Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Кант и Лобачевский противоречат друг другу во всем. Хоть и предпринимались попытки показать, что Канта неправильно поняли и что его метафизика согласовывается с неевклидовыми геометриями, компетентные математики и математики-логики сошлись на том, что Кант ошибся. «Нет ничего, – утверждал Кант, – губительнее для философии, чем математика». Конечно, не было ничего губительнее для философии самого Канта, чем попытка доказать невообразимость геометрии отличной от евклидовой, поскольку геометрия Евклида была для него верной. Частично по аналогии с этой предполагаемой надежностью евклидовой геометрии, частично на основании других рассуждений Кант вывел свою теорию «вещей в себе» – переодетых абсолютов.

Невольный шедевр Саккери, содержащий первые примеры неевклидовой геометрии, был издан в 1733 году, «Критика чистого разума» Канта с его ложной концепцией геометрии появилась в 1781 году. Отдельные фанаты системы Канта могли бы попытаться представить себе, что бы сказал Кант об абсолютной геометрии и абсолютах вообще, если бы ему выпал шанс прочитать труд Саккери. Еще увидим, почему философ отверг этот шанс. Все не столь академично, как может показаться. Такой, ничуть не меньший авторитет, как Томас Манн, утверждал в 1941 году, что на самом деле цивилизация если и воюет за что-то во Второй мировой войне, так это за Абсолют.

Располагая в хронологическом порядке Беркли, Саккери и Лобачевского, будем считать Беркли первым. Жизнь Беркли (1685–1753) охватывает первый великий период ньютоновской математики и натуральной философии. Его интеллектуальное восхождение там, где оно шло параллельно развитию математики, предлагает интересный пример последовательного продвижения оригинального и независимого ума от ортодоксальности к ереси. Но в своем главном интересе, в христианской теологии, Беркли никогда не испытывал колебаний. Если в его сознании и был доминирующий мотив, то речь может идти только о его желании придать Богу рациональное начало с помощью того, что математики именуют доказательством существования. Чем бы ни занимался Беркли в математике, он оставался крестоносцем, словно сам Бог наложил на него это обязательство. Иногда в своих попытках сделать божественное существование приемлемым для рационально мыслящего ума он оказывался на удивление расчетливо рациональным, словно современный математик, сочиняющий монографию о постулатах геометрии или логике бесконечности. Чаще же он оставался настолько далеким от реальности в своих рассуждениях, насколько бескорыстен был в жизни.

Без всякой видимой причины вообще подруга Джонатана Свифта Ванесса оставила ему половину своего состояния. Как-то на обеде она сидела за столом рядом с ним. Деньги, конечно, должны были быть направлены на благотворительность, хотя Ванесса завещала их без всяких условий. Часть денег Беркли истратил, пытаясь облегчить вопиющую бедность и коррупцию его родной Ирландии.

Кульминация жизни Беркли доказывает, что он был настоящим идеалистом. Ему было чуть за сорок, когда он, недавно женившись, бросил комфортную жизнь декана Дерри и отплыл с женой в Америку. Перспектив у него практически не было, кроме невнятного обещания английского правительства на выплату зарплаты, которое могло бы когда-нибудь материализоваться. Ему было поручено «основать колледж на Бермудах для целей христианизации Америки». Он так никогда и не доплыл до Бермуд. По какой-то небрежности штурмана миссионер христианской цивилизации был доставлен в Ньюпорт на Род-Айленде, где он был обречен на три мирных года деревенской жизни и изучение обычаев индейцев. Когда же все надежды на иллюзорную зарплату растаяли, Беркли возвратился в Англию.

В возрасте сорока пяти лет он становится епископом Клойна в своей родной Ирландии. В том же 1734 году он опубликовал свою отважную математическую ересь «Аналитик». Полное наименование в достаточной степени определяет ее цели: «Аналитик, или Рассуждения, адресованные неверующему математику, где исследуется, действительно ли объект, принципы и выводы современного аналитика (уравнения Ньютона) более очевидно постигают или более очевидно приходят к умозаключению, чем религиозные мистерии и символы веры».

Декада, последовавшая за «Аналитиком», выдвинула на первый план «Альбицию», любопытную компиляцию, которую Беркли, похоже, считал своим шедевром. Он признавался, что это произведение стоило ему больше умственных затрат, чем все его работы, вместе взятые. «Альбиция» по сути была выстраданной реакцией Беркли на учения Платона и части неоплатонической философии, которые он давно идеализировал. Главная тема, однако, оставалась его, Беркли, собственной до мелочей. Он представил, что в «смолистом элементе» надсмольной воды он открыл целебный эликсир от всех болезней человечества, от душевных расстройств до оспы.

Уже из одних этих примеров его непрерывной активности становится ясно, что гений Беркли беспорядочно бросало то туда, то сюда, но он продолжал оставаться оригинальным. Только несколько аспектов из всего его разнообразного творчества интересны нам в рамках нашей темы.

Характерные противоречия Беркли проявили себя очень рано. Его наипервейшей любовью была математика. Она же стала последней, хотя в его поздние годы он обманывал себя в уверенности, что «все осталось» позади, где-то в юности. В возрасте шестнадцати лет он написал делавшее ему честь эссе по Евклиду, которое опубликовал тремя годами позже. Монотонное шаг за шагом следование дедуктивному рассуж дению Евклида, переход от одного очевидно неизбежного к другому гипнотизировали юношу. Подобно Платону и «всем святым и мудрым» от Пифагора до Августина, юный Беркли придерживался взгляда на геометрию как на вечную истину. Не ведая своих подсознательных метаний, ошеломленный геометр вбил себе в голову еретическую мысль о предоставлении математического доказательства существования Бога. Если бы он преуспел в этом, что осознал, когда излечился от своей грандиозной мечты, он бы доказал подчиненное положение Бога перед математикой, которая с того момента получила бы неопровержимое доказательство, что есть высшее существующее.

Четкие символы и формальные алгебраические рассуждения встряхнули молодого человека. Перед самозваным воителем за веру, обладавшим исключительной проницательностью на протяжении всей жизни, но вдвойне развитой в юные годы, внезапно спала пелена воображаемой вечной неотвратимости любой математики. Все стало предельно ясно. Математика, понял он, лишена аналитических и гуманистических черт, она дает только то, что в нее вложено простым смертным. Математика (хотя Кант назовет ее таковой позднее) априори не аподиктична и не синтетична. Это точно потому, что тело математики пусто от всего фактического содержания, что логически неумолимая математика возможна. Проект доказательства существования Бога посредством математики, таким образом, был отставлен в сторону.

Отрицая реальность математической истины по Платону, Беркли предвосхитил одну из современных школ мысли почти на двести лет. Математика для формалистов XX века стала бессмысленной игрой с бессмысленными знаками или фишками в соответствии с предписанными людьми правилами, придуманными человечеством правилами дедуктивной логики. Математика в этой выхолощенной философии никак не соотносилась с вечно существующей не связанной с человеком реальностью Платона, она из раздела «действовать», но не «думать» в игре, где правила регулируются людьми как в шахматах.

Что означают шахматы для Вечных истин? Ответ Платона состоит в том, что все возможные игры в шахматы хранились на небесах за годы до того, как какое-то человеческое существо поставило перед собой шахматную доску или набор шахматных фигур. Идеальные и божественно совершенные Шахматы существовали в безвременье в сфере сущего еще до того, как человеческая раса начала свое существование. То же было и с математикой для тех, кто верит, что «математическая реальность находится вне нас». Платоническая реальность шахмат и математики каким-то образом звучит менее спорно, чем те же доводы о бридже или покере. Но как Парменид убедил Сократа, банальное должно быть идеализировано вместе с величайшим, если реализм Платона что-либо значит.

Теория математической истины Платона не смогла удовлетворить юного Беркли. Для него математика была не более сверхъестественна или значима, чем исключительно эффективный вид логического строя. Сегодня с ним согласны многие.

Хотя юноша сам и излечился от математического реализма, Беркли не сумел вылечить остальных. XVIII век был крайне неподходящим временем для обнародования математической ереси, подобной этой. Шумный триумф материализма механики Ньютона сделал невозможным для остальных невнятных побуждений холодного и скептического мышления быть услышанным. Ньютоновские бесконечно малые величины, наскоро подправленные и развитые континентальными математиками, представили небесную механику, которая оказалась действительно небесной во всех смыслах, которые только в силах представить человек. Эта новая математика, по утверждению ее приверженцев, безусловно, должна была содержать какие-то элементы абсолюта и вечной истины. Возможно, так оно и было, ее научные успехи нельзя было отрицать. Но если мистический элемент и обнаружился бы, недоверчивый Беркли показал, что он явно был лишен логической последовательности.