Если говорить о топологическом пространстве, то последняя сверху матрешка может быть сколь угодно большой в формальной последовательности: Х, Р(Х), Р(Р(Х)), Р(Р(Р(Х)))… Но обычно математики ограничивают свои интересы лишь несколькими языковыми уровнями. Ведь математика изучает не то, из чего могли бы состоять эти языковые уровни (молекул, камней или звезд), а их взаимоотношения друг с другом. Если вы знаете, как первая матрешка вкладывается во вторую, а вторая – в третью, вам уже не нужно выяснять, как 33 матрешка вкладывается в 34. Важно то, что последним снизу является пустое множество О.
Если говорить о физическом мире, то последней сверху матрешкой оказывается глобальный горизонт Вселенной. Последней матрешкой снизу является вакуум. Опираясь интуитивно именно на это свойство нашего мышления и тождественного ему бытия Демокрит за две тысячи лет до появления простейших микроскопов Левенгука заявил, что вещество состоит из неделимых атомов (квантов) и пустоты (вакуума). Иначе говоря, на вопрос: «Из чего выросло это дерево?», - некий глубокомысленный волхв с Востока должен ответить, минуя всю эволюционную цепь от дерева до семени, от семени до клетки, от клетки до атома, от атома до вакуума и от вакуума до Дао, так: «Из того, что даже назвать нельзя, но которое принимает для нас статус ничто».
В историческом плане теорема Геделя о неполноте формальных систем не подтвердила тезис Черча и поставила крест на мечте Луллия об открытии механистическим путем всех «божественных истин». Впрочем, следует сразу сказать, что этот результат имеет скорее теоретическое значение, чем практическое, поскольку касается очень специального, пограничного случая, внутри которого ничто не мешает развитию кибернетики, т.е. искусственного интеллекта. Он лишь выражает догадку о принципиальном препятствии тому, чтобы этот искусственный интеллект, сколь бы ни был он эффективен в логико-механистических процессах, не способен обрести то качество, которое отличает нас от любой сверхсложной и успешной машины, - самосознание, позволяющее мозгу воспринимать себя как автономную личность. Выражаясь образно, никакая машина не способна узнать себя в зеркале, испытав прилив нежности или отвращения к этому единственному из миллионов подобных облику, и сказать: «Я – лжец!». Но именно абстрактная ценность этой теоремы и является предметом нашего рассмотрения. Гедель, сам того, вероятно, не сознавая, выразил фундаментальный принцип, который отличает западный панлогизм от восточного мистицизма, хотя весь этот «мистицизм» есть в действительности лишь выражение интуитивной и совершенно рациональной догадки о том, что самосознание и тождественный ему мир не полны.
Согласно результату Геделя, невозможно вывести даже все истины, ограниченные арифметикой. Этот результат получен им в три этапа.
1. Всякая формальная теория Th начинается с языка, а язык – с алфавита (элементов или точек). Простая комбинаторика позволяет получать из этого алфавита любые сочетания символов (подмножества или объекты пространства), но очевидно, что большинство из них будут бессмысленными выражениями. Поэтому на первом этапе необходим синтаксический алгоритм, отсеивающий правильные формулы вида «Мама мыла раму» от бессмысленных вроде «Амла мара мыму».
2. На втором этапе все правильные формулы должны разделиться на истинные и ложные. Но поскольку понятие истины является интуитивным и к тому же зависит от нашей субъективной диспозиции, то оно заменяется понятием непротиворечивости в рамках набора аксиом, которые признаются… ну, если не истинными, то, по крайней мере, очевидными (как, например, аксиомы Евклида) или эффективно работающими (как неевклидова геометрия). А далее к этим аксиомам применяется формальная логика с ее правилами вывода (modus ponens и т.д.). Теория Th является непротиворечивой, если в ней невозможно вывести как формулу А, так и ее отрицание не-А.
3. Затем Геделю понадобилась процедура нумерации всех выводимых в теории (на базе аксиом Пеано) формул, чтобы приписать каждой из них индивидуальное имя-номер, поскольку цель всей этой работы заключалась именно в том, чтобы получить абракадабру – формулу, которая говорила бы что-то о своем собственном номере, т.е. о себе самой. С помощью громоздкой системы нумерации символов, используя замечательные свойства простых чисел, чтобы обеспечить каждой формуле единственный номер, ему это удалось. Это значило, что формализация арифметики теперь проводится средствами самой же арифметики, как если бы шахматные фигуры начали сами играть в шахматы собою же, став «непредикативными объектами». Нечто подобное происходит и в квантовой физике, где экспериментатор сам становится непредикативным объектом как часть эксперимента, поскольку должен наблюдать не столько частицу, сколько свое взаимодействие с частицей, описывая состояние такой системы в терминах вероятности. В этом смысле квантовую механику можно назвать непредикативной механикой. И поэтому совершенно естественно то, что в физике возникла собственная дилемма между «реализмом» и «номинализмом».
В полученной нумерации Геделя теперь некая непредикативная формула А в заданной интерпретации номеров означала «не существует вывода формулы A», то есть утверждала свою собственную невыводимость в Th. Получился парадокс лжеца: если А выводима, то Th лжет. Если же Th говорит правду, то ей нельзя верить. Следовательно, по теореме Геделя: если формальная арифметика Th непротиворечива, то в ней не выводима формула, содержательно подтверждающая непротиворечивость Th. Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой арифметики. А если говорить еще шире: никакая супертеория не является самодостаточной.
Теореме Геделя о неполноте формальных систем можно придать и более простую интерпретацию. Всякая дедуктивная (не обязательно формальная) теория Th основывается на аксиомах (даже если мы не выявили их для себя и не догадываемся об этом). Обозначим их как Ах. Эти аксиомы являются, несомненно, истинными для данной теории, которая образует множество окрестностей этих аксиом (ультрафильтр). Ведь с них все и началось. Так, например, школьная геометрия вытекает из аксиом Евклида. Поэтому имеет место «причинный» порядок, при котором Ах лежит в основании Th:
Ax < Th или inf Th = Ax
Но ни одна из этих истинных аксиом не может быть выведена в теории, т.е. создать обратную ситуацию (в которой телега ставится впереди лошади):
Th < Ax
А если эта аксиома выводима, то является лишь следствием другой аксиомы, на которую просто перекладывается вся ответственность. Не выводимо, естественно, и ее отрицание, ибо тогда теория оказалась бы противоречивой. В наших обозначениях полнота непротиворечивой (истинной) теории Th должна была бы выглядеть так:
Ax < Th < Ax
Но это и есть абракадабра – змея, которая поедает самую себя.
Теореме Геделя можно придать и топологическую интерпретацию. Всякий язык, как мы уже говорили, начинается с алфавита. Эти буквы принято считать неделимыми элементами. Будем считать буквы точками пространства, а формулы как сочетания букв множествами точек. Теория, оперирующая этими формулами, есть некая топологическая структура. Дополнение этого пространства Т (его отрицание не-Т) пусто, т.е. оно есть пустое множество О. Но именно оно и лежит в основании пространства, т.к. все точки (буквы) являются его оболочками. Поскольку все такие буквы х мы считаем несомненно существующими (иначе о чем вообще идет разговор?), то имеет место Е(х). Это справедливо и для всех формул (множеств) Х: Е(Х). Но пустое множество как дополнение всего пространства не должно существовать точно так же как буквы и формулы. Это пустое множество и есть бытие небытия: Е(не-Е).
Все, что нами мыслится, уже изначально существует для нас, именно потому, что оно уже есть объект мышления (дхарма). Всякий язык предполагает существующим все, что может быть в нем выражено. Всякая научная (логическая) теория есть по сути ограничение этого первоначального языкового существования некоторым подходящим, непротиворечивым образом. Знание не есть расширение невежества, как принято думать, знание есть ограничение всезнайства. Ложь тоже существует, но только знание помогает отделить ее от истины. Крах западного панлогизма, о котором восточная философия знала издревле, можно выразить в следующем утверждении:
