Очевидно, что существует всего один благоприятный исход, единственная выигрышная комбинация. Кажется, что подсчитать возможные случаи сложно, но мы можем использовать тот же принцип, что и при подсчете путей из А в С: первый матч имеет три возможных исхода, каждому из которых соответствует три исхода второго матча. Если бы в туре игралось всего два матча, то общее число исходов равнялось бы 3·3 = 32. Продолжив эти рассуждения, придем к выводу, что число возможных исходов 14 матчей тура равно 314. Вероятность угадать 14 исходов, выбрав их случайным образом, равна 1/314, то есть примерно 1 к 4,8 миллиона.
Для решения подобных задач очень полезны формулы комбинаторики. О некоторых из них мы расскажем при решении задач, объясняемых далее.
Применение правил
Применим объясненные выше правила на примере. Для этого вычислим вероятность того, что при пяти бросках монеты в произвольном порядке решка выпадет три раза, а орел — два. Как вы вскоре увидите, эта задача намного важнее, чем кажется на первый взгляд. Будем решать ее последовательно.
1. Вероятности выпадения решки или орла при одном броске монеты одинаковы и равны 0,3.
2. Вероятность того, что при двух бросках выпадет решка и решка, равна 0,5·0,5 = 0,25. Мы применили правило «и», так как эти события являются независимыми, то есть выпадение решки в первый раз не увеличивает и не уменьшает вероятность того, что решка выпадет и во второй раз.
3. Вероятность того, что при пяти бросках последовательно выпадут решка, решка, решка, орел, орел, равна 0,5·0,5·0,5·0,5·0,5 = 0,53·0,52 = 0,03125 (мы могли бы записать это число как 0,53, но для понимания будет лучше представить вероятность выпадения орла и решки в виде отдельных сомножителей).
* * *
ФРЭНСИС ГАЛЬЮН И КВИНКУНКС
Фрэнсис Гальюн (1822–1911) был разносторонним ученым: сфера его интересов включала антропологию, экономику, философию, метеорологию и статистику. Он был двоюродным братом Чарлза Дарвина. Гальюн отличался целеустремленностью и тягой к знаниям, а доходы семьи позволяли ему полностью посвятить себя занятиям наукой. Он изучал медицину, но почти не практиковал, а получив семейное наследство, отправился путешествовать. Он провел два года в Африке и был награжден за свои заслуги золотой медалью Королевского географического общества.
Среди полученных им результатов отметим подробный анализ отпечатков пальцев — именно по рекомендации Гальюна они начали использоваться для опознавания преступников. Эта система применяется и сейчас. Он также изучал механизмы наследственности, заметив, что дети высоких родителей чаще всего также высокие, но не настолько, как родители, и что дети невысоких родителей также обычно низкорослые, но не настолько, как их родители. Этот эффект возврата к среднему значению он назвал регрессией к среднему. Этот новый термин занял важное место в современной статистике. Чтобы наглядно представить вариацию, вызванную случайными причинами, он разработал устройство под названием квинкункс. В это устройство опускались шары, которые затем прокатывались мимо стержней, расположенных в шахматном порядке, сталкивались и случайным образом падали влево или вправо. Окончательное расположение шаров по форме напоминало колокол Гаусса. Квинкункс до сих пор используется для наглядной демонстрации нормального распределения. Компьютерные модели квинкункса можно найти в Интернете.
* * *
Мы вычислили вероятность того, что сначала выпадет три решки (Р), затем два орла (О) в таком порядке: РРРОО. Но нам нужно вычислить вероятность выпадания трех решек и двух орлов в произвольном порядке, иными словами, вероятность того, что выпадет последовательность РРРОО, или ООРРР, или РОРОР или любой из вариантов.
Искомая вероятность будет равна сумме вероятностей каждого из этих исходов. Вероятности будут складываться по правилу «или», так как эти события являются независимыми (орел и решка не могут выпасть в одном и в другом порядке одновременно). Так как вероятность выпадения каждого из этих исходов одинакова, мы можем умножить вероятность выпадения орлов и решек в заданном порядке на число возможных вариантов (и здесь нам не обойтись без помощи комбинаторики).
Данные n предметов можно упорядочить п разными способами. Например, если у нас есть 5 книг и 5 мест на полке, первую книгу можно поставить на любое из пяти возможных мест, вторую — на любое из оставшихся четырех, третью — на любое из трех, четвертую — на любое из двух, а для пятой книги останется только одно место. Таким образом, общее число различных вариантов равно 5·4·3·2·1 = 120. В нашем случае также даны 5 «предметов», но не все они отличаются между собой: у нас есть три предмета, одинаковых между собой, и еще два, одинаковых между собой, поэтому мы можем не учитывать перестановки одинаковых предметов. То есть нам нужно разделить общее число вариантов на 3! и 2!. Общее число исходов, при которых выпадет 3 решки и 2 орла, равно
5!/(3!·2!) = 10
Теперь у нас есть все данные, необходимые для вычисления искомой вероятности. Она равна
Зачем нам знать вероятность того, что при пяти бросках монеты в произвольном порядке три раза выпадет решка? Эта задача сама по себе не представляет большого интереса, но далее мы покажем, что аналогичным способом можно решить много других, очень интересных задач.
У случайности есть имя
29 апреля 2004 года некий читатель обратился в редакцию популярной газеты с вопросом: «Я использовал Excel, чтобы сгенерировать случайные числа с помощью функции «=СЛЧИС ()», но эти числа всегда очень маленькие и почти равны нулю. Мне нужна система, чтобы сгенерировать шесть чисел, не превышающих 49, для простой лотереи». По-видимому, читатель думал, что если число является случайным, то оно не подчиняется никаким правилам. Это не совсем так. Существует несколько видов случайных величин. Они делятся на непрерывные, например вес, длина, плотность и так далее, и дискретные (принимающие одно из множества отдельных значений), например число неисправных деталей в партии, количество автомобилей, приезжающих на заправку ежеминутно, и другие. В действительности существует целый «каталог» различных видов распределения вероятностей. Всякий раз, когда мы имеем дело со случайной величиной, следует определить, не подчиняется ли она какому-то конкретному закону распределения вероятностей. В большинстве случаев это действительно так, и нам не потребуется выводить формулы для расчета вероятностей, среднего значения и других интересных параметров: это уже сделали до нас.
Сначала может показаться, что отличить случайные величины от неслучайных непросто, подобно тому как человеку, не знакомому с музыкой, сложно разобраться в разных музыкальных направлениях. Однако несколько практических примеров помогут вам научиться с легкостью их распознавать. Далее мы расскажем о некоторых свойствах и примерах использования трех наиболее известных законов распределения вероятностей.
То, что нам уже знакомо: биномиальное распределение С помощью общих правил вычисления вероятностей мы смогли установить вероятность выпадения 3 решек и 2 орлов (в произвольном порядке) при 5 бросках монеты с помощью следующего выражения:
В целом число успешных исходов при выполнении n опытов (вероятность успешного исхода неизменна и равна р) — это случайная величина, которая подчиняется очень известному закону распределения вероятностей. Это распределение называется биномиальным. Если мы сталкиваемся с этим распределением, нам не нужно выводить новые формулы для вычисления вероятностей.
* * *
ОДНА ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНАЯ ФОРМУЛА
Если мы отойдем от конкретных чисел и попытаемся вычислить вероятность выпадения х решек при n бросках, где р — вероятность выпадения решки, (1 — р) — вероятность выпадения орла, мы получим следующую формулу:
Интересно, что ее можно использовать не только для решения задач о броске монеты, но и для любых задач, которые подчиняются нижеприведенной схеме:
* * *
Рассмотрим три задачи.
1. При производстве на конвейере выпускается 1 % бракованных деталей. Если детали упаковываются в коробки по 50 деталей, какова вероятность того, что в одной коробке окажутся сразу две бракованные детали?
2. Баскетболист забивает 75 % штрафных бросков. Какова вероятность того, что он попадет 8 раз из 10?
