В структуре кинематических цепей в зависимости от общих условий связи, налагаемых на цепь, различаются пять семейств. Семейство, не имеющее никаких общих связей, называется нулевым. Это пространственные механизмы в самом общем виде. Затем следуют механизмы первого семейства, имеющие одну общую связь (пространственные), механизмы второго семейства, имеющие две общие связи (пространственные), механизмы третьего семейства, имеющие три общие связи (сферические пространственные и плоские), механизмы четвертого семейства, имеющие четыре общие связи, в простейшем случае включают только поступательно движущиеся пары.
Наиболее существенно в такой классификации то, что механизмы одного семейства исследуются подобными методами; таким образом, каждое семейство имеет характеристику, отличающую его от других семейств. При образовании кинематических групп различных семейств ученый пользуется единым принципом, названным им методом развития контура. Метод этот заключается в следующем: всякая достаточно развитая группа может состоять из одного или нескольких контуров, образующих каждый в отдельности замкнутую кинематическую цепь, и нескольких незамкнутых цепей, которыми звенья контура могут присоединяться к звеньям первоначального механизма. Незамкнутые цепи, состоящие из одного лишь звена, называются поводками. Цепи, состоящие из нескольких звеньев, называются развитыми поводками или ветвями. Таким образом, основной структурной группой служит замкнутый контур. Последний может быть жестким или может обеспечивать своим звеньям взаимную подвижность. В самом развитом семействе — нулевом — подвижный контур должен содержать не менее семи кинематических пар пятого класса, в первом семействе — не менее шести пар пятого класса и т. д. Поэтому контур, обладающий пятью или четырьмя парами пятого класса, будет в цепях нулевого и первого семейств жестким, а в цепях третьего и четвертого (соответственно) семейств его звенья будут иметь взаимную подвижность.
Была введена следующая классификация контуров: поводок, выступающий как кривошип или ведущее звено, получает условное наименование контура первого класса, трехшарнирное звено называется контуром второго класса, замкнутый шарнирный четырехсторонник получает наименование контура третьего класса, шарнирные пятизвенник и шестизвенник соответственно называются контурами четвертого и пятого классов. Класс контура определяет количество его степеней свободы. Поэтому сочленение контура с поводками должно образовывать группы по определенному закону так, чтобы эти группы имели предписанное число степеней свободы.
Н. Е. Жуковский в отзыве на работу своего ученика Л. В. Ассура указывал, что основной идеей этого труда было рассмотрение трехшарнирных звеньев, прикрепляемых тремя поводками к трем точкам механизма. Тогда прикрепление звена концами поводков к неподвижному «снованию даст жесткую структуру. Эту же идею развивал И. И. Артоболевский при своем построении общей систематики механизмов.
Теперь, чтобы подойти к рассмотрению внутренних подразделений систематики, нам придется включить в изложение некоторые элементарные формулы. Итак, пусть п — число звеньев механизма, a Pg — число кинематических пар пятого класса. Тогда для цепей нулевого семейства с парами только пятого класса существует такое равенство: 6п—5Р5=0, откуда Рб^/вп.
Будем подставлять в эту формулу числа, кратные пяти, чтобы получить ответ в целых числах. Тогда при числе звеньев, равном 5, 10, 15, ..., получим соответственно число кинематических пар, равное 6, 12, 18, ... Первая пара этих цифр соответствует группе второго класса второго порядка. Присоединяя ее концевыми шарнирами к ведущему звену (группе первого класса) и к стойке, получим семизвенный шарнирный пространственный механизм нулевого семейства второго класса второго порядка. Путем замены звеньев и пар пятого класса парами, обладающими большею подвижностью, получим механизмы с меньшим числом звеньев, относимые к тому же семейству классу и порядку.
Механизмы второго класса других семейств образуются совершенно аналогично. Механизмы третьего класса всех семейств, соответствующие второй паре равенств, определяющих группы, уже будут включать в свой состав жесткие контуры.
Рассмотрим более подробно систему плоских механизмов, входящую в третье семейство и носящую название классификации Ассура—Артоболевского. согласно изложенному ведущее звено, входящее в пару со стойкой, образует механизм первого класса. Под этим условным наименованием подразумевается кривошип, способный вращаться в своей плоскости вокруг центра шарнира — кинематической пары пятого класса. Уравнение для групп третьего семейства выглядит так: Зп—2Р5=0, откуда Ps"3^. Здесь числу звеньев, равному 2, 4, 6, 8, ..., соответствует число пар пятого класса, равное 3, 6,9, 12, ... Первой паре этих чисел удовлетворяет двухповодковая группа, с которой начинал свое исследование Ассур. Теперь эта группа получает наименование группы второго класса второго порядка. Вместе с тем все механизмы, образованные наращиванием двухповодковых групп, относятся к тому же классу и порядку. Отсюда следует, что второй класс плоских механизмов имеет в своем составе лишь один порядок.
Как уже говорилось, одна или две вращательные пары могут быть заменены поступательными парами: так образуется пять вариантов двухповодковых групп. Замена всех трех шарниров поступательными парами преобразует группу третьего семейства в механизм четвертого семейства.
Второе сочетание чисел звеньев и пар пятого класса соответствует трехповодковой группе. По числу поводков эта группа называется группой третьего класса третьего порядка, а следовательно, и механизмы, в состав которых входит хотя бы одна такая группа, также относятся к механизмам третьего класса третьего порядка. Развитием поводка в трехшарнирное звено мы получим группу третьего класса четвертого порядка.
Таким образом, новая систематика механизмов полностью не совпадает с начальной систематикой Ассура. В частности, оба его первых класса попадают в третий класс новой классификации Артоболевского. В то же время из первого класса Ассура выделены в особый класс механизмы, образованные наслоениями двухповодковых групп. Сделано это для того чтобы строго выдержать принцип единства методов исследования. Как это, впрочем, выяснил и сам Ассур, методы исследования двух- и трехповодковых групп не идентичны, тогда как простые и сложные нормальные цепи с жесткими звеньями исследуются одними и теми же способами.
Вторая возможная цепь из четырех звеньев и шести пар представляет собой шарнирный четырехзвенник (с одной степенью подвижности), образованный двумя трехшарнирными звеньями, связанными попарно двумя же поводками. Свободные элементы кинематических пар у вершин треугольников служат местами сочленения группы с ведущим звеном и стойкой. Поэтому группа называется группой четвертого класса второго порядка. Механизмы, в состав которых входят замкнутые контуры однократной изменяемости, называются механизмами четвертого класса. Продолжая ту же операцию, мы сможем прийти к механизмам, в составе которых окажутся контуры двухкратной изменяемости (механизмы пятого класса).
Другими словами, класс контура зависит от количества пар, в которые входят образующие его звенья. Класс группы определяется классом наивысшего по классу контура, входящего в ее состав. Порядок же группы определяется количеством элементов кинематических пар, которыми группа присоединяется к основному механизму.
Следовательно, теория структуры механизмов позволяет строить группы любой сложности, которые можно было бы использовать в практике. Естественно, что не все множество получаемых таким образом механизмов может найти себе применение в практическом машиностроении, в особенности это касается групп сложной и очень сложной структуры. Не следует забывать, что, кроме условий правильности структуры, на механизмы налагается и много других условий, которые приходится учитывать в процессе конструирования новых механизмов. Все же рассуждения Артоболевского в этом отношении содержат много поучительного и в значительной степени являются заделом на будущее. Не лишено интереса и то, что генетические структуры и структуры механизмов могут исследоваться при помощи аналогичных математических методов. В сущности, и те и другие являются топологическими задачами, и в решении возникающих при этом проблем смогла бы оказать действенную помощь теория графов. Впрочем, в теории структуры в этом направлении уже выполнен ряд исследований.
Ассур, исследуя математическую сторону поставленных им структурных проблем, неоднократно указывал на их топологическое происхождение, тем более что он строил цепи, совершенно не обращаясь к их количественным характеристикам. Он считал, что изучение сложных шарнирных образований не только само по себе представляет интерес для геометров, но сможет послужить и для дальнейшего развития топологии. Он начал искать сродство поставленных им задач с проблемами топологии, лишь встретившись с необходимостью ввести изучение обходов в цепях второго (по Ассуру!) класса. Тут выявляется особенное значение бесповодковых трехшарнирных звеньев и, следовательно, теряется значение поводков, которыми, собственно, и отличаются нормальные цепи от иных цепей. Отсюда следует вывод, что не только нормальные цепи, но вообще и все цепи укладываются в классификацию нормальных цепей (классификация Ассура остается составной частью систематики Ассура — Артоболевского с некоторыми лишь терминологическими коррективами).
