— На миллиметровой бумаге можно добиться довольно большой точности, а для больших чисел придется уже вычислять. Вспомни, как мы вычисляли площадь, ограниченную дугой параболы. Ты ведь и здесь можешь разбить интересующий тебя участок на большое число частей и вычислить (а не измерять непосредственно) сумму площадей соответствующих тоненьких прямоугольников. Это уже можно сделать с любой степенью точности, то есть той, какая понадобится.
Но есть и более удобные способы вычисления логарифмов.
— А какие же логарифмы применяются на самом деле,— спросил Илюша, — натуральные или какие-нибудь другие?
— Натуральные обладают целым рядом преимуществ перед остальными, и в математическом анализе применяются почти исключительно они. Но в практических вычислениях удобнее иметь дело с десятичными, для которых и составлены таблицы.
А если надо перейти от десятичных к натуральным или наоборот, то пользуются модулем перехода, о котором мы уже говорили. Чтобы получить десятичный логарифм, надо натуральный умножить на
M = 0,43429 44809 032518 276511 289189 1660508 2294397 005803 7675761 1445378 …
— 372 —
Это число называется модулем десятичных логарифмов.
— А нельзя ли десятичные логарифмы получить тоже как площади гиперболических трапеций?
— Конечно, можно. Перемена основания соответствует, как мы уже видели, просто перемене способа измерения площадей. Если ты в качестве единицы для измерения площадей выберешь основную гиперболическую трапецию, простирающуюся от х = 1 до х = 10, то как раз и получишь десятичные логарифмы. Так как единица измерения увеличилась, то площади будут выражаться меньшими числами, то есть десятичные логарифмы будут меньше натуральных, почему и модуль их меньше единицы.
— А почему обычные логарифмы — десятичные, а не какие-нибудь другие?
— Просто потому, что мы пользуемся десятеричной системой счисления. Древний халдей, вероятно, выбрал бы для основания не десять, а свое любимое число шестьдесят, если бы он додумался до логарифмов. А в десятеричной системе счисления сразу известны логарифмы чисел 10, 100, 1 000, 10 000 и т. д. Они равны 1, 2, 3, 4… Поэтому, умножая какое-нибудь число на десять, сто и так далее, сразу можно сказать, что десятичный логарифм этого числа увеличится на единицу, на два и прочее, а при делении будет наоборот. Это очень облегчает пользование таблицами.
Илюша помолчал минутку.
— А это что такое? — спросил доктор У. У. Уникурсальян.
— Вот что, — произнес он наконец, — мне кажется, что теперь я могу разобраться, почему при помощи логарифмов умножение заменяется сложением. Если взять гиперболическую площадку от х = 1 до х = n, то это будет логарифм числа n. Если к нему рядом приладить еще одну площадку величиной от х = 1 до х = m, то есть логарифм числа m, то, как мы уже делали раньше, придется вторую площадку растянуть от n до nm, удлинив абсциссу в m раз. Значит, тут конечные абсциссы (то есть числа) перемножаются, в то время как площади складываются. Вот теперь мне,
— 373 —
кажется, все ясно. Значит, одно из конических сечений имеет самое тесное отношение к прогрессиям. Как все это связано!
— Вот эта связь различных разделов математики друг с другом и есть величайшая драгоценность нашей науки[27].
— Как интересно! — воскликнул Илюша. — А скажи, пожалуйста, когда были открыты логарифмы?
— В начале семнадцатого века Джоном Непером, шотландцем.
— А-а! — сказал Илюша. — Вот в чем дело-то! Вот при чем тут шотландский сыр!
— Конечно! Про этого Непера говорили, что он увеличил вдвое продолжительность жизни астронома, потому что с логарифмами можно насчитать вдвое больше, чем без них. Разумеется, нетрудно догадаться, что все, что мы проделали с неделимыми, можно отлично перевести и на современный язык теории пределов, стоит только вместо суммы «неделимых полосок» рассматривать предел суммы бесконечно утончающихся вписанных или описанных прямоугольничков, как мы делали уже в Схолии Пятнадцатой.
— А теперь расскажи еще про гиперболу. Греки определили параболу как геометрическое место. А гиперболу нельзя так определить?
— Можно. И гиперболу и эллипс. В эллипсе есть две весьма замечательные точки. Чтобы показать их тебе, я впишу в конус два соприкасающихся шара: один поближе к вершине конуса, другой подальше. Второй шар будет побольше, первый поменьше. Теперь я просуну между ними секущую плоскость (которая, разумеется, не имеет толщины). Оба шара будут ее касаться в одной точке, если плоскость будет лежать параллельно основанию конуса. И эта точка касания будет центром той окружности, которая будет сечением конуса этой самой плоскостью. Теперь я начну секущую плоскость наклонять.
Точки А и В лежат на кругах, но которым вписанные шары соприкасаются с конусом. Ясно, что ВА есть величина постоянная? А ну-ка, докажи это равенство!
F1
P +
F2
P =
BP +
РА =
ВАКто сам докажет, того переводим без экзаменов в следующую схолию. F1 и F2 — фокусы.
Так как шары ее крепко держат, то мы попросим первый шар, который поменьше, потесниться и сделаться немного меньше.{14} Когда таким образом нам удастся повернуть секущую плоскость под некоторым углом к основанию конуса, то сечение конуса станет уже не кругом, а эллипсом, а два шара будут касаться секущей плоскости (а тем самым и плоскости эллипса) в двух точках, а не в одной. Эти две точки называются
— 374 —
фокусами эллипса. Так вот, эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. По нашей фигуре эта постоянная равна длине общей касательной к двум шарам. Кстати сказать, не так трудно представить себе, что прямые, соединяющие фокусы с любой точкой эллипса (его радиусы-векторы), каждый раз образуют между собой некоторый угол. Так вот биссектриса этого угла как раз будет нормалью эллипса к данной точке, а следовательно, найти и касательную к эллипсу не очень сложно. В таком случае гипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. Вот попробуй нарисуй чертеж с конусом и двумя шарами, при помощи которого это было бы легко доказать. Из этого нового определения эллипса получается простой способ черчения эллипса. В двух точках — фокусах — ты накалываешь на бумагу две кнопки. Потом берешь нитку и связываешь ее колечком так, чтобы вся длина этого кольца была pавна расстоянию между фокусами плюс та самая постоянная сумма расстояний от точек эллипса до двух фокусов. Надеваешь эту связанную
Вот как чертится эллипс.
Кто скажет, в каком отношении друг к другу находятся отрезки F1E и F2E — с одной стороны, и большая ось эллипса AB — с другой? Карандаш уверяет, что стоит ему дойти до точки…
— 375 —
нитку на кнопки, а потом поддеваешь ее кончиком карандаша, натягиваешь и чертишь. Карандаш тебе как раз вычертит эллипс. Чем ближе поставить при одной и той же нитке фокусы-кнопки, тем больше эллипс будет походить на круг.
Чем дальше их расставить, тем более продолговатым будет эллипс. Если поставить кнопки совсем рядом, а нитку взять подлинней, то эллипс трудно будет отличить от круга, то есть когда фокусы сходятся в одной точке, эллипс превращается в круг. А если ты так далеко расставишь кнопки, что нитка совсем натянется, эллипс превратится в отрезок прямой.
— Так, — отвечал Илюша. — Обязательно попробую. Эллипс ведь очень красивая фигура! Ну, а если взять не сумму расстояний до двух точек и не разность, а, например, произведение?
— Тогда получится овал или восьмерка. Эта фигура называется лемнискатой. Ее построил математик Яков Бернулли. Уравнение этой кривой будет не второго порядка, как все конические сечения, а четвертого.
— Ишь какая важная!
— Это еще невелика важность, — ответил, усмехнувшись, Радикс.
— А начертить параболу и гиперболу труднее, чем эллипс?
Вот как надо чертить гиперболу.
— Нет, — отвечал Радикс, — не так уж трудно. Гиперболу, можно начертить так. Возьмем линейку и закрепим ее в одном из фокусов одним концом так, чтобы она могла вращаться вокруг фокуса, как на шарнире. Гипербола определяется, как мы говорили, постоянной разностью между расстояниями от каждой ее точки до двух фокусов. Назовем эту разность 2а и расстояние между фокусами 2с, причем с всегда больше а. У эллипса, кстати сказать, будет как раз наоборот, если называть там 2а суммой соответствующих расстояний.
