Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

59. Что загадать?

Вам и сопернику предлагают загадать натуральное число. Если загаданные вами числа совпадут, то вы оба получаете призы, если же они разные, то не получаете ничего. Какое число следует загадать?

1. Один.

2. Десять.

3. Любое, вероятность выигрыша одинакова и ничтожно мала.

Чем больше диапазон чисел, тем меньше шансов, что загаданное вами число совпадет с числом соперника. Так, если это диапазон от 1 до 10, шансы на совпадение только 10 %, если от 1 до 100, то только 1 %. Поэтому вам нужно максимально сузить этот диапазон, и это возможно в случае, если в диапазон попадает только одно число – от одного до одного. Если соперник станет руководствоваться той же логикой, то загаданные числа совпадут, приз будет ваш.

В коробке лежит 21 спичка. Вы ходите первым, в игре у вас один соперник, каждый в свой ход (ходят поочередно) может взять от одной до трех спичек. Тот игрок, который не может больше сделать ход (спичек не осталось), проиграл. Можете ли вы выиграть в этой игре?

1. Да, тот, кто ходит первым, всегда может обеспечить себе победу.

2. Нет, выигрывает тот, кто ходит вторым.

3. Исход игры не предопределен, победит сильнейший.

Первый игрок гарантированно выигрывает, если берет столько спичек, чтобы остаток всегда был кратен 4. Для этого на первом ходу ему нужно взять одну спичку (остаток 20), затем взять столько, чтобы остаток равнялся 16 (если соперник взял одну – взять три; взял две – взять две; взял три – взять одну), затем, действуя аналогичным образом, взять столько, чтобы остаток равнялся 12, 8, 4, – когда остается четыре спички, сколько бы ни взял соперник, одну, две или три, вы забираете то, что осталось, тем самым обеспечив себе победу.

Два самурая вышли одновременно – один направился из Токио в Киото, другой в обратном направлении, из Киото в Токио. Они встретились в 12:00, поклонились друг другу, как того требует кодекс самураев, и пошли дальше. Первый пришел в Токио в 16:00, второй в Киото в 21:00. В котором часу они начали свой путь? (Предполагаем, что дорога между Токио и Киото одна, а шли они все время с постоянной скоростью.)

1. В 4:00.

2. В 6:00.

3. В 8:00.

На первый взгляд, у нас слишком много неизвестных и слишком мало уравнений. Нам неизвестны: скорость первого самурая v1, скорость второго v2, расстояние от Токио до Киото L, а еще то, что требуется установить, – время, когда они отправились в путь t. А какие нам известны соотношения, связывающие их? L = v1 × (16 – t) = v2 × (21 – t). И еще мы знаем, что в момент, когда они встретились (12:00), общее пройденное ими расстояние также равнялось L: L = (v1 + v2) × (12 – t). Как видим, L из этих соотношений мы легко можем исключить, и тогда у нас останется только два уравнения с тремя неизвестными v1, v2, t. То, что неизвестных больше, чем уравнений, показывает, что все их определить мы не сможем, найти скорости самураев не представляется возможным, но это и не требуется, ищем время t. Избавляемся от скоростей, переходя к их отношению v1/v2 и замечая, что из наших уравнений вытекает: это отношение равно (21 – t) ∕ (16 – t). В конечном итоге у нас получается квадратное уравнение t² – 24t + 108 = 0, которое элементарно решается и дает два корня t = 12 ± 6 = 6; 18. Очевидно, нам подходит только первое решение в силу простого соображения: они не могли стартовать позже, чем финишировал первый самурай (а это случилось, напомним, в 16:00).

Семену подарили новый смартфон, и он закачал туда сразу до полутораста игр (определенно, никак не меньше ста). 80 % игр бесплатные, 1/9 – условно платные (freemium, за саму игру платить не надо, но за «апгрейды» – новые уровни, артефакты и проч. – придется), остальные платные. Сколько платных игр скачал Семен?

1. 12.

2. 15.

3. 35.

Сначала нужно определить, сколько всего игр скачал Семен. Многим покажется, что любой ответ в диапазоне от 100 до 150 подходит. Так, да не так, потому что есть еще два условия: и 4/5 (80 %), и 1/9 от всех игр должны быть целыми числами (а и правда, не мог же Семен скачать дробное число бесплатных или freemium игр). По сути, перед нами еще один пример диофантовой задачи (см. задачи № 47 и 55). Значит, общее число игр должно быть кратно 5 и 9, единственное число в диапазоне 100–150, удовлетворяющее этому условию, – это 135. Бесплатных игр из них 108, freemium 15, оставшиеся 12 игр – платные.

Фигурист выступает на катке, в судейской бригаде пятеро судей. По итогам выступления ему присуждают средний балл 5,8, но затем происходит скандал, одного из судей решают удалить с соревнований, в результате средний балл фигуриста снижается до 5,6. Сколько ему поставил удаленный судья?

1. Невозможно определить, не хватает данных.

2. 6.0.

3. 6.6.

Запишем оценку каждого судьи в виде: 5,8 + xi (i = 1, 2, 3, 4, 5). Очевидно, что сумма x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 из самого определения среднего балла: средний балл – это сумма оценок, деленная на количество судей, мы получаем 5,8 × 5/5 + (x1 + x2 + x3 + x4 + x5)/5 = 5,8, сократив в обеих частях уравнения 5,8, получим искомое равенство. Его можно переписать в виде (считаем, что удаленный судья – пятый по счету): x5 = –(x1 + x2 + x3 + x4). Мы знаем, что после удаления пятого судьи средний бал снизился до 5,6, запишем это математически: 5,8 × 4/4 + (x1 + x2 + x3 + x4)/4 = 5,6, откуда после простейших преобразований следует: x1 + x2 + x3 + x4= –0,8. Теперь уже элементарно найти оценку, данную пятым судьей: это 5,8 + x5 = 5,8 – (x1 + x2 + x3 + x4) = 6,6. Также несложно теперь и ответить на вопрос, в чем заключался скандал и почему пятого судью удалили: дело в том, что максимальная оценка в фигурном катании составляет 6 баллов. Если судья ставит больше, то, значит, что-то с ним не то.

У Алеши А конфет, у Бори Б, у Вити В и у Гаврилы Г. Известны лишь произведения: А × Б = 6, Б × В = 12, В × Г = 24. Сколько конфет у Гаврилы, если известно, что у Бори их больше, чем у Вити?

1. 4.

2. 6.

3. 12.

Проще всего начать с Алеши и Бори, поскольку произведение А × Б = 6 минимально, значит, минимально и число комбинаций А и Б. Следует исходить из того, что А и Б – положительные целые (опять этот Диофант! См. задачи № 47, 55 и 62), так как отрицательное количество конфет есть нонсенс, а про обкусанные конфеты задач задавать тоже не принято. Тогда возможны следующие варианты: А = 1, Б = 6, В = 2, Г = 12 (1); А = 2, Б = 3, В = 4, Г = 6 (2); А = 3, Б = 2, В = 6, Г = 4 (3); А = 6, Б = 1, В = 12, Г = 2 (4). У Бори больше конфет, чем у Вити, только в первом случае, во всех прочих Б < В. Значит, только этот вариант и подходит под условия задачи, у Гаврилы при этом 12 конфет, вот и ответ.

Учитель выписывает на доске числа – 13, 21, 34 – и просит учеников продолжить последовательность, дописав еще хотя бы два последующих числа. Они долго спорили, в конечном итоге пришли к трем различным вариантам, но ни в одном они не уверены. А какой выберете вы?

1. 42, 56.

2. 50, 69.

3. 55, 89.

Вопрос на эрудицию, если ответ вам неизвестен, догадаться будет весьма непросто. Нужно обратить внимание, что 13 и 21 в сумме дают аккурат 34, а какая последовательность выражается формулой «Каждое последующее есть сумма двух предыдущих»? Совершенно верно, это последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т. д. Любопытно, что числа Фибоначчи их автором, Леонардо Пизанским (1170–1250; Фибоначчи его прозвали только после смерти), были предложены для подсчета количества кроликов, известных своей плодовитостью, в каждом поколении.