В качестве простого примера из классической механики рассмотрим некоторый объект, скажем коробку из-под чая, выброшенную астронавтом несколько десятилетий назад и медленно движущуюся в вакууме в отсутствие каких-либо сил, действующих на нее. Ее кинетическая энергия равна половине массы, умноженной на квадрат скорости. Потенциальная энергия коробки равна нулю из-за отсутствия сил и однородности пустого пространства. Таким образом, лагранжиан коробки состоит только из ее кинетической энергии. Принцип наименьшего действия утверждает, что траекторией такого объекта, обеспечивающей минимальное действие, будет прямая линия. Подставьте лагранжиан в уравнения Эйлера — Лагранжа, и в результате вы получите уравнения, описывающие движение с постоянной скоростью. Таким образом, довольно простой лагранжиан обрекает нашу коробку на бесконечное путешествие по прямой линии с постоянной скоростью.
Вклад Гильберта в общую теорию относительности — лагранжиан Эйнштейна — Гильберта (приводящий к действию Эйнштейна — Гильберта) — тоже является довольно простым. Тем не менее он достаточно богат на математические следствия и порождает уравнения поля в общей теории относительности. Кроме того, если у вас есть потребность модифицировать общую теорию относительности физически значимым способом, лагранжиан обеспечивает необходимые для этого средства. Мы увидим, что Шрёдингер в своих попытках расширения общей теории относительности для учета других сил в конечном итоге сделает именно это (модифицирует лагранжиан).
Гамильтон разработал другой способ описания механических систем: так называемый гамильтонов подход. Вместо вычитания потенциальной энергии из кинетической обе величины складываются. Эта сумма называется гамильтонианом и может быть использована для получения системы уравнений, описывающей взаимосвязь координат и импульса системы. Как и метод Лагранжа, гамильтонов подход также сыграл важную роль в современной физике, в том числе, как мы увидим, в формулировке квантовой механики Шрёдингера. Гамильтонов набор математических инструментов также может быть применен к общей теории относительности, как показал Эйнштейн, когда наконец сформулировал ее окончательную версию.
Эйнштейн предал гласности свой шедевр в практически окончательной форме на собрании Прусской академии наук 4 ноября 1915 года. Он был горд представить уравнения поля для полной теории гравитации, основанной на геометрии пространства-времени. 18 ноября он выступил перед той же аудиторией с другим докладом, в котором предложил свое решение вековой проблемы прецессии орбиты Меркурия. Два месяца спустя, когда расчеты были окончательно проверены, он писал своему другу Паулю Эренфесту: «Можете ли Вы представить себе мою радость от подтверждения идеи общей ковариантности, которая дала в результате правильные уравнения для движения перигелия Меркурия? От волнения я на несколько дней потерял дар речи»{31}.
К тому времени, как Эйнштейн опубликовал окончательный вариант своей теории в престижном журнале Annalen der Physik (20 марта 1916 года), немецкий физик Карл Шварцшильд, проходя военную службу на русском фронте, уже нашел первое точное решение. Оказывается, он прочитал доклад Эйнштейна от 18 ноября и сделал вычисления для случая гравитирующего массивного сферического объекта, подобного звезде. Среди тьмы войны блестящее творение Эйнштейна осветило небо ярче, чем взрывы снарядов, подарив надежду и вдохновение по крайней мере одному солдату. К сожалению, Шварцшильд умер 11 мая 1916 года от неизлечимого аутоиммунного заболевания в возрасте сорока двух лет. Много десятилетий спустя решение Шварцшильда будет использовано для описания черных дыр. С тех пор было найдено множество других точных решений уравнений общей теории относительности.
Золотой храм Эйнштейна построен на твердом фундаменте: содержащейся во Вселенной материи и энергии. Начните с любого распределения материи и энергии, описываемого тензором энергии-импульса Тμν, и полевые уравнения общей теории относительности позволят вам определить компоненты другого математического объекта — тензора Эйнштейна Gμν, описывающего геометрию пространства-времени. Уравнение Gμν = 8πTμν (которое может быть записано в различных формах) считается одним из наиболее важных вкладов Эйнштейна наряду с его формулой Е = тс2 и уравнением фотоэффекта. Все три гениальных уравнения высечены на мемориале Эйнштейна в Вашингтоне.
Случай, как-то рассказанный известным физиком Ричардом Фейнманом, иллюстрирует вездесущность уравнений Эйнштейна в современных дискуссиях о теории гравитации. В 1957 году Фейнмана пригласили на первую Американскую конференцию по общей теории относительности в Чапел-Хилл в штате Северная Каролина. Когда он прибыл в аэропорт и собирался взять такси, оказалось, что он не знает, проводится конференция в Университете Северной Каролины или в Университете штата Северная Каролина. Поэтому он спросил таксиста, не заметил ли он каких-нибудь людей, выглядящих отрешенными и повторяющих: «Джи-мю-ню, джи-мю-ню»{32}.
Суть уравнений Эйнштейна заключается в том, что геометрия в некоторой области пространства, выраженная тензором Эйнштейна, определяется находящейся там материей и энергией посредством тензора энергии-импульса. Другими словами, масса и энергия деформируют пространство-время, указывая ему, где и как искривляться. Геометрия пространства-времени, в свою очередь, определяет то, как движутся в нем тела. То есть уравнения Эйнштейна изящно объединили содержимое Вселенной с ее формой.
Любой тензор можно записать в терминах его компонент в виде матрицы, или таблицы. Тензор Эйнштейна и тензор энергии-импульса могут быть записаны как матрицы 4x4. У этих матриц по шестнадцать компонент, но не все они являются независимыми. Существует правило симметрии, требующее, чтобы элемент из определенной строки и столбца (например, из третьей строки и четвертого столбца) совпадал с элементом, у которого номера строки и столбца переставлены местами (в нашем примере — из четвертой строки и третьего столбца). Это похоже на зеркальную расстановку шахматных фигур относительно диагонали шахматной доски. Мы называем такие тензоры симметричными.
С учетом условия симметричности тензор Эйнштейна содержит десять независимых компонент. Так же, как и тензор энергии-импульса. Таким образом, уравнения Эйнштейна, которые связывают два тензора, дают десять независимых соотношений между компонентами. Они показывают, как материя и энергия влияют на различные характеристики пространства и времени. Некоторые из этих соотношений приводят к растяжению или сжатию. Другие — описывают скручивание или поворот. Все, что может случиться с пространством и временем из-за гравитационного воздействия вещества и энергии, содержится в этих уравнениях.
Но если уравнения Эйнштейна так просты и изящны, то почему потребовалось столько времени, чтобы их вывести? Как говорится, дьявол кроется в деталях. Вы не можете просто взять тензор Эйнштейна и непосредственно определить движения астрономических объектов, таких как планеты или звезды. То, как объекты движутся, определяется еще одним математическим объектом, который называется метрическим тензором. Переход от тензора Эйнштейна к метрическому тензору вовсе не очевиден и требует нескольких шагов.
Предположим, вам известно распределение массы и энергии в некоторой области пространства, и вы хотите определить, как в ней будут двигаться тела. Вот алгоритм расчета. Сначала используйте уравнения Эйнштейна, чтобы получить тензор Эйнштейна из тензора энергии-импульса. И тензор Эйнштейна, и связанный с ним тензор кривизны Римана (первый является своего рода сокращенной записью последнего) кодируют информацию о кривизне пространства-времени от точки к точке. Затем используйте компоненты либо тензора Эйнштейна, либо тензора Римана, чтобы построить геометрический объект, называемый аффинной связностью (или связностью Кристоффеля). Связность определяет то, как компоненты векторов (объектов, обладающих длиной и направлением) преобразуются, если вы перемещаете их параллельно самим себе от точки к точке. Далее, используйте аффинные связности, чтобы вычислить компоненты метрического тензора. Метрический тензор сшивает ткань пространства-времени, указывая, каким образом измерять расстояния между точками. Он предлагает модификацию теоремы Пифагора для искривленного пространства-времени. Наконец, используйте метрику для определения наиболее коротких путей, по которым в пространстве могут двигаться объекты. Из-за деформации пространства-времени они, как правило, будут изогнутыми, как, например, эллиптические орбиты планет вокруг Солнца.
