Одно время Эйнштейн так часто приходил домой к Гроссману по вечерам, что пожилая горничная устала спускаться по лестнице, чтобы открывать ему дверь. И Эйнштейн предложил Гроссману «оставить входную дверь открытой, чтобы не беспокоить старушку»{30}. В течение года Эйнштейн и Гроссман работали над предварительным вариантом своей теории, который Эйнштейн представил на Венской конференции 1913 года. Историки называют эту раннюю форму Entwürf, или «Проект», по названию статьи Эйнштейна и Гроссмана «Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения», опубликованной в то же время. Статья содержала многие, хотя и не все, элементы общей теории относительности.
В специальной теории относительности наблюдатели, путешествующие с постоянными по отношению друг к другу скоростями, обнаруживают одинаковые законы физики. Например, уравнения Максвелла выглядят одинаково для обоих наблюдателей. Одна из ключевых целей Эйнштейна при создании общей теории относительности заключалась в том, чтобы расширить принцип относительности и на наблюдателей, движущихся по отношению друг к другу с ускорением. В отличие от механики Ньютона, где предпочтительными были инерциальные (или неускоренные) системы отсчета, Эйнштейн хотел, чтобы его теория годилась для всех случаев жизни. Исследователь в лаборатории, находящейся в вагоне тормозящего перед станцией поезда, или на карусели, вращающейся по кругу, должен иметь возможность описывать свои эксперименты с помощью той же физики, что и исследователь, работающий в обычном здании. Математически это означает, что уравнения движения должны иметь одинаковую форму как для ускоренных (включая ускорение, замедление и вращение), так и для инерциальных систем отсчета. Эйнштейн назвал такое условие «общей ковариантностью».
К сожалению, Эйнштейн пришел к выводу, что «Проект» не отвечает поставленной цели: обеспечить независимость от выбора системы отсчета. Он недотягивал до идеала Маха — требования исключить предпочтительность инерциальных систем отсчета и установить своего рода демократию для всех видов движения, включая ускоренные. Вместо этого все еще существовала «элита», в которую входили только некоторые виды систем отсчета. Эйнштейн обратился к другому своему бывшему сокурснику, Мишелю Бессо, за советом относительно научной корректности «Проекта». Если теория верна физически, возможно, он мог бы смириться с определенными математическими ограничениями, такими как отсутствие общей ковариантности. Эйнштейн настойчиво защищал свои идеи, но отказывался от них в мгновение ока, если видел более эффективный путь. Некоторое время он пытался убедить себя, что общая ковариантность не является необходимой для полной теории, если уравнения получаются простыми и дают физически достоверные результаты.
Бессо и Эйнштейн решили посмотреть, как «Проект» пройдет астрономическую проверку: описание скорости прецессии (сдвига в направлении вращения) перигелия (ближайшей к Солнцу точки орбиты) Меркурия. Будучи самой близкой к Солнцу планетой, Меркурий сильнее всего подвержен влиянию притяжения Солнца и, следовательно, наиболее пригоден для проверки гравитационных теорий. Хотя теория тяготения Ньютона очень хорошо описывала движения других планет Солнечной системы, ей не удавалось объяснить медленный поворот эллиптической орбиты Меркурия с периодом 3 миллиона лет. Эйнштейн выразил надежду, что «Проект» позволит точнее описать орбиту Меркурия. К его огорчению, расчеты, выполненные Бессо, показали, что теория по-прежнему неправильно предсказывает скорость прецессии.
Другое предсказание об отклонении видимого положения звезд из-за сильного влияния Солнца, которое Эйнштейн и Гроссман сделали в «Проекте», могло бы быть проверено Финлей-Фройндлихом во время солнечного затмения 1914 года, не будь он взят в плен. Но даже если быемуиудалось получил результаты в 1914 году, он, вероятнее всего, обнаружил бы, что «Проект» и здесь предсказывает ошибочные значения. Теория нуждалась в обстоятельном пересмотре, что вынудило Эйнштейна сражаться с уравнениями гораздо дольше, чем он предполагал.
Борьбу пришлось продолжить без Гроссмана, а также без Милевы. Потому что, сосредоточившись на работе, Альберт практически забыл о семье. В результате Милева погрузилась в глубокую депрессию, а их брак трещал по швам. Переезд Эйнштейна в Германию стал последней каплей. Он получил предложение от Макса Планка и физика Вальтера Нернста занять три важные должности в Берлине: члена престижной Прусской академии наук, профессора Берлинского университета и директора недавно основанного института физики. Одно из преимуществ заключалось в том, что Эйнштейн освобождался от лекционной нагрузки и мог посвятить все свое время исследованиям. Неохотно последовав за Альбертом в Берлин в апреле 1914 года, Милева оставалась там в течение нескольких месяцев, прежде чем вернуться с детьми в Цюрих. Через некоторое время они начнут вести переговоры о разводе, на которые уйдет несколько лет.
Альберт тем временем воспылал новой страстью — к кузине Эльзе Левенталь, которая затем стала его женой. Она была намного более домашней и заботливой, чем Милева. Эльза часто обращалась с ним как с ребенком, которого необходимо кормить, холить и лелеять, например заботилась об укрощении его непослушных волос. Она также с гордостью принимала участие в социальных мероприятиях, используя любую возможность, чтобы показаться с ним на публике. В свою очередь, Эйнштейн получил возможность полностью освободить себя от повседневных забот и сосредоточиться на расчетах. Он неустанно трудился над теорией гравитации, отвлекаясь лишь на игру на скрипке во время музыкальных пауз.
Перед тем как Эйнштейн, задыхаясь, достиг пика своих устремлений, он почувствовал, что ту же высоту стремится взять Давид Гильберт. В июне 1915 года Эйнштейн выступил перед взволнованной аудиторией в Гёттингене; среди слушателей был и Гильберт. Эйнштейн рассказал о своих успехах в построении общей теории относительности и препятствиях, которые еще остались неразрешенными, в том числе о вопросе общей ковариантности.
Заинтригованный проблемой описания неевклидова пространства-времени, искривленного присутствием распределенной в нем материи и энергии, Гильберт решил продолжить поиск полевых уравнений общей теории относительности самостоятельно. Внезапно у Эйнштейна появился соперник. Он был подавлен тем, что один из самых талантливых математиков в мире претендует на трофей, о котором он мечтал годами. Гонка шла практически на равных, но Эйнштейн пересек финишную черту первым. Поздней осенью он отпраздновал победу, добившись корректной формулировки.
Впрочем, в качестве утешительного приза за Гильбертом признается авторство альтернативного подхода к общей теории относительности, который называется лагранжевым. Математически лагранжиан — это разность между кинетической (энергией движения) и потенциальной (энергией положения) энергией механической системы, записанная в виде функции от координат. Можно наглядно представить различие между потенциальной и кинетической энергией на примере пружинного ружья. Сожмите пружину, и потенциальная энергия увеличится, то есть увеличится потенциал выстрела. Спустите пружину, и ее потенциальная энергия перейдет в кинетическую, при этом ружье выстрелит. Потенциальная энергия положения преобразуется в кинетическую энергию движения. Теперь вычтем потенциальную энергию системы, выраженную через координаты, из ее кинетической энергии, выраженной через скорость, и получим лагранжиан.
Как показал блестящий ирландский математик и астроном XIX века Уильям Роуэн Гамильтон, если проинтегрировать лагранжиан по заданному интервалу времени, то мы получим величину, называемую действием. Гамильтон доказал, что любая механическая система эволюционирует (движется на этом временном интервале) таким образом, чтобы свести к минимуму величину действия (или, в некоторых случаях, чтобы его максимизировать). Этот принцип, называемый принципом наименьшего действия, естественным образом приводит к уравнениям движения, называемым уравнениями Эйлера — Лагранжа. Таким образом, зная лагранжиан системы, можно определить, как она будет эволюционировать.
В качестве простого примера из классической механики рассмотрим некоторый объект, скажем коробку из-под чая, выброшенную астронавтом несколько десятилетий назад и медленно движущуюся в вакууме в отсутствие каких-либо сил, действующих на нее. Ее кинетическая энергия равна половине массы, умноженной на квадрат скорости. Потенциальная энергия коробки равна нулю из-за отсутствия сил и однородности пустого пространства. Таким образом, лагранжиан коробки состоит только из ее кинетической энергии. Принцип наименьшего действия утверждает, что траекторией такого объекта, обеспечивающей минимальное действие, будет прямая линия. Подставьте лагранжиан в уравнения Эйлера — Лагранжа, и в результате вы получите уравнения, описывающие движение с постоянной скоростью. Таким образом, довольно простой лагранжиан обрекает нашу коробку на бесконечное путешествие по прямой линии с постоянной скоростью.
