Мы видим, как в размышлениях о творчестве появляется новый фактор — понимание, который применительно к математике может иметь первостепенную важность. Тот, кто не понимает задачу, не сможет решить ее, и, возможно, это неожиданное озарение, о котором мы говорили выше, возникает именно тогда, когда к нам приходит четкое понимание рассматриваемого события или явления. Таким образом, на смену выражениям «эврика!» и «я вижу» приходит новое, более глубокое: «я понимаю». Аналогия, эксперимент, практика, логика, понимание и постановка задач — это важнейшие компоненты эвристики — науки, изучающей неосознанное, творческое мышление.
Эвристика: плавильный котел математического творчества
Способность видеть нужные взаимосвязи можно развить. Для этого необходимо перебирать различные альтернативы, пробовать и ошибаться, возвращаться назад и идти другим путем, иными словами, экспериментировать. Так мы учимся выбирать подходящие пути и отклонять неподходящие, не проходя их все до единого. Это искусство изобретать, открывать пути решения математической задачи известно под названием «эвристика».
Наибольших успехов в ней достиг венгерский математик первой половины XX века Дьёрдь Пойа. «Да, математика имеет две стороны: с одной стороны, это точная наука Евклида, с другой стороны, это еще и нечто большее, — говорил он. — Математика, представленная в стиле Евклида, кажется систематической и дедуктивной наукой, однако математика как процесс больше напоминает экспериментальную, индуктивную науку. Оба ее аспекта столь же древние, как и сама математика». Именно это «нечто большее», как вы увидите далее, очень тесно связано с творчеством в математике. В книге «Как решать задачу» Пойа приводит четыре основных этапа решения математической задачи.
1. Понять задачу.
2. Составить план решения.
3. Осуществить план решения.
4. Оглянуться на полученное решение и проанализировать его.
Пойа различает задачи на доказательство и задачи на поиск решения. Задача, рассмотренная в предыдущем разделе, относится ко второму типу. В конце этой главы мы приведем пример эвристического решения задачи первого типа.
* * *
ДЬЁРДЬ ПОЙА (1887–1985)
Этот венгерский математик разработал основные приемы решения задач. Гипотеза Пойа, сформулированная в 1919 году, гласит, что большинство натуральных чисел, меньших любого заранее заданного числа, разлагаются на нечетное количество простых множителей. Эта гипотеза была опровергнута в 1958 году, однако минимальный контрпример был найден лишь в 1980-м: это число 906150257.
* * *
Творческий характер эвристического метода подчеркивали Дэвис и Херш: «Эвристический пример доказательства и опровержения, предложенный Лакатосом… может быть применен при создании новой математики» (Дэвис и Херш, 1989, стр. 216). Чтобы применить эвристический метод подобным образом, требуется смена точки зрения и немалая доля мужества — в том числе потому, что распространенное представление о математике не согласуется с тем, что представляет из себя математика на самом деле.
Рассмотрим в качестве примера одну из фундаментальных теорем геометрии на плоскости, которая гласит, что сумма углов треугольника равна развернутому углу. Иными словами, в любом треугольнике с углами А, В и С выполняется равенство A + В + С = 180°, где 180° — величина развернутого угла.
Совместим ли мы вершины всех трех углов треугольника в одной точке и проверим, равна ли их сумма развернутому углу, или пойдем путем эксперимента, вырезав ножницами три угла треугольника из бумаги и расположив их требуемым образом, — все эти действия доказывают не теорему, а лишь частный случай.
Наиболее известное доказательство этой теоремы основано на том, что через одну из вершин треугольника, например С, проводится прямая r, параллельная противоположной стороне треугольника. В результате построения образуются два внешних угла треугольника при вершине С. Обозначим их X и Y.
Так как прямая r параллельна стороне АВ, угол X равен углу А. Это же справедливо для углов В и Y. Однако очевидно, что три угла при вершине С образуют развернутый угол. Следовательно, 180° = X + C + Y = A + C + B, таким образом, сумма углов треугольника равна развернутому углу: А + В + С = 180°.
В основе этого доказательства лежит построение дополнительной линии, которая используется в дальнейших рассуждениях. Существует много способов построить дополнительные точки и линии, но для наших целей подходит только один. На решение задачи также влияет форма и положение построенного треугольника, то есть картина, которую мы видим своими глазами.
Те, кто не догадался, что через одну из вершин треугольника можно провести прямую, параллельную противоположной его стороне, могут взглянуть на доказательство с другой точки зрения. Для этого рассмотрим построение треугольника подробнее.
Построить треугольник означает провести замкнутую линию с тремя углами. Для этого мы ставим карандаш в точку Р на листе бумаги и проводим прямую линию, например вправо. Конец проведенного отрезка Q определяется изменением направления линии, которая еще раз сменит направление в третьей вершине треугольника, R. Далее мы соединяем третью вершину треугольника с исходной точкой Р.
Используем это построение в нашем доказательстве. Треугольник образуется построением трех отрезков. Началом второго отрезка является точка Q, где линия поворачивает на угол В. В точке R мы совершаем поворот на угол С, возвращаемся в исходную точку Р и в ней совершаем поворот на угол А, после чего полученное направление прямой совпадает с исходным направлением отрезка PQ.
Значит, в сумме мы совершили три поворота на общий угол в 360°:
A + В + С = 360°.
Однако каждый из этих углов является смежным к соответствующему внутреннему углу треугольника, то есть дополняет угол А, В и С соответственно до 180°.
Обозначив внутренние углы треугольника через α, β и γ, получим:
(180° — α) + (180° — β) + (180° — γ) = А + В + С = 360°.
540° — (α + β + γ) = 360°.
180° = α + β + γ.
Таким образом, сумма внутренних углов треугольника равна развернутому углу.
Это доказательство основано на способе построения исходной фигуры, для него не требуется ничего, кроме размышлений о ходе этого построения.
Эвристический метод Пойа и Лакатоса довольно точно описывает таинственный путь, который прошла математика за свою историю. Доказательство теоремы рождается в ходе рассмотрения возражений и контрпримеров, как локальных, так и глобальных, цель которых — не просто уточнить доказательство, но переформулировать условие задачи так, чтобы перейти к новым определениям и категориям. Итогом этого процесса является более точная или более общая формулировка и окончательное доказательство.
Творчество и обучение математике
Суть обучения математике в духе конструктивизма — показать, что мы можем решать задачи, используя уже известную информацию и, при необходимости, прибегнув к некоторой помощи со стороны. По сути, мы учимся математике, создавая ее.
Да, полученные нами знания не будут открытием мирового масштаба, но действовать при этом мы будем точно так же, как и профессиональные математики. И уж конечно, мы заслуживаем того, чтобы чувствовать себя такими же счастливыми, как они.
Но хотя каждый человек способен создавать математику, сложность заключается в необходимости быть внимательным. Учиться означает искать ответы, но чтобы искать ответы, нужны вопросы. Кто задает математические вопросы о том, что видит, слышит, делает или ощущает? Почти никто — в этом и заключается разница между математиками и всеми остальными. Однако постигнуть мир без помощи математики нельзя. Когда мы смотрим на него математическим взглядом, когда мы задаем вопросы и находим на них ответы, мы тоже учимся.
Нельзя определить, что происходит в мозгу в тот момент, когда в нем зарождается новая идея. Момент, когда мы испытываем счастливое озарение, всегда приходит неожиданно. Мы можем как-то повлиять лишь на два оставшихся этапа решения задачи.
