1. Умея вычислять площадь треугольника, ребенок понимает, что все треугольники с одинаковыми основаниями и высотами равны по площади.
Для осознания этой теоремы мы приготовили специальный материал. Равные по площади ромб и прямоугольник. Каждая фигура разделена на два равных треугольника. Эти треугольники разные по форме, но равные по площади. Равенство их оснований и высот можно проверить и измерениями, и наложением фигур. Равенство площади треугольников очевидно, ибо эти треугольники представляют половины равных по площади фигур. (Равенство ромба и прямоугольника уже было доказано и проверено.)
2. Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного тре
угольника равен сумме квадратов двух катетов.
1) два катета равны между собой;
2) катеты относятся друг к другу как 3:4;
3) общий случай.
1) Два катета равны между собой. На рамке — прямоугольный равнобедренный треугольник. Каждая сторона треугольника одновременно является стороной квадрата. Квадраты катетов по диагонали поделены на два треугольника каждый. Квадрат гипотенузы двумя диагоналями разделен на 4 треугольника. Получается всего 8 треугольников совершенно одинаковых. Треугольники катетов могут быть уложены в квадрат гипотенузы и наоборот. Эти перемещения увлекают детей, особенно если учесть, что треугольники квадратов катетов выкрашены в один цвет, а 4 треугольника квадрата гипотенузы — в другой.
2) Катеты относятся друг к другу как 3: 4. Квадраты сторон треугольника делятся не на треугольники, как в первом материале, а на квадраты. Квадрат первого (меньшего) катета поделен на 9 квадратиков (3 в квадрате) одного цвета, квадрат второго катета разделен на 16 (4 в квадрате) квадратиков другого цвета, квадрат гипотенузы разделен на 25 (5 в квадрате) квадратиков третьего цвета. Игра с перемещениями очевидна. Квадраты двух катетов могут быть заполнены квадратиками из квадрата гипотенузы. А квадрат гипотенузы можно красиво выложить разноцветными квадратиками квадратов катетов.
3) Общий случай. Рамка вкладышей — это большой прямоугольник размером 44x24 см. Ее можно сравнить с шахматной доской, где перемещаемые фигурки создают самые разные комбинации.
Понимание теоремы строится на нескольких уже освоенных принципах. Во-первых, два четырехугольника с одинаковым основанием и высотой равны по площади. Во-вторых, две фигуры, равные по площади третьей, равны по площади между собой.
Квадрат гипотенузы в данном материале разделен на два прямоугольника. Разделительная линия начинается в той точке, куда падает высота треугольника, опущенная из противолежащего угла. Кроме того, среди вкладышей есть два ромбоида. У одного сторона равна стороне квадрата большего катета, у второго — стороне квадрата меньшего катета. И у каждого ромбоида вторая сторона равна стороне квадрата гипотенузы. Меньшая высота этих ромбоидов равна высоте прямоугольников (части квадрата гипотенузы), большая высота равна сторонам квадратов катетов. Ребенку не обязательно заранее знать все эти соотношения величин. Он видит фигуры-вкладыши, красные и желтые, и просто перекладывает их, размещая в ячейках рамки. Кроме ячеек треугольной и квадратной формы (3 квадрата у каждой стороны треугольника) на той же рамке есть прямоугольные углубления для понимания соотношения высот и сторон ромбоидов. Материальное размещение подвижных фигурок на белом пространстве дает ученику возможность понять суть теоремы. Это не абстрактное заучивание соотношения величин, а простое и очень интересное упражнение.
Тот же материал может быть использован и для других целей.
Замена фигур
Возьмем вкладыши для изучения теоремы Пифагора, уже размещенные на рамке. Сначала снимем два прямоугольника (части квадрата гипотенузы) и положим их в прямоугольные углубления. Опустив треугольник, положим на пустые места ромбоиды. Сначала это пространство было заполнено треугольником и двумя прямоугольниками, теперь — треугольником и двумя ромбоидами. Итак, сумма двух прямоугольников равна сумме двух ромбоидов. Теперь мы можем продемонстрировать равенство площадей ромбоидов и квадратов катетов. Опять уложим все вкладыши в исходном порядке и обратим внимание на пространство, занятое треугольником и квадратом большего катета. Для этого снимем уложенные в него фигуры и заполним другими:
– снова треугольником и большим квадратом;
– треугольником и большим ромбоидом.
То же можно проделать с пространством, заполненным треугольником и квадратом меньшего катета. Только придется взять меньший ромбоид.
Равенство площадей фигур
Можно убедиться в равенстве площади ромбоидов и соответствующих прямоугольников и квадратов. Для этого фигуры помещаем в боковые прямоугольники на рамке и убеждаемся в равенстве высот фигур. Равенство оснований проверяется их наложением друг на друга. Следовательно, фигуры равны по площади.
Наша геометрическая система включает в себя и другие материалы, но менее значимые.
Четвертая серия вкладышей: деление треугольника.
Четыре одинаковые рамки с одинаковыми углублениями треугольной формы (равносторонними, сторона 10 см) и треугольниками-вкладышами. Один треугольник — цельная фигура. Второй — 2 равных разносторонних прямоугольных треугольника. Они получились разделением равностороннего треугольника линией высоты. Третий треугольник состоит из трех тупоугольных равнобедренных треугольников, получившихся от деления углов биссектриссами. Наконец, четвертый разделен на 4 равносторонних треугольника, подобных большому треугольнику.
Ребенок может измерять углы, научиться отличать прямой угол от острого и тупого. Измеряя все углы треугольника, ученик узнает, что сумма углов треугольника всегда составляет 180°, то есть два прямых угла. Он может заметить, что углы равностороннего треугольника равны (60°). В равнобедренном треугольнике два угла, прилегающие к основанию, равны между собой. В разностороннем треугольнике все углы разные. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°, то есть прямому углу. Ученик может самостоятельно вывести определение: треугольники подобны, если их соответствующие углы равны.
Материал для изучения вписанных и описанных фигур
Этот материал напоминает уже описанный. На белом фоне можно располагать фигуры вписанные или описанные. К примеру, в центре большого равностороннего треугольника расположим маленький красный равносторонний треугольник (четвертая часть большого). Каждая вершина маленького треугольника касается средней точки каждой стороны большого треугольника.
Еще есть квадраты разной величины. В рамках для них сделаны соответствующие белые углубления. Квадрат со стороной 7 см может быть уложен в центр квадрата со стороной 10 см так, чтобы каждая вершина касалась середины каждой стороны. То же можно сделать с квадратами со стороной 7 и 5 см, 5 и 3,5 см.
Есть еще и круги разного диаметра. Их можно накладывать друг на друга, накладывать на них треугольники. Круг с диаметром 10 см вписывается в квадрат со стороной 10 см.
Все эти соотношения делают разноцветные вкладыши чрезвычайно удобными для рисования различных красивых сочетаний.
В этот материал мы включили и звезды, которые обычно служат для декоративного рисования, и цветы, образованные пересечением кругов и полукружий.
Беглое изложение перспектив развития геометрических знаний
Геометрия тел
Приходит момент, когда дети с удовольствием и знанием дела вычисляют площади правильных геометрических фигур. К этому их подготовили упражнения с бусинами, с квадратами и кубами чисел. Теперь им нетрудно научиться высчитывать объем геометрического тела. Тем более полезно после упражнений с кубом чисел (при помощи бусин) узнать, что произведение площади основания на высоту равно объему призмы.
Материал состоит из трех геометрических тел: призмы, пирамиды (ее основание и высота равны основанию и высоте призмы) и призмы, чье основание равно основанию пирамиды, а высота втрое меньше. Фигуры полые. Призмы закрыты крышкой и являются, по существу, коробочками. У пирамиды нет крышки снизу, с ее помощью можно набирать и перекладывать разные субстанции. Мы наполняем тела разными субстанциями (песок или зерна проса) так, чтобы заполнить их целиком и чтобы содержимое оставалось всегда в том же количестве. Это нелегко. Часто вещество насыпают не доверху, получается меньший объем, чем присущ телу на самом деле. Нужно научиться заполнять пустоту так же, как нужно научиться укладывать вещи максимально компактно. Покачивать тело, чтобы утрясти содержимое, разглаживать и приминать поверхность — детям это очень нравится.
