Ахилл: Вы меня совсем сбили с толку вашими отвлекающими маневрами. Я уже перестал понимать, идет ли речь о каких-то чепуховых мелочах или же о чем-то важном и глубоком.
Черепаха: Уверяю вас, Черепахи не занимаются мелочами. Следовательно, верно второе.
Ахилл: Вы меня успокоили, благодарю вас. Теперь, поразмыслив, я вижу логический шаг, необходимый, чтобы уверить вас в том, что вы противоречили себе.
Черепаха: Отлично! Надеюсь, что этот шаг столь же легок, сколь бесспорен.
Ахилл: Так и есть — даже вы с ним согласитесь. Идея в том, что если вы считаете истинным предложение 1 («Мой панцирь зеленый») и предложение 2 («Мой панцирь не зеленый»), то вы должны считать истинной комбинацию этих двух предложений. Не так ли?
Черепаха: Безусловно. Это только естественно… если, конечно, все согласны с тем, КАК эти предложения комбинировать.
Ахилл: Разумеется — и тут-то я вас поймаю! Я предлагаю такую комбинацию —
Черепаха: С комбинированием предложений надо быть осторожнее. Разрешите мне это продемонстрировать. Наверняка, Ахилл, вы согласитесь со следующим предложением, описывающим ваш странный род:
У людей пять пальцев.
К тому же, истинность его весьма нетрудно проверить, не так ли?
Ахилл (неуверенно): Соглашусь ли я? То есть, э-э, гмм… как это я могу не согласиться с таким скучным и плоским утверждением? Минуточку… (Смотрит себе на пальцы и бормочет.) Раз, два, три, четыре… (Вслух, Черепахе) Г-жа Черепаха, а мизинец тоже считается за палец?
Черепаха: Я думаю, да.
Ахилл (снова бормочет): Ага! Получается пять. Кажется, правильно. Я проверил все необходимые и достаточные условия истинности, так что… (Вслух, на этот раз гораздо более уверенно): ЛЮБОЙ знает, что тривиальное суждение «у людей пять пальцев» — истинно! Что может быть более очевидно?
Черепаха: Разумеется. А теперь потрудитесь проверить почти такое же очевидное утверждение, а именно:
В этом предложении пять слов.
Ахилл (бормочет себе под нос): Гмм… раз… два… три… четыре… пять! Да, действительно, я должен согласиться с истинностью и этого утверждения. В ЭТОМ предложении я не вижу никаких проблем.
Черепаха: Превосходно! Теперь, когда мои теоретические предположения получили экспериментальное подтверждение в ваших строгих исследованиях, я чувствую себя значительно лучше. Сейчас же, поскольку мы согласны по всем статьям, нам остается только соединить эти два невинных предложения в одно подлиннее, с помощью вашего безопасного слова «и».
Ахилл: Именно «безопасного», г-жа Ч. Вам не удастся обвести меня вокруг пальца! Что ж, начнем, пожалуй…
Черепаха: Прекрасно. Посмотрим… у меня получается следующее предложение, которое, безусловно, должно оказаться истинным:
У людей пять пальцев и в этом предложении пять слов.
Ахилл: Постойте, г-жа Ч! Что-то здесь не то!
Черепаха (всем своим видом выражая невинное удивление): Что? Что вы имеете в виду?
Ахилл: Вы соединяете эти предложения неправильно!
Черепаха: Я только последовала вашему совету и использовала ваше любимое «и».
Ахилл: Не знаю, не знаю… То, что у вас получилось, НЕЛОГИЧНО! Где-то здесь должна быть ошибка…
Черепаха: Ну вот, вы снова заговорили о г-же Логике и ее великих принципах… Будьте так любезны, увольте — хотя бы на сегодня.
Ахилл: Г-жа Черепаха, у меня уже черепушка трещит от всего этого. Признайтесь, что вы немного сжульничали…
Черепаха: Пожалуйста, не обвиняйте меня в собственных грехах, кто из нас хотел соединить два высказывания с помощью «и».Мне кажется, я только следовала вашим пожеланиям — и какова же ваша благодарность? Ну и молодежь нынче пошла…
Ахилл: Ну вот, я же и виноват. Ведь я хотел, как лучше…
Черепаха: Добрыми намерениями, мой юный друг, вымощена дорога в преисподнюю…
Ахилл: Я чувствую себя ужасно…
Черепаха: Я отлично понимаю, куда вы клонили: вы хотели заставить меня принять за истинную фразу «Мой панцирь зеленый и мой панцирь не зеленый». О, создатель!… Какая страшная ложь, и как она противна черепашьему духу!
Ахилл: Умоляю вас простить меня, дурака… Честное слово, у меня и в мыслях не было вас обидеть.
Черепаха: Ничего, мой друг — мы, черепахи, привыкли к людской бестактности. Я ценю вашу компанию, Ахилл, пусть ваши мысли и не так кристально ясны, как у созданий нашей хладнокровной породы.
Ахилл (вздыхая): Надеюсь, что для меня еще не все потеряно — хотя я, наверняка, сделаю еще немало ложных шагов на пути к истине…
Черепаха: Мужайтесь, Ахилл. Может быть, наша сегодняшняя беседа вам поможет… Кстати, не забудьте отдать мне ту фигу, что вы мне принесли. Хоть она и зеленая, все равно пригодится!
Ахилл: Вот, возьмите.
Черепаха: Что ж, до скорого, мой друг.
Ахилл: До скорого.
ГЛАВА VII: Исчисление Высказываний
Слова и символы
ПРЕДЫДУЩИЙ ДИАЛОГ напоминает «Двухголосную инвенцию» Льюиса Кэрролла. В обоих диалогах Черепаха отказывается использовать обычные повседневные слова в их обычном повседневном значении — по крайней мере, когда ей это невыгодно. В предыдущей главе был предложен один из возможных взглядов на парадокс Кэрролла. В этой главе мы проделаем при помощи символов то, что Ахиллу не удалось проделать словами. Иными словами, мы построим такую формальную систему, один из символов которой будет действовать так, как Ахилл хотел заставить действовать Черепахино «и»; другой символ будет вести себя так, как должны были вести себя слова «если… то…». Кроме того, мы будем иметь дело со словами «или» и «не». Рассуждения, зависящие исключительно от правильного употребления этих четырех слов, называются пропозициональными рассуждениями.
Алфавит и первое правило исчисления высказываний
Я буду представлять эту новую формальную систему, называемую исчислением высказываний, в форме загадки, объясняя сначала лишь часть и предоставляя читателю догадываться о некоторых вещах самому. Начнем со списка символов:
< >
P Q R '
Λ V э ~
[ ]
(прим. символ «э» заменяет символ импликации «superset of»)
Первое правило нашей системы таково:
ПРАВИЛО ОБЪЕДИНЕНИЯ: Если x и у — теоремы системы, то строчка <x Λ y> — тоже теорема.
Это правило соединяет две теоремы в одну. Оно должно напомнить вам о предыдущем Диалоге.
Правильно сформированные строчки
У нас будет еще несколько правил вывода; вскоре я их объясню. Однако сначала необходимо определить некое подмножество всех строчек, а именно — правильно сформированные строчки. Они будут определены рекурсивным путем, начиная с атомов. АТОМЫ: P, Q, и R называются атомами. Новые атомы получаются путем добавления штрихов справа от старых атомов, таким образом, получаются R', Q'', R''' и т. д. Это дает нам бесконечные ресурсы атомов. Все атомы правильно сформированы.
Далее, у нас имеются четыре рекурсивных правила.
ПРАВИЛА ОБРАЗОВАНИЯ: Если x и у правильно сформированы, то следующие четыре строчки также правильно сформированы.
(1) ~x
(2) <x Λ y>
(3) <x V y>
(4) <x э y>
Например, все следующие строчки правильны:
P атом
~P по правилу (1)
~~P по правилу (1)
Q' атом
~Q' по правилу (1)
<P Λ ~Q'> по правилу (2)
~<P Λ ~Q'> по правилу (1)
<~~P э Q'> по правилу (4)
<~<P Λ ~Q'>V<~~P э Q'>> по правилу (3)
Последняя строчка может показаться весьма сложной, но на самом деле, она построена всего лишь из двух компонентов — двух предыдущих строчек. Каждая из них, в свою очередь, построена из предыдущих строчек… и так далее. Происхождение любой правильно сформированной строчки может быть прослежено до ее элементарных составляющих — атомов. Для этого вы просто применяете правила в обратном порядке до тех пор, пока это возможно. Этот процесс рано или поздно должен кончиться, поскольку каждое правило вывода — удлиняющее правило; идя в обратном порядке, мы непременно дойдем до атомов.
