Симметричные числа и сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера - Николай Иванович Конон

Тогда, согласно (2.7) мощности нечетных чисел nch_A и nch_В равны, откуда с учетом (5.4) запишем

|P_В| + |Ś_A|+ |P_A| = |P_A| + |Ś_В| +|P_В|. (5.5)

Не трудно показать, что при данном предположении должно выполняться следующее равенство

|Ś_A| = |Ś_В|. (5.6)

Поэтому, рассмотрим значение |Ś_A|, а затем распространим его на |Ś_В|.

Не трудно видеть, что в этом случае количество нечетных чисел левой и правой полуоси натурального ряда должны быть равны

|nch_A| = |nch_В| = |S_A| + |P_A| = |S_В| + |P_В| = n/2. (5.7)

Тогда, согласно (5.4) и (5.5) имеем

|P_В| + |Ś_A|+ |P_A| = n/2. (5.8)

Отсюда

|Ś_A| = n/2 – (|P_В| + |P_A|). (5.9)

Учитывая выражения (3.10) и (3.11) перепишем (5.9)

|Ś_A| = n/2 –π(2n). (5.10)

Подставляем в (5.10) значения из (3.8) и получаем оценку симметричных пар, включающих только нечетные составные числа

|Ś_A| = n/2 – 2n/ln(2n). (5.11)

Рассмотрим предел функции (5.11) при n→∞

lim(|Ś_A|) = lim(n/2 – 2n/ln(2n)). (5.12)

n→∞ n→∞

Согласно свойствам пределов имеем

lim(n/2) lim(1 – 4/ln(2n)) = 1/2 lim(n) = n/2 (5.13)

n→∞ n→∞ n→∞

Таким образом, получаем противоречие, заключающееся в том, что при стремлении n в бесконечность число нечетных составных чисел будет существенно больше простых.

2) Множество S_A должно полностью соответствовать множеству P_B, т.е. |S_A| = |P_В|. Аналогично, множество S_B должно полностью соответствовать множеству P_A, т.е. |S_В|=|P_A|.

Далее из (5.3) имеем, |P_A| > |P_В|, |S_A| < |S_В| и |S_A| > |P_A|, |S_В| > |P_В|.

Но так как |S_A| = |P_В| и одновременно |P_A| > |P_В|, то отсюда следует, что должно быть |P_A| > |S_A|, что противоречит начальному условию (5.3).

Следовательно, предположение, что множество P_A и множество P_B не пересекаются по симметричным парам, то есть P_A ∩ P_B ≡ Ø неверно и это доказывает, что найдется хотя бы одна симметричная пара простых чисел для представления данного четного числа.

Теорема 4. Любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар нечетных составных чисел.

Доказательство. Согласно доказанной теореме 3 любое четное число натурального ряда больше 2 представимо суммой симметричных пар нечетных чисел.

Рассмотрим множество нечетных чисел nch_A меньших n и множество нечетных чисел nch_B больших n и меньших 2n, т.е.

{nch_A} < n;

n < {nch_B} < 2n. (5.14)

Выше было показано, что эти множества состоят из подмножеств симметричных составных нечетных и простых чисел, таких что

nch_A = S_A U P_A и nch_B = S_B U P_B.

Далее, согласно (3.2) мощности указанных множеств равны, т.е. |nch_A| = |nch_B|. При этом, в соответствии с (3.3) равны и суммы мощностей подмножеств симметричных нечетных составных и простых чисел обеих множеств, т.е. | nch_A | = |S_A| + |P_A| и |nch_B| = |S_B| + |P_B|.

Заметим, как показано выше, что имеется однозначная функциональная зависимость между элементами указанных двух множеств, а именно каждому элементу из множества nch_A найдется единственный элемент в множестве nch_B, или в символьной записи nch_Aⁱ→nch_Bⁱ.

Рассмотрим теперь два подмножества симметричных нечетных составных чисел S_A и S_B.

Допустим, что утверждение теоремы неверно, т.е. не существует двух симметричных нечетных составных чисел из S_A и S_B, или иначе говоря, подмножество функциональной зависимости пусто или S_Aⁱ→ S_Bⁱ = Ø.

Тогда, если во множествах S_A и S_B не нашлось ни одной симметричной пары нечетных составных чисел, то, следовательно, с учетом (5.3) мощность множества S_A должна быть равна мощности множества P_B, т.е. |S_A| = |P_B|. Аналогично рассуждая для множества должно выполняться и следующее равенство |S_B| = |P_A|. В этом случае применяя рассуждения теоремы 2 можно прийти к противоречию, т.е. к тому, что |P_B|> |S_A|, а это противоречит начальному условию (5.3). Теорема доказана.

6. Сильная гипотеза Гольдбаха и теорема Гольдбаха-Эйлера

Доказанные в предыдущем разделе теоремы вплотную подводят нас к сильной или бинарной гипотезе Гольдбаха [1], которую также сформулировал Эйлер [4] и которая гласит: любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел. Как показано выше, приведенные исследования в общем виде бинарная гипотеза Гольдбаха не совсем верна, так как сумма двух любых простых чисел будет соотноситься только к числу, которое получается делением четного числа на 2.

Запишем данное утверждение не в виде гипотезы, а в виде теоремы.

Исходя из сказанного, сформулируем сильную или бинарную теорему Гольдбаха-Эйлера в следующем виде:

Теорема 6 (сильная или бинарная). Любое четное число больше двух представимо в виде суммы двух простых чисел и только таких, которые являются симметричной парой простых чисел соответствующей числу вдвое меньшему самого четного числа.

Доказательство этой теоремы найдем в доказательстве теоремы 5.

Следует заметить, что иных разложений четного числа в виде суммы простых чисел не существует. Это следует из материалов раздела 5.1 и 5.2.

7. Проблема представления любого числа в виде суммы нескольких простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха)

С использованием симметричных простых чисел, может быть и решена тернарная проблема Гольдбаха, сформулированная им в 1742 году. Его предположение, что всякое нечетное число, большее 5 можно представить в виде суммы трех простых, решается следующим способом.

7.1. Представление нечетных чисел в виде суммы трех простых чисел.

Представим нечетное число в виде

nch=2n+1. (7.1)

Тогда, используя результаты, полученные в разделе 5, можно записать следующее представление

2n=p₁+p'₂, (7.2)

где p₁, p'₂ – симметричная пара простых чисел.

Подставив (7.2) в (7.1) получим

nch= p₁+p'₂+1. (7.3)

Очевидно, что p'₂+1 является четным числом и, следовательно, к нему также можно применить разложение в виде суммы двух чисел, т.е.

p'₂ + 1= p₂ + p₃, (7.4)

где p₂, p₃ – симметричная пара простых чисел.

Далее подставляя (7.2), (7.3) и (7.4) в (7.5) окончательно получаем

nch= p₁+ p