Лейбниц объяснял использование бесконечно малых подобно своим предшественникам: «Выбираются столь большие или столь малые величины, чтобы ошибка была меньше данной, так что различия с методом Архимеда заключаются лишь в способе записи, но наш метод более соответствует духу изобретательства». Лейбниц попал в самую точку: в то время ученых больше интересовали открытия, а не доказательства.
ЭДМУНД ГАЛЛЕЙ, НЕВЕРУЮЩИЙ
Книга Беркли «Аналитик» имела подзаголовок: «Трактат, адресованный неверующему математику». Этим «неверующим математиком», скорее всего, был астроном Эдмунд Галлей, который всегда славился атеистическими взглядами и как-то заставил больного отказаться от посещения епископа Беркли, убедив его в непрочности доктрин христианства. В своей книге Беркли хотел показать, что рассуждения анализа бесконечно малых столь же непрочны, как и религиозные догмы. Второй подзаголовок книги звучит так; …где исследуется, является ли предмет, принципы и заключения более отчетливо познаваемыми и с очевидностью выводимыми, чем религиозные таинства и положения веры». Он добавлял: «Извлеки бревно из глаза своего, и сможешь извлечь соринку из глаза брата твоего».
В своей книге Беркли также приводит ряд вопросов, над которыми полагается размышлять. Процитируем некоторые из них: «Вопрос 62. Разве непостижимые тайны не могут с большим правом допускаться в божественной вере, чем в человеческой науке? Вопрос 63. Разве те математики, которые резко выступают против непостижимых тайн, когда-либо критически исследовали собственные принципы?»
«Призраки исчезнувших величин»
Несмотря на огромный шаг вперед, который позволил совершить анализ бесконечно малых Ньютона и Лейбница, критика в адрес недостаточной прочности его основ была обоснованной.
Наиболее ярым критиком был английский епископ и философ Джордж Беркли. В 1734 году он опубликовал книгу под названием «Аналитик», где в критическом духе были рассмотрены основные идеи анализа с целью продемонстрировать их недостаточную логичность.
Так, Беркли заявил, что вывод формулы для вычисления производной произведения, приведенный Ньютоном в «Началах» (см. главу 3), был ошибочным. Приведя доказательство Ньютона, Беркли пишет: «Однако очевидно, что для получения момента или приращения прямоугольника АВ прямым и истинным методом необходимо взять стороны такими, какими они получились в результате увеличения их на полные приращения, и затем перемножить их (А + а) x (В + b), а полученное произведение (АВ + аВ + bА + ab) и есть увеличенный прямоугольник. Отсюда, если мы вычтем АВ, остаток (aВ + bА + ab) и будет истинным приращением прямоугольника, превышающим тот, который был получен предыдущим незаконным и непрямым методом, на величину ab. И это справедливо в любом случае, какими бы ни были величины а и b — большими или малыми, конечными или бесконечно малыми, приращениями, моментами или скоростями».
Говоря о методе вычисления флюксий с помощью исчезающих величин, он пишет: «Правда, надо признать, что он использовал флюксии подобно лесам при строительстве здания, которые нужно было отбросить в сторону или от которых нужно было избавиться, когда уже было найдено, что конечные линии пропорциональны этим флюксиям. Но ведь эти конечные показатели определяются с помощью флюксий. Поэтому все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, необходимо отнести за счет флюксий, которые, следовательно, предварительно надо понять. А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений. А что такое эти самые исчезающие приращения? Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули. Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?»
Эйлер и анализ бесконечно малых
Если Ньютон и Лейбниц считаются создателями дифференциального и интегрального исчисления, то Эйлера можно назвать создателем математического анализа — области математики, куда входят оба эти раздела. В этом смысле его книги «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Наставление по дифференциальному исчислению» (1755) и «Интегральное исчисление» (1768—1770) сыграли ключевую роль в оформлении структуры этой новой дисциплины.
Трактат «Введение в анализ бесконечно малых» стал для математического анализа тем же, что «Начала» Евклида для геометрии. В этом трактате Эйлер указывает, что функция является основным предметом изучения в анализе, систематизирует работы предшественников об элементарных функциях, изучает их, не прибегая к дифференциальному или интегральному исчислению, однако обильно использует бесконечно большие и бесконечно малые величины (см. приложение). Он также всеми возможными способами старается избежать геометрических рассуждений и чертежей, отдавая предпочтение аналитике и формулам. Структуру дифференциального исчисления он изложил во второй книге трилогии.
Хотя Эйлер был последователем Лейбница, в «Наставлении по дифференциальному исчислению» он понимает дифференциал как разницу, однако вносит изменения в исчисление Лейбница. С учетом поправок Эйлера понятие дифференциала приближается к понятию ньютоновской «исчезающей величины».
Извечные сомнения, касающиеся бесконечно малых, Эйлер развеял так. По его мнению, важнее было не то, что такое бесконечно малые величины, а то, как они себя ведут. В этом смысле для Эйлера бесконечно малые были равны нулю или в итоге приравнивались к нулю; важнее то, что эти величины могут делиться друг на друга. Результат подобного деления, по сути эквивалентного 0/0, может равняться четко определенному конечному числу. Так, дифференциалы dx, dy играют главную роль при определении значения дроби dy/dx.. Исчисление описывает, как вычислить эту дробь, когда приращения «исчезают». В «Наставлении по дифференциальному исчислению» Эйлер описывает «метод определения пропорции исчезающих приращений, которые получают функции, когда аргументы функции получают одно из таких приращений». Иными словами, в анализе Эйлера вводится отношение приращений
определяющее производную функции — понятие, которое заменило дифференциалы dx, dy, занимающие почетное место в исчислении Лейбница. Внесенные Эйлером изменения приблизили понятия дифференциального исчисления Лейбница к понятию предела, которое впоследствии использовал Коши.
В последнем труде трилогии Эйлера, «Интегральное исчисление», интегрирование описывается как операция, обратная дифференцированию. Интегрирование по-прежнему соответствовало понятию площади, но потеряло независимый характер, который отстаивал Лейбниц, что помогло Коши при введении понятия определенного интеграла.
ЭЙЛЕР ВЕЛИКИЙ
Эйлер был одним из величайших математиков всех времен и, вне всяких сомнений, лучшим математиком XVIII века. Он родился в 1707 году в Базеле, окончил местный университет, брал частные уроки у Иоганна Бернулли, одного из учеников Лейбница.
В 1727 году он переехал в Санкт-Петербург, был членом Петербургской академии наук с 1731 по 1741 год, затем переехал в Пруссию и был избран членом Берлинской академии наук. Несмотря на непростые отношения с прусским королем Фридрихом II, он прожил в Берлине 25 лет, после чего вернулся в Санкт-Петербург, где умер в 1783 году.
Портрет Леонарда Эйлера кисти Иоганна Георга Брюкнера.Д’Аламбер, Лагранж и Карл Маркс
Шел XVIII век, и Д’Аламбер, который обладал намного большим авторитетом в математике, чем Беркли, критически отнесся к понятию бесконечно малых: «Величина есть нечто или ничто; если она — нечто, то она еще не исчезла, если она ничто, то она исчезла в буквальном смысле. Предположение о том, что существует промежуточное состояние между этими двумя, есть химера».
Д’Аламбер во французской Энциклопедии дает примитивное определение предела, на которое Коши опирался при разработке фундамента математического анализа: «Одна величина называется пределом второй, если вторая может приблизиться к первой настолько, что будет отличаться от нее менее, чем на любую данную величину, но никогда не будет совпадать с ней». В своей статье о дифференциалах для этой же энциклопедии Д’Аламбер указал путь к четкому определению исчисления: «Ньютон использовал другой принцип, и можно сказать, что метафизика этого великого математика об исчислении флюксий очень точна и ясна, несмотря на то что допускает несовершенное толкование его мыслей. Я никогда не рассматривал дифференциальное исчисление как изучение бесконечно малых величин, но как метод первых и последних рассуждений, или, что есть одно и то же, метод нахождения пределов рассуждениям. Кто-то может счесть, что допущение бесконечно малых величин необходимо лишь для сокращения и упрощения рассуждений, но дифференциальное исчисление необязательно предполагает существование подобных величин. Более того, это исчисление заключается лишь в алгебраическом определении пределов рассуждения».
