Довольно загадок! Пора вытащить кота из мешка и открыть «значение» всех остальных символов нашей системы, если это вам еще не ясно. Итак, символ «Λ» действует в точности также, как обыкновенное «и». Символ «~» заменяет слово «не» в формальном отрицании. Уголки «<» и «>» являются группирующими скобками — их функция весьма напоминает функцию обычных скобок в алгебре. Основное различие в том, что в алгебре мы свободны вводить или не вводить скобки, согласно нашему вкусу и стилю, в то время как в формальной системе подобная анархия не допускается. Символ «V» заменяет слово «или» (по латыни «Vel»). Имеется в виду так называемое включающее «или»; это означает, что <x V y> читается как «x или у — или оба сразу».
Единственные символы, которые мы еще не интерпретировали, это атомы. У них нет единственной интерпретации — их можно интерпретировать, как любое высказывание русского языка (если атом встречается несколько раз в одной и той же деривации, он должен быть интерпретирован всегда одинаково). Таким образом, например, правильно сформированная строчка <P Λ ~P> может быть интерпретирована следующим образом:
Этот разум — Будда, и этот разум — не Будда.
Давайте теперь вернемся к теоремам, которые мы вывели до сих пор, и постараемся их интерпретировать. Первая теорема была <P э ~~P>. Если интерпретировать P всегда одинаково, то мы получим следующее высказывание:
Если этот разум — Будда, то неверно, что этот разум — не Будда.
Обратите внимание, как я сформулировал двойное отрицание. В любом натуральном языке неловко повторять отрицание два раза — мы обходим это препятствие, выражая отрицание по-разному. Вторая наша теорема была <<P Λ Q>э<Q Λ P>>. Пусть Q — высказывание «Этот огурец весит полкило»; тогда наша теорема читается как:
Если этот разум — Будда и этот огурец весит полкило, то этот огурец весит полкило и этот разум — Будда.
Третьей теоремой была <P э<Q э<P Λ Q>>>. Она разворачивается в структуру «если … то» с вложением:
Если этот разум — Будда то, если этот огурец весит полкило, то этот разум — Будда и этот огурец весит полкило.
Вы вероятно, заметили, что каждая теорема, будучи интерпретированной, выражает что-либо совершенно тривиальное и самоочевидное. (Иногда теоремы бывают настолько самоочевидными, что кажутся бессмысленными — и даже, как это ни парадоксально, ложными!) Может быть, это вас не впечатляет; но вспомните, сколько ложных высказываний, кишмя кишащих кругом, мы могли бы вывести — но не вывели. Система исчисления высказываний аккуратно ступает от истины к истины, осторожно избегая всех ложных высказываний, подобно человеку, который, переходя ручей и желая остаться сухим, осторожно ступает с камня на камень, следуя выложенной «тропинке», как бы извилиста она не была. Удивительно то, что в исчислении высказываний все делается исключительно типографским путем. «Внутри» системы нет никого, кто бы думал о значении строчек. Здесь все делается строго механически и бездумно.
Полный список правил
Мы еще не привели всех правил исчисления высказываний. Их полный список, включая три новые правила, приведен ниже.
ПРАВИЛО ОБЪЕДИНЕНИЯ: Если x и у — теоремы системы, то строчка <x Λ y> — также теорема.
ПРАВИЛО РАЗДЕЛЕНИЯ: Если <x Λ y> — теорема, то и x и у — также теоремы.
ПРАВИЛО ДВОЙНОЙ ТИЛЬДЫ: Строчка «~~» может быть выброшена из любой теоремы. Она также может быть вставлена в любую теорему, если при этом получается правильно сформированная строчка.
ПРАВИЛО ФАНТАЗИИ: Если, принимая x за теорему, можно вывести у, то <x э y> является теоремой.
ПРАВИЛО ПЕРЕНОСА: В фантазию можно внести любую теорему из «реальности» одним уровнем выше и использовать ее там.
ПРАВИЛО ОТДЕЛЕНИЯ: Если x и <x э y> — теоремы, то у — также теорема.
ПРАВИЛО КОНТРАПОЗИЦИИ: <x э y> и <~y э ~x> взаимозаменяемы.
ПРАВИЛО ДЕ МОРГАНА: <~x Λ ~y> и ~<x V y> взаимозаменяемы.
ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ: <x V y> и <~x э y> взаимозаменяемы.
Под «взаимозаменяемостью» здесь понимается следующее: если одно из двух выражений встречается в виде теоремы или части теоремы, оно может быть заменено на второе, и результат также будет теоремой.
Объяснение правил
Прежде чем рассматривать эти правила в действии, я хочу их коротко пояснить. Вы, вероятно, можете придумать примеры получше; поэтому я ограничусь только несколькими.
Правило контрапозиции показывает то, каким образом мы перевертываем условные предложения (обычно мы делаем это бессознательно). Например, буддистское изречение о Тропе — дороге к Мудрости:
Если вы изучаете ее, то вы далеко от Тропы,
означает то же самое, что
Если вы близко к Тропе, то вы ее не изучаете.
Правило Де Моргана может быть проиллюстрировано на примере хорошо знакомого нам высказывания «Флаг не движется и ветер не движется». Если P означает «флаг движется» и Q — «ветер движется», то комбинированное высказывание будет <~P Λ ~Q>, которое, согласно правилу Де Моргана, может быть заменено на ~<P V Q>: «Неверно, что флаг или ветер движутся». Никто не станет оспаривать, что это весьма осмысленное дзен-ключение…
Для иллюстрации правила замены возьмем высказывание «Либо туча зависла над горой, либо лунный луч проникает сквозь волны озера» — фраза, которую мог бы произнести дзен-буддистский мастер, пытаясь мысленно увидеть любимое озеро. Теперь держитесь крепче: правило замены утверждает, что это высказывание может быть заменено на мысль «Если туча не зависла над горой, то лунный луч проникает сквозь волны озера.» Это, может быть, и не Просветление, но это большее, что исчисление высказываний может нам предложить.
Игра с системой
Теперь давайте приложим эти правила к одной из предыдущих теорем и посмотрим, что у нас выйдет. Возьмем, к примеру, теорему <P э ~~P>:
<P э ~~P> старая теорема
<~~~P э ~P> контрапозиция
<~P э ~P> двойная тильда
<P V ~P> замена
Новая теорема в интерпретации утверждает, что:
Либо этот разум Будда, либо этот разум не Будда.
Интерпретированная теорема снова оказалось истинным (хотя, может быть, и не таким уж удивительным) высказыванием.
Частичная интерпретация
Читая вслух теоремы исчисления высказываний, кажется естественным интерпретировать все, кроме атомов. Я называю это частичной интерпретацией. Например, частичной интерпретацией<P V ~ P> было бы:
P или не P
Хотя P здесь и не высказывание, приведенное полувысказывание все же звучит как истинное, поскольку мы можем легко вообразить на месте P любое предложение — и форма этой частичной интерпретации уверяет нас, что, независимо от нашего выбора, результатом будет истинное высказывание. Именно это — центральная идея исчисления высказываний: оно производит теоремы, которые, будучи частично интерпретированными, производят «универсально истинные полувысказывания». Независимо от того, как мы дополним интерпретацию, у нас получатся истинные суждения.
Топор Ганто
Теперь мы можем проделать более сложное упражнение, основанное на дзен-буддистстком коане под названием «Топор Ганто». Вот его начало:
Однажды Токусан сказал своему ученику Ганто «В нашем монастыре есть два монаха, которые прожили здесь много лет. Иди и проверь их». Ганто взял топор и пошел в хижину, где монахи занимались медитацией. Он поднял топор со словами. «Если вы скажете хоть одно слово, я отрублю вам головы; и если вы не скажете ни слова, я все равно отрублю вам головы».[13]
Если вы скажете хоть одно слово, я прерву этот коан; и если вы не скажете ни слова, я все равно прерву этот коан — поскольку хочу перевести его в нашу нотацию. Пусть «вы скажете слово» будет P, а «я отрублю вам головы» — Q. Тогда угроза Ганто записывается как <<P э Q>Λ<~P э Q>>. Что, если бы эта угроза являлась бы аксиомой? Ответом на этот вопрос служит следующая фантазия:
