Павел Полуэктов - Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики

65. Что там дальше?

Учитель выписывает на доске числа – 13, 21, 34 – и просит учеников продолжить последовательность, дописав еще хотя бы два последующих числа. Они долго спорили, в конечном итоге пришли к трем различным вариантам, но ни в одном они не уверены. А какой выберете вы?

1. 42, 56.

2. 50, 69.

3. 55, 89.

Вопрос на эрудицию, если ответ вам неизвестен, догадаться будет весьма непросто. Нужно обратить внимание, что 13 и 21 в сумме дают аккурат 34, а какая последовательность выражается формулой «Каждое последующее есть сумма двух предыдущих»? Совершенно верно, это последовательность чисел Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т. д. Любопытно, что числа Фибоначчи их автором, Леонардо Пизанским (1170–1250; Фибоначчи его прозвали только после смерти), были предложены для подсчета количества кроликов, известных своей плодовитостью, в каждом поколении.

Найти хотя бы один корень уравнения (x + 1) (x + 3) × (x + 5) (x + 7) = 945.

1. 2.

2. 4.

3. –10.

Приглядимся к уравнению: в левой части четыре множителя, каждый из которых отличается от соседнего на 2. Если разложить 945 на четыре таких множителя, то решение, можно считать, уже у нас в руках. Раскладываем: разумеется, 945 делится на 5; разделили, получили 189, сумма цифр дает 18, значит, оно делится еще и на 3; поделили, получили 63, а это 7 и 9, в итоге имеем 945 = 3 × 5 × 7 × 9, и x = 2 очевидно является решением. Но также решением является и –10: (–9) × (–7) × (–5) × (–3) снова равно 945 (минус на минус на минус на минус дает плюс). А есть ли еще решения? Заменим x на y = x + 4, тогда уравнение будет выглядеть так: (y – 3)(y – 1)(y + 1)(y + 3) = 945. Вспоминая, что (y – a)(y + a) = y² – a², преобразуем уравнение к виду (y²–1)(y²–9) = 945. Заменим еще одно обозначение y² = z и получим квадратное уравнение на z: z² – 10z – 936 = 0 (мы просто раскрыли скобки и перенесли все из правой части уравнения в левую). У этого уравнения есть два корня: 36 и −26. С первым все понятно: подставляя z = (x + 4)², мы как раз получим уже известные нам первые два решения. А как быть со вторым? Ну, тут история позаковыристее, нужно взять квадратный корень из отрицательного числа. Кто-то скажет, что таких не бывает, а мы скажем: бывает, это же просто i × √26, где i = √−1 – мнимая единица. Таким образом, оставшиеся два корня уравнения – это 4 ± i × √26.

Нужно найти все натуральные числа от 1 до 1000, делящиеся одновременно на 7 и на 11. Сколько таких?

1. 7.

2. 10.

3. 12.

Поскольку 7 и 11 – простые числа, то понятно: для того чтобы число делилось и на 7, и на 11, нужно, чтобы оно делилось на 77. Итоговое произведение этих чисел (1 × 77, 2 × 77, … – и так вплоть до n × 77) не должно превышать 1000. При n = 12 это 924, а при n = 13 уже 1001, не подходит. Так что правильный ответ – 12.

Когда в Москве 12:00, в Чикаго 3:00. Когда же 3:00 в Москве, 12:00 в Петропавловске-Камчатском. А который час в Чикаго, когда в Петропавловске-Камчатском 3:00?

1. 12:00.

2. 21:00.

3. 9:00.

В Москве по отношению к Чикаго +9 часов, в Петропавловске-Камчатском по отношению к Москве +9 часов, соответственно, в Чикаго по отношению к Петропавловску-Камчатскому – 18 часов, там всегда на 18 часов меньше, чем в нашем дальневосточном городе. Значит, когда в Петропавловске-Камчатском 3:00, в Чикаго −15 – т. е. 24−15 = 9, 9:00 предыдущего дня.

В отделе продаж фирмы работают молодые люди: девять красавцев средним возрастом 25 лет. А в бухгалтерии – без пяти минут пенсионеры, 11 счетоводов, им в среднем по 45. А что можно сказать про средний возраст персонала фирмы? (Предположим для простоты, что более никаких отделов в компании нет.)

1. 35 лет.

2. 36 лет.

3. 38 лет.

Элементарная задачка, если вспомнить определение среднего. Средний возраст равен сумме всех возрастов (суммарный возраст), деленной на число людей. Значит, нам нужно посчитать сначала суммарный возраст всех сотрудников, который равен {суммарный возраст по отделу продаж} + {суммарный возраст по бухгалтерии} = 25 × 9 + 45 × 11 = 720 лет. Теперь, чтобы получить средний возраст, делим найденный суммарный на общее число сотрудников (9 + 11 = 20), получаем 36 лет.

Среди всех трехзначных чисел есть такие, сумма цифр которых ровно в 12 раз меньше самого числа. Сколько таких?

1. Только одно.

2. Два.

3. Шесть.

Любое трехзначное число можно записать как 100a + 10b + c, где a, b и c принимают целочисленные значения (уже пятая диофантова задача! См. № 47, 55, 62 и 64), b и c в диапазоне от 0 до 9, a – от 1 до 9. По условию само число равно сумме цифр, умноженной на 12: 100a + 10b + c = 12 (a + b + c). Упрощая, запишем: 88a = 2b + 11c, a = (2b + 11c) ∕ 88a = 1 при 2b + 11c = 88, при этом значение a = 2, не говоря уж о бóльших, невозможно – тогда 2b + 11c должно сравняться со 176, для b и c меньших 9 это просто немыслимо. В общем, a всегда единица, c = 8 при b = 0, а больше никаких возможностей не существует: можно взять еще c = 6, но тогда b = 11, снова вышли за пределы допустимого диапазона. Выходит, единственное число, удовлетворяющее условию, – это 108 = 12 × 9.

Профессионал выполняет работу за 5 ч, стажер за 10 ч. А за какое время справится специалист, производительность которого – среднее арифметическое от производительности профессионала и стажера?

1. За 6 ч 40 м.

2. За 7 ч 30 м.

3. За 8 ч 20 м.

Ответ «семь с половиной часов» – типичная ошибка, связанная с тем, что прежде, чем усреднять, нужно определиться, что именно мы усредняем. В задаче речь о производительности, давайте ее посчитаем. Производительность – это работа в единицу времени. Если принять ту работу, о которой говорится в условии, за единицу, то производительность профи 1/5, стажера 1/10, специалиста – (1/5 + 1/10)/2 = 3/20, а работу единичного объема он выполнит за 20/3 ч = 6 ч 40 м.

В вашем распоряжении две банки – трех– и пятилитровая. Нужно отмерить ровно 1 л воды. Возможно ли это, и если да, то за сколько шагов (шаг = одно наливание из крана или одно переливание из одной банки в другую)?

1. Невозможно.

2. За четыре шага.

3. За восемь шагов.

Чтобы понять, как действовать, сначала нужно прикинуть, как из 3 и 5 получить 1, чисто арифметически. Самый простой вариант: 1 = 3 + 3–5, т. е. нам нужно как-то дважды налить по 3 л, а после куда-то деть 5 л. Возможно? Возможно: наполняем трехлитровую банку (1-й шаг) и переливаем все ее содержимое в пятилитровую (2-й шаг), затем снова наполняем трехлитровую (3-й шаг) и снова переливаем в пятилитровую (4-й шаг) – в нее войдет только 2 л, после чего в трехлитровой банке останется ровно 1 л воды.

Давайте посчитаем по-быстрому, сколько будет 1 + 3 + 5 + 7 +… + 99? (Сумма всех нечетных чисел от единицы до 99.) Это:

1. 1234.

2. 2500.

3. 3600.

Вообще говоря, перед нами сумма членов арифметической прогрессии, для подсчета которой существует известная формула, и при желании мы можем ею воспользоваться. Но это путь долгий и неизящный – а мы хотим посчитать быстро, красиво и в уме. Тогда вспомним, что еще с античных времен известно: любая сумма нечетных чисел от единицы до n суть полный квадрат. Судите сами: 1 + 3 = 4 = 2²; 1 + 3 + 5 = 9 = 3²; 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². То, что так будет для всех нечетных чисел, ясно уже из геометрических соображений: возьмем побольше единичных (со стороной длиной 1, неважно чего – метров, футов или лье) квадратов и начнем последовательно собирать из них квадраты большего размера – со стороной 2, 3 и т. д. (см. рисунок). Квадрат со стороной 2 получается прибавлением к первоначальному квадрату еще трех, со стороной 3 – прибавлением к предыдущему еще пяти, ну и т. д. Площадь большого квадрата (со стороной длины n) можно записать как n², а можно – как сумму площадей всех составляющих его фигур (площадь первого единичного квадрата + площади всех «надстроек» над ним, превращающих его в квадрат во стороной n): 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1). В итоге имеем равенство 1 + 3 + 5 +… + (2n – 1) = n². В нашем случае n = 50 (так как 2n – 1 = 99), значит, сумма равна 50 × 50 = 2500.