212 ГОДЫ ДО Н. Э.)
Он умер от рук римского солдата, который не знал о приказе консула Марцелла сохранить ученому жизнь. По легенде, солдат не пощадил изобретателя, который был погружен в математические размышления, в то время как в его доме орудовали римские воины. К наиболее важным открытиям Архимеда относятся: правило рычага, приближенное вычисление площади круга, решение задачи о трисекции угла, вычисление площади сегмента параболы и площади сферического сегмента, а также труд о шаре и цилиндре.
Профиль Архимеда изображен на медали Филдса, которая каждые четыре года вручается одному или нескольким математикам в возрасте до сорока лет. Филдсовская премия в математике считается аналогом Нобелевской премии.
* * *
Первый вопрос возникает, когда мы утверждаем, что в основе математики лежит логика с ее основополагающими и всеобщими принципами. Второй вопрос возникает, если мы считаем, что математик — это некий мудрец, который в своей работе руководствуется законами логики, и поэтому не может совершать ошибок. При этом некоторые люди прекрасно разбираются в бытовой логике, но при этом не способны понять математическое доказательство, состоящее из кратчайших логических рассуждений. А сам Пуанкаре признавался, что не мог складывать числа без ошибок!
