Частицы с полуцелым спином не подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, потому что две такие частицы не могут находиться в одном квантовом состоянии. Скорее, как это покажет Паули, электроны и другие частицы с полуцелым спином должны подчиняться принципу запрета, гласящему, что каждая частица должна занимать свое собственное квантовое состояние. Частицы этого типа, называемые фермионами, не могут сбиваться в кучу, как музыкальные фанаты возле сцены. Вместо этого у каждой частицы есть свое собственное место.
Термин фермион происходит от названия статистики Ферми — Дирака, правильно описывающей коллективное поведение частиц с полуцелым спином. Названная в честь итальянского физика Энрико Ферми и английского физика Поля Дирака, каждый из которых внес свой вклад в теорию, она описывала распределение частиц по состояниям иначе, чем статистика Бозе — Эйнштейна. Впоследствии Дирак вывел правильное релятивистское уравнение, описывающее поведение фермионов, названное уравнением Дирака. Это потребовало нового типа обозначений с использованием комплексных чисел.
Шрёдингер начал свои расчеты, не зная ничего из этого, и вскоре разработал уравнение для волн материи, в котором использовались положения специальной теории относительности. Это было очень важное уравнение, которое позже переоткрыли шведский физик Оскар Клейн и немецкий физик Уолтер Гордон и которое было названо уравнением Клейна — Гордона[9]. Беда была в том, что оно не вполне применимо к электронам и другим фермионам из-за их полуцелого спина. На самом деле оно отлично работает для описания бесспиновых бозонов, но Шрёдингер пытался описать с его помощью электроны, являющиеся фермионами, а не бозонами. К его великому разочарованию, когда он попытался смоделировать атом Бора — Зоммерфельда, предсказания модели оказались ошибочными.
После серии бесплодных попыток Шрёдингер решил, что ему нужен перерыв. На носу были рождественские каникулы, и Шрёдингер использовал их, чтобы выбраться из города и более глубоко поразмыслить о волнах материи. Он сообщил Энни, что отправляется отдыхать в живописную альпийскую деревушку Ароза. Шрёдингер уже бывал там раньше, когда восстанавливался после легочной инфекции. Тем временем он написал письмо одной своей бывшей подружке из Вены (чье имя неизвестно, поскольку его дневник за тот год утерян) и пригласил ее присоединиться к нему. Энни осталась в Цюрихе.
В своем личном философском эссе «Поиски пути», завершенном в 1925 году, Шрёдингер соглашается с идеей воли Шопенгауэра, определяемой как общая сила, которая направляет всех людей и даже неодушевленные предметы по заданному пути. Он использовал сравнение со скульптурой, чтобы показать, что хотя конечный продукт идеален, красив и вечен, в процессе своего производства он требует тысяч крошечных, очевидно случайных и даже деструктивных ударов по камню. «Поэтому и должны мы на каждом шагу изменять, преодолевать, разрушать форму, которой только что обладали, — писал Шрёдингер. — Сопротивление примитивной воли представляется мне подобным физическому сопротивлению существующей формы резцу ваятеля»{60}.
Шрёдингер действовал импульсивно, чувствуя, что риск важен для личностного роста. Пока мир провожал 1925 год, он отправился со своей прежней подружкой в Вилла-Хервиг, окруженную прекрасными горными пейзажами, готовя себя к напряженному периоду научных расчетов и вычислений. Что бы он там ни делал, казалось, это было связано с научной работой. Так, его двухнедельный отпуск ознаменовал наиболее плодотворный период в его жизни, во время которого он создаст совершенно новый подход к физике, что в конечном итоге принесет ему Нобелевскую премию. Герман Вейль, который хорошо знал Шрёдингеров и, видимо, был осведомлен об их любовных связях, так описал этот период в своем рассказе историку науки Абрахаму Пайсу: «Шрёдингер совершил свое великое открытие в позднем эротическом порыве своей жизни»{61}.
Под словом «позднем» кроется факт, что Шрёдингеру на тот момент было тридцать восемь. Он был намного старше юных гениев Гейзенберга и Паули, которые командовали другим квантовым флангом. Как ни печально, лишь немногие теоретики (по крайней мере в наше время) вносят существенный вклад, когда им уже за тридцать. Эйнштейн является еще одним таким исключением из правила: он завершил свою общую теорию относительности в возрасте тридцати шести лет, а свой основной вклад в квантовую статистику он сделал в возрасте сорока пяти лет. Однако, в отличие от Шрёдингера, Нобелевскую премию ему присудили за работу (посвященную фотоэлектрическому эффекту), которую он опубликовал, когда ему еще не было тридцати.
Наполненный юношеской энергией, Шрёдингер устремился навстречу судьбе. Продолжая играть с релятивистским волновым уравнением, он решил переключиться на его нерелятивистскую версию. Вместо формулы E = тс2 он использовал старую ньютоновскую формулу для энергии. Комбинируя классическое выражение для кинетической энергии (энергии движения) и потенциальной энергии (энергии положения), он ловко переписал их в виде математической функции, названной оператором Гамильтона (формулировка, аналогичная гамильтоновой, уже упоминалась ранее, но там все выражалось в терминах производных и других функций). В своем знаменитом уравнении Шрёдингер применил гамильтониан к объекту, который называется волновой функцией (также известной как пси-функция), чтобы определить, как она изменяется со временем.
Волновая функция, согласно концепции Шрёдингера, задавала распределение заряда и массы элементарной частицы в пространстве. Чтобы найти стационарные состояния частицы с фиксированной энергией, например стабильные электронные состояния атома, просто найдите все волновые функции, для которых действие оператора Гамильтона эквивалентно умножению этой волновой функции на некоторое число. Каждое число, для которого это уравнение обращается в тождество, представляет собой энергию некоторого состояния, а соответствующая волновая функция описывает стационарное состояние с этой энергией.
Используем аналогию, чтобы понять, как работает метод Шрёдингера. Представьте, что вы — банкир, живущий в стране, где в обращении много фальшивых купюр. Вы сконструировали сканер, который определяет подлинность купюры по номеру в одном из ее углов. Если на купюре этого числа нет, то она объявляется фальшивой. Если же сканер обнаруживает этот номер на купюре, то загорается индикатор со значением ее истинной стоимости, и купюра помещается в одну из нескольких стопок, в зависимости от номинала. А теперь представьте себе оператор Гамильтона как сканер, который обрабатывает волновые функции и в некоторых случаях считывает их энергию и сохраняет эти состояния, в то время как в других случаях он их утилизирует. Математические термины для результатов такого процесса сортировки — собственные значения и собственные функции (или собственные состояния). Применение оператора Гамильтона к собственной функции (волновой функции стационарного состояния) дает собственное значение (энергию), умноженную на эту собственную функцию.
Первым делом Шрёдингер, разумеется, решил рассчитать при помощи нового метода атом водорода. Он заметил, что электрическое поле атомного ядра одинаково во всех направлениях. Из этого следует, что задача должна обладать сферической симметрией. Используя эту симметрию, Шрёдингер получил семейство решений, которые могли быть заданы тремя различными квантовыми числами — в точности теми же числами, которые предложили Бор и Зоммерфельд. К его восторгу, новая формула, которая приводится во всех современных учебниках физики как уравнение Шрёдингера, давала правильный результат, чудесным образом воспроизводя модель атома Бора — Зоммерфельда.
В январе 1926 года Шрёдингер закончил первую статью на эту тему. Она называлась «Квантование как задача о собственных значениях». Совершение такого значительного прорыва всего лишь за пару месяцев было практически беспрецедентным подвигом. Он отправил статью Зоммерфельду, который был потрясен его блестящим достижением. Зоммерфельд ответил, что статья стала для него «громом среди ясного неба»{62}.
Шрёдингер с огромным уважением относился к Планку и Эйнштейну и с нетерпением ждал их реакции. К счастью, отзывы были в основном положительными. Как вспоминала Энни, «Планк и Эйнштейн преисполнились энтузиазма с самого начала… Планк сказал: “Я смотрю на это, как ребенок, озадаченный головоломкой”»{63}.
Шрёдингер поблагодарил Эйнштейна в личном письме: «Ваше с Планком одобрение для меня ценнее, чем половина мира. Кроме того, это уравнение… возможно, никогда бы не появилось (по крайней мере, я бы его не открыл), если бы ваша работа не сделала для меня очевидной важность идей де Бройля»{64}.
