Число и счет в действительности предполагали и предполагают в качестве своих реальных предпосылок ряд представлений, до понимания коих математика (как и «все науки») докопалась лишь «задним числом». Здесь идет речь как раз об общих предпосылках и того, и другого. О тех понятиях, которые должны быть развиты (и усвоены) раньше, чем число и счет. Потому, что они имеют более общий характер, и потому – логически более просты.
Если же говорить о тех математических «знаках», с помощью которых эти наиболее общие и простые понятия фиксируются, то это не цифры, а скорее те знаки, которые давным-давно использует алгебра. [50]
Это – знаки равенства, неравенства. Знак «больше» (>), знак «меньше» (<). И все эти знаки обозначают отношения величин. Именно «величин» – то есть любых величин, неважно каких в частности, выраженных числом или не выраженных, пространственно-геометрических или временных. Отношения величин вообще.
Само собой понятно, что представление о «величине» и в истории мышления появилось у людей раньше, чем умение точно измерять эти величины тем или иным способом и выражать их «числом».
Умение выделять из всего многообразия чувственно-воспринимаемых качеств вещей специально лишь одно, а именно – их «величину». А затем – умение сравнивать эти «величины» или вещи только как величины. Судить – равны они или нет. Судить, какая из них «больше» или «ближе», какая «меньше» или «дальше» – в пространстве или во времени.
А уж затем, когда обнаружилось, что суждения такого рода слишком «общи», слишком неполны (= «абстрактны»), чтобы действовать в мире на их основе, стал возникать вопрос, а на сколько именно «больше» («меньше»). И только здесь, собственно, возникла и потребность в «числе» и «счете», и сами «число» и «счет».
По той причине, что без них, без этих более конкретных (сложных, развитых) понятий о количестве, уже нельзя было бы решить более сложных и конкретных предметно-практических задач, связанных с отражением количественной определенности окружающего мира...
Человек «изобрел» число вовсе не путем «абстрагирования» от всех и всяких «качеств», не благодаря тому, что научился «не обращать внимания» на разницу камня и мяса, палки и огня. Как раз наоборот – в «числе» и «счете» он нашел средство более глубокого и конкретного выражения именно качественной (самой важной и первой) определенности.
Число «понадобилось» человеку там и только там, где жизнь поставила его перед необходимостью сказать другому человеку (или самому себе) – не просто «больше» («меньше»), а насколько больше (меньше).
Это предполагает более высокий и развитый способ отношения человека к вещам окружающего мира, нежели [51] тот, на почве которого он научился различать «величины» лишь примерно, приблизительно – абстрактно.
Число предполагает меру как более сложную, чем «качество» и «количество», категорию, которая позволяет отражать количественную сторону выделенного качества точнее (конкретнее), чем прежде. И точно фиксировать это более конкретное представление с помощью цифр, а не просто словечек «больше», «меньше», «равно», «неравно».
От общего, диффузно-нерасчлененного представления о «количестве» он шел к более совершенному, точному, то есть конкретному представлению о том же количестве – к «числу». И пришел.
И поэтому «число» для него имело с самого начала вполне конкретный, то есть предметно-практический, смысл и значение. Это и было действительное понятие числа, хотя еще и не проанализированное теоретически ни одним профессионалом-математиком. Это случилось лишь гораздо позже – тогда, когда началось уже не только математическое мышление, а и его теоретическое «самосознание». Вначале – превратно-мистическое, как у пифагорейцев. А до подлинного теоретического понимания числа математика добралась лишь многие тысячелетия спустя.
Вот с этого-то подлинного начала и в этой подлинной исторической последовательности, которую математика как наука открыла лишь «задним числом», и следует, по-видимому, начинать логическое развитие ума ребенка в области математики.
С того, что сначала нужно научить его ориентироваться самым общим и абстрактным образом в плане количества и овладеть самыми общими и абстрактными отношениями вещей как «величин». И записывать эти отношения на бумаге с помощью знаков «больше», «меньше», «равно», «неравно».
Но ориентироваться в плане количества ребенок обучается при этом вовсе не путем «абстрактных рассуждений», а на самых что ни на есть реальных и понятных ему ситуациях. На «уравнивании» палочек, на «комплектовании» винтиков с гайками, коробок с карандашами и т.д. Для ребенка это – понятно и интересно.
Для ума ребенка это – тренировка умения самостоятельно выделять количественно-математический аспект реальных вещей окружающего его многокачественного мира. [52] А не по-попугайски повторять слово «один», когда ему в нос суют единичную чувственно-воспринимаемую «вещь», или слово «два», когда ему суют в нос две таких вещи.
Благодаря этому ребенок уже не ответит бездумно на абстрактно-провокационный вопрос – «сколько?», когда ему покажут одну (две, три и т.д.) единичную чувственно-воспринимаемую вещь, словом «одна», «две» и т.д. Он предварительно осведомится – «а чего сколько?»
А это – показатель, что он уже здесь – в случае числа – мыслит конкретно. А не как рыночная торговка, бездумно навешивающая ярлык словесно-зафиксированной абстракции на конкретную вещь и думающая, что тем самым «понимание» этой вещи – исчерпано...
Если ему отвечают на его законный вопрос: «я спрашиваю, сколько здесь вещей...», – он уверенно и точно ответит: «одна».
Если же ему уточнят: «сколько сантиметров?», – он ответит «два», «примерно два», или же скажет: «нужно измерить». Он понимает, что выражение через число (цифру) предполагает измерение, меру...
Здесь воспитано разом два важных признака «ума»: во-первых, умение правильно относиться к вопросу («сколько?») и умение самому задавать вопрос, уточняющий задачу настолько конкретно, чтобы стал возможен точный и однозначный ответ («сколько чего?»). И во-вторых, умение правильно соотносить числовой знак с реальностью в ее математическом аспекте.
Здесь ум ребенка идет не от наглядных частностей – к абстрактно общему, так как это совершенно неестественный и бесплодный в науке путь, а от действительно всеобщего (абстрактного) к обнимаемому им многообразию частностей (то есть к конкретному) {12}.
Ибо так развивается и сама наука, усваивающая в свете исходных принципов все новые и новые «частности». А не наоборот, не уходящая от «частностей» в заоблачные выси тощих абстракций...
Здесь мышление движется все время в чувственно-предметном (а потому и в «наглядном») материале, движется по фактам, ни на миг не обрывая связи с ним. [53]
Так ребенок осваивает самую чувственно-предметную действительность математических понятий, а не ее плохой заменитель-эрзац, не «наглядные примеры» готовых и непонятных для него абстракций. У него развивается математическое мышление. В него не нужно вдалбливать груды абстрактных словечек, рецептов, штампованных схем и рецептов «типовых решений», которые он потом никак не может «применить». Поэтому для него вообще не встает потом нелепейшая задача – а как же «применить» усвоенные (то есть задолбленные) общие знания к жизни, к реальной действительности. Это общее знание для него с самого начала и есть не что иное, как сама действительность, отраженная в ее существенных чертах, то есть в понятиях. В понятиях он усваивает именно действительность, отражаемую ими. А не «абстракции», которые он потом никак не может соотнести с «действительностью».
Тот читатель-педагог, который надеялся найти в этой статье готовый, детально разработанный рецепт-ответ на вопрос «как учить мыслить?», будет, наверное, разочарован: все это, мол, слишком общо, даже если и верно...
Совершенно справедливо. Никаких готовых рецептов или «алгоритмов» философия на этот счет предложить педагогу не может. Чтобы довести высказанные принципы до такой степени конкретности, в какой они стали бы непосредственно приложимыми к повседневной педагогической практике, нужно затратить еще много усилий. Кооперированных усилий и философов-логиков, и психологов, и специалистов-математиков, и специалистов-историков, и, конечно же, самих педагогов.
Каждый, кто хочет учить мыслить, должен уметь мыслить сам. Нельзя научить другого делать то, чего сам не умеешь делать...
Никакая дидактика не научит учить мыслить равнодушного человека-машину, педагога, привыкшего работать по шаблону, по штампу, по жестко запрограммированному в его голове алгоритму. Каждый педагог должен уметь применять к своему конкретному делу общетеоретические – в частности, общефилософские – принципы, и не ждать, что кто-то другой сделает это за него и преподнесет ему готовую рецептуру, избавляющую от собственного умственного труда, от необходимости мыслить прежде всего самому. Даже самая лучшая, самая разработанная [54] дидактика не избавит педагога от этой необходимости. Все равно, какой бы конкретной и детальной она ни была, – между ее общими положениями и индивидуально-неповторимыми педагогическими ситуациями сохранится зазор, промежуток. И преодолеть этот зазор (между «всеобщим» и «единичным») сможет только диалектически мыслящий педагог, человек с развитой «силой суждения».
