10. Склонный к математике читатель заметит, что свет путешествует вдоль нулевых геодезических пространственно-временной метрики, которые для определенности мы можем выбрать равными ds2 = dt2 – a2(t)(dx2), где dx2 = dx12 + dx22 + dx32, а xi есть сопутствующие координаты. Выбирая ds2 = 0, что соответствует нулевым геодезическим, мы можем записать ∫tt0 (dt/a(t)) для полного сопутствующего расстояния, которое свет, испущенный в момент t, может пройти до момента t0. Если мы умножим это на величину масштабного фактора a(t0) в момент t0, мы рассчитаем физическое расстояние, которое прошел свет за этот временной интервал. Этот алгоритм может быть широко использован, чтобы рассчитать, как далеко свет может улететь за данный временной интервал, обнаруживая, являются ли две точки в пространстве, например, причинно связанными. Как вы можете видеть, для ускоренного расширения даже для достаточно большого t0 интеграл ограничен, показывая, что свет никогда не достигнет достаточно удаленного сопутствующего положения. Таким образом, во вселенной с ускоренным расширением имеются места, с которыми мы никогда не сможем связаться, и наоборот, области, которые никогда не смогут связаться с нами. О таких областях говорят как о находящихся за пределами нашего космического горизонта.
11. Для анализа геометрической формы математики и физики используют количественный подход к кривизне, разработанный в девятнадцатом столетии, который сегодня является частью математической области знаний, известной как дифференциальная геометрия. Один неформальный способ размышления об измерении кривизны заключается в изучении треугольников, нарисованных на или внутри изучаемой области. Если сумма углов треугольника равна 180 градусов, как это будет, когда он нарисован на плоской столешнице, мы говорим, что область плоская. Но если сумма углов больше или меньше 180 градусов, как это будет, когда треугольник нарисован на поверхности сферы (направленное наружу выдувание сферы из плоскости заставит сумму углов превысить 180 градусов) или на поверхности седла (вдавливание седловой поверхности внутрь из плоскости заставит сумму углов быть меньше 180 градусов), мы говорим, что поверхность кривая. Это показано на Рис. 8.6.
12. Если вы склеили противоположные вертикальные края тора-экрана вместе (что есть основания сделать, поскольку они отождествлены – когда вы проходите через один край, вы немедленно возникаете на другом, – вы получите цилиндр. И затем, если вы сделали то же самое с верхним и нижним краями (которые теперь будут иметь форму окружностей), вы получите форму пончика (бублика). Таким образом, пончик есть другой способ размышления о торе или представления тора. Одно усложнение этого представления заключается в том, что пончик больше не выглядит плоским! Однако, это на самом деле так. Используя понятие кривизны, данное в предыдущем комментарии, вы найдете, что все треугольники, нарисованные на поверхности пончика имеют углы, чья сумма равна 180 градусов. Факт, что пончик выглядит кривым, является ложным изображением того, как мы вставили двумерную поверхность в наш трехмерный мир. По этой причине в текущем контексте более удобно использовать явно неискривленные представления двух- и трехмерных торов, как это обсуждается в тексте.
13. Отметим, что мы потеряли в различении концепций формы и кривизны. Имеются три типа кривизны для полностью симметричного пространства: положительная, нулевая и отрицательная. Но две поверхности могут иметь одинаковую кривизну и все же не быть идентичными, простейшим примером является плоский видеоэкран и плоская бесконечная столешница. Таким образом, симметрия позволяет нам свести кривизну пространства к трем возможностям, но имеются в некотором смысле больше чем три формы пространства (отличающиеся тем, что математики называют глобальными свойствами), которые проявляют эти три кривизны.
14. До настоящего момента мы сосредоточивались исключительно на кривизне трехмерного пространства – кривизне пространственных сечений в пространственно-временном батоне. Однако, хотя это тяжело изобразить, во всех трех случаях пространственной кривизны (положительной, нулевой, отрицательной) все четырехмерное пространство-время искривлено со степенью кривизны, становящейся все больше, когда мы исследуем вселенную все ближе к Большому взрыву. Фактически, вблизи момента Большого взрыва четырехмерная кривизна пространства-времени возрастает настолько, что уравнения Эйнштейна отказывают. Мы обсудим это далее в последующих главах.
Глава 9
1. Если вы повысите температуру еще больше, вы найдете четвертое состояние материи, известное как плазма, в котором атомы разрушены на их составляющие частицы.
2. Имеются любопытные субстанции, такие как соли Рошелле, которые становятся менее симметричными при высоких температурах, и более симметричными при низких температурах – противоположно тому, что мы, как правило, ожидаем.
3. Одно различие между полями сил и материи выражено в принципе исключения Вольфганга Паули. Этот принцип показывает, что в то время как огромное количество частиц сил (вроде фотонов) могут объединяться, чтобы произвести поля, доступные доквантовому физику, такому как Максвелл, поля, которые вы видите всякий раз, когда вы заходите в темную комнату и включаете свет, частицам материи в общем случае законы квантовой физики запрещают такое кооперирование согласованным, организованным образом. (Более точно, две частицы одного и того же вида, такие как два электрона, не могут занять одинаковое состояние, тогда как для фотонов такого ограничения нет. Таким образом, поля материи в общем случае не имеют макроскопического, классического проявления).
4. В схеме квантовой теории поля каждая известная частица выглядит как возбуждение лежащего в основании поля, связанного с семейством, членом которого частица является. Фотоны есть возбуждения фотонного поля – что означает, электромагнитного поля; up-кварк является возбуждением up-кваркового поля; электрон есть возбуждение электронного поля, и так далее. Таким образом, вся материя и все силы описываются не едином квантовомеханическом языке. Ключевая проблема, что очень тяжело оказалось описать на этом языке все квантовые свойства гравитации, проблема, которую мы будем обсуждать в Главе 12.
5. Хотя поле Хиггса названо в честь Петера Хиггса, жизненно важную роль в его введении в физику и его теоретической разработке сыграло большое число других физиков, среди других – Томас Киббле, Филип Андерсон, Р. Браут и Франко Энглерт.
6. Имейте в виду, что величина поля задается расстоянием от центра его чаши, так что даже если поле имеет нулевую энергию, когда его величина находится во впадине чаши (поскольку высота над впадиной обозначает энергию поля), его величина не равна нулю.
7. В описании в тексте величина Хиггсова поля задана его расстоянием от центра чаши, так что вы можете удивиться, сколько точек на круговой впадине чаши, – которые находятся на таком же расстоянии от центра чаши, – дают любую, но одинаковую величину Хиггсова поля. Ответ, для склонного к математике читателя, в том, что различные точки во впадине представляют величины Хиггсова поля с одним и тем же значением, но с различными фазами (величина Хиггсова поля является комплексным числом).
8. В принципе, имеется две концепции массы, которые водятся в физике. Одна концепция описана в тексте: масса есть свойство объекта, которое сопротивляется ускорению. Иногда это понятие массы называют инертной массой. Вторая концепция массы имеет отношение к гравитации: масса как такое свойство объекта, которое определяет, насколько сильно он будет притягиваться гравитационным полем выбранной величины (такой как земная). Иногда это понятие массы называется гравитационной массой. На первый взгляд, Хиггсово поле имеет отношение только к пониманию инертной массы. Однако принцип эквивалентности ОТО декларирует, что силы, ощущаемые от ускоренного движения и от гравитационного поля неразличимы – они эквивалентны. А это означает эквивалентность между концепциями инертной и гравитационной массы. Таким образом, Хиггсово поле имеет отношение к обоим видам массы, которые мы упомянули, поскольку, согласно Эйнштейну, они одинаковы.
9. Я благодарю Рафаэля Каспера за указание, что это описание является вариацией призовой метафоры профессора Дэвида Миллера, предъявленной в ответ на требование Британского министра науки Вильяма Вальдеграве Британскому физическому обществу в 1993 объяснить, почему деньги налогоплательщиков должны быть использованы на поиски частицы Хиггса.
