Начнем со стрелы времени или с Гераклитовой реки, в которую невозможно войти дважды. Река в таком упоминании – это всегда детерминированный процесс или причинное множество (causal set), которое с некоторых пор стало использоваться в квантовой физике. Это множество интуитивно определяется как дискретное (разрывное) и частично упорядоченное. Дискретным оно должно быть просто потому, что причинное событие должно быть отличимым во времени от следственного события. Порядок необходим, поскольку в любом фрагменте реальности или в любой произвольной физической системе, вплоть до Вселенной, все события причинно упорядочены во времени. Ничто не происходит само по себе и все имеет последствия. Частичность такого порядка вытекает из того факта, что два произвольных события (как, например, мое и ваше рождение) никак не связаны друг с другом, хотя с точки зрения Большого взрыва у всех событий во Вселенной есть одна первичная причина – сам Большой взрыв, возникший из сингулярности – особой точки, в которую была сжата Вселенная вне пространства и времени.
В данном случае для нас важно то, что Вселенная как причинное множество является алгебраическим ультрафильтром над сингулярностью. В пространстве Минковского этот ультрафильтр является световым конусом.
Хорошим визуальным аналогом ультрафильтра можно считать обычное дерево, ствол которого распадается на ветви, ветви на пруты, пруты на листья, черенки которых подобны стволу дерева и опять распадаются на части, образуя структуру листа. Если мы прокрутим во времени историю семени, из которого выросло это дерево, то этот процесс будет причинным множеством. В этом смысле ультрафильтр – это «застывшее» причинное множество.
Математический ультрафильтр V над множеством Х – это частично упорядоченное множество, как и причинное множество, которым мы считаем нашу реальность. Образно говоря, любые два фрагмента дерева (реальности) имеют общую корневую систему, а каждый его фрагмент сложен последовательно: из ствола не вылезает лист, на котором торчит ветка. Замечательным свойством ультрафильтра является то, что он не может по определению содержать пустое множество (на котором, кстати сказать, «не работает» аксиома выбора). Топологически это выражается в том, что ультрафильтр – это всегда множество окрестностей некоторой точки a из множества Х (множество следствий одной причины). А множеством окрестностей ничто может быть что угодно, а не только подмножества этого конкретного Х.
Следует еще добавить, что всякий ультрафильтр является по природе «собственным булеаном» (в уже упомянутой алгебре Буля). Булеан Р(Х) множества Х – это множество всех его подмножеств или топологическое пространство над Х. Интуитивно это можно объяснить так: ультрафильтр V(a) над Х, состоящий только из подмножеств Х, содержащих a (его окрестностей), а не всех подмножеств из Х, является структурой, порожденной этим элементом. Можно сказать, что V(a) содержит все «истинные» для а множества и не содержит ни одного «ложного», в котором этому элементу нет места. Очевидно, наша Вселенная как множество окрестностей (собственный булеан) сингулярности есть «истинная» для нас, и мы не можем жить в «ложной» Вселенной. Это возвращает нас к той связи, которую мы предполагаем между логикой и физической причинностью, истиной и существованием (экзистенцией).
Так дерево можно считать множеством причинных (истинных) окрестностей того семени, из которого оно выросло в световом конусе пространства-времени.
Мы выразим этот факт записью:
семя < дерево,
подразумевая под математическим отношением «меньше» причинный порядок. Таким образом выражение вида «a < b» в дальнейшем будет означать для нас: «а есть причина b» или «а лежит в основании b». Этому есть простая математическая аналогия – нижняя граница (инфимум). Событие, которое является физической причиной другого события, в математическом смысле является его наибольшей языковой границей (ниже которой, разумеется, могут находиться все новые и новые меньшие границы). Заметим, что такая интерпретация знака < не противоречит его обычному смыслу, но скорее расширяет его. Так, например, математическое утверждение «0 < n», означающее, что нуль меньше любого натурального числа, в нашем понимании подразумевает еще и то, что нуль лежит в основании всех чисел. Именно поэтому мы теперь можем вывести такую формулу:
сингулярность < Вселенная или inf Вселенная = сингулярность
Точно так же для ультрафильтра V(a), который является множеством окрестностей точки а, мы пишем: a < V(a). И эта точка не может быть такой фикцией как пустое множество. В стандартной теории множеств Цермело-Френкеля (ZF) пустое множество O определяется как множество, которое не имеет элементов. Это - естественное для математики и логики конструктивное определение объекта. Но мы пойдем глубже и попробуем интерпретировать пустое множество через такое фундаментальное для всей науки понятие как «существование». И тогда естественным будет определить пустое множество как экзистенциальное ничто. Существует ли ничто?
Допустим, что Е – это квантор существования. Выражение Е(х) означает утверждение: «х существует». В формулировке ZF пустое множество О вводится как раз через квантор существования: «существует х для всех множеств Х такое, что Х не принадлежит х». Наче говоря, ни одно множество не может лежать в основании пустого множества. Заменим предикат принадлежности нашим отношением причинности < и запишем:
О = Е(х) (X не < х)
Так определяется пустое множество в математике. Будем считать, что переменной х может быть любой мыслимый нами объект, никак не ограничивая нашу фантазию. Тогда тот факт, что не существует х для некоторого условия Рr мы должны выразить как не-Е(х)Рr(х). Пусть в качестве Pr выступает само условие мыслимости, а в качестве х выступает сам квантор существования Е (ведь мы его мыслим). Определим ничто как отрицание этого квантора не-Е. Делая его объектом нашего рассмотрения, мы признаем его существующим. Формально это должно значить, что
O = Е(не-Е),
т.е. то, что математики называют пустым множеством на уровне языка, которым мы мыслим, есть бытие небытия. В современной логике объекты, которые определяют сами себя, называются «непредикативными». Исторически самым первым из известных нам непредикативных определений является «парадокс лжеца» Эпименида. Этот философ высказал его так: «Все критяне – лжецы», но ввиду того, что он сам был жителем Крита, ложью следовало считать и это его утверждение. Если его словам нельзя было верить, то он клеветал и на самого себя и в действительности мог говорить правду. Однако правда в его устах заключалась в том, что он лжец.
Определение пустого множества через отрицание квантора существования как «бытие небытия» так же является непредикативным в нашем языке. Мы злоупотребляем этим языком, когда говорим в некоторых ситуациях, что ничего не слышим и ничего не видим. По крайней мере мы видим пустоту и слышим тишину. Ничто – это уже нечто, некий объект нашего самосознания. Ничто есть бытие небытия для нас. Говоря о ничто, мы не выходим за пределы языка. Если бы оно было абсолютным небытием, мы не могли бы даже помыслить его.
В теории множеств существует так называемая «аксиома выбора», вызывающая споры среди математиков. Эта аксиома в самой общей форме гласит: выбор возможен, если есть из чего выбирать. Ее можно сформулировать и от обратного: выбор невозможен только тогда, когда выбирать не из чего. Наша ментальная аксиома выбора существенно сильнее ее логической (машинной) формы, поскольку делает абсурдное добавление к этой формулировке: если выбрать нечего, выбирается ничто.
Так, если вы участвуете в соревнованиях по стрельбе, то засчитываются по машинной логике только те выстрелы, которые попали в мишень. Но для самосознание отсутствие результата – тоже результат. В этом смысле любой выстрел куда-то попадает. Мы не способны промахнуться. Величайшим фокусником в нашем мире оказался бы тот, кто смог бы выстрелить и не попасть при этом даже в «никуда». По психологическим законам аксиома выбора всегда справедлива и логически абсурдна: не выбирая ничего, вы все равно совершаете выбор – выбираете ничто.
