Ассур, исследуя математическую сторону поставленных им структурных проблем, неоднократно указывал на их топологическое происхождение, тем более что он строил цепи, совершенно не обращаясь к их количественным характеристикам. Он считал, что изучение сложных шарнирных образований не только само по себе представляет интерес для геометров, но сможет послужить и для дальнейшего развития топологии. Он начал искать сродство поставленных им задач с проблемами топологии, лишь встретившись с необходимостью ввести изучение обходов в цепях второго (по Ассуру!) класса. Тут выявляется особенное значение бесповодковых трехшарнирных звеньев и, следовательно, теряется значение поводков, которыми, собственно, и отличаются нормальные цепи от иных цепей. Отсюда следует вывод, что не только нормальные цепи, но вообще и все цепи укладываются в классификацию нормальных цепей (классификация Ассура остается составной частью систематики Ассура — Артоболевского с некоторыми лишь терминологическими коррективами).
Вот это обобщение задачи, обусловленное полным абстрагированием от ее механической сущности, опять приводит Ассура к понятию о цепях как о линейных комплексах. При этом возникает вопрос об обходности узловых точек, и он рекомендует геометрам продолжить и развить это его исследование. Остаются неразрешенными еще,некоторые теоретические вопросы о возможных цепях высших классов и о распадении цепей на простейшие; вопросы эти не поддаются решению принятыми им методами.
Ассур неоднократно возвращается к поставленной им топологической задаче. Здесь он видит не только метод решения интересующего его вопроса, но также и основание для развития математической теории. Правда, его пожелание долго оставалось невыполненным, и лишь через пятьдесят лет после его смерти к исследованию кинематических цепей начали применять теорию графов.
Две рассмотренные системы, предложенные Л. В. Ассуром и его преемником И. И. Артоболевским, не были единственными. Известно еще несколько систем построения структур механизмов, однако, как было показано позднее, в большинстве случаев они не представляют никаких преимуществ по сравнению с описанными системами. В то же время сам Ассур считал, что существуют и такие цепи, которые не укладываются в изложенную систематику. Сущность подобных цепей, как показали исследования советских ученых, заключается в том, что в семействах могут обнаруживаться механизмы с числом общих связей меньшим или большим числа, характерного для данного семейства.
Таким образом, мы всегда можем найти структуру изучаемого нами механизма. Но существует и обратная задача, относительно более важная при создании новых механизмов,—это задача их синтеза. Если в случае анализа механизма мы приходим к одному и только одному решению, то при задаче синтеза, как оказывается, решение многозначно и зависит от многих параметров, которые следует принять во внимание при разработке схемы нового механизма.
Первое, что приходится принять во внимание при создании схемы нового механизма,—это размеры звеньев. Ведь может оказаться, что механизм, построенный в соответствии с законами структуры и соответствующий определенной схеме, просто окажется ограниченным в относительном движении своих звеньев, и его «ведущее звено» не сможет провернуться на полную окружность, если это от него требуется. Поэтому размеры звеньев должны находиться в определенных пределах. Соответствующие математические уравнения называются условиями существования механизма. Так, например, в самых простейших случаях механизма шарнирного четырехзвенника и кривошипно-ползунного механизма ведущее звено—кривошип— должно иметь возможность сделать полный оборот вокруг базисного шарнира. Очевидно, что в первом случае для этого сумма размеров шатуна и звена, противоположного ведущему (коромысло), должна быть больше суммы размеров кривошипа и жестко закрепленного звена. Но это лишь одно из условий; дальнейшее условие накладывается на относительную величину всех звеньев. Во втором случае кривошип должен быть меньше шатуна.
Подобные условия составляются и для всех других замкнутых кинематических цепей, для того чтобы они были механизмами. При этом может оказаться, что замкнутая кинематическая степень имеет не одну, а несколько степеней свободы. В этом случае она должна иметь не одно, а несколько ведущих звеньев, тогда все остальные звенья будут выполнять предписанные им движения.
Но есть и такие механизмы, которые имеют несколько степеней свободы и которые предписаны им самой схемой механизма. Таковыми являются механизм центробежного регулятора, имеющий две степени свободы, и некоторые другие. Естественно, что в таких механизмах условия их существования уже иные и зависят от других параметров.
И наконец, есть новая и постоянно растущая количественно и качественно группа механизмов — механизмы роботов и манипуляторов. Если отвлечься от ходовой части машин автономного действия, то орудием или орудиями управляет «рука» такой машины, которая в некоторой степени должна имитировать движения руки человека. Поэтому механическая рука с точки зрения структуры представляет собой незамкнутую кинематическую цепь с некоторым числом степеней свободы. Естественно, что образцом в этом случае должна быть рука человека, но число степеней, которым обладает последняя, является недостижимым, по крайней мере при современном состоянии науки и техники. Кроме того, ранее мы определили механизм как замкнутую кинематическую цепь. А теперь мы говорим о разомкнутой цепи. Нет ли в этом противоречия?
Вернемся опять к руке, которая является именно разомкнутой кинематической цепью. Ее звенья — кости, связаны одна с другой кинематическими парами. Сочленения, которые связывают кости пальцев, напоминают шарниры, они оставляют звеньям одну степень свободы. Сочленения плеча, предплечья, кисти напоминают сферические шарниры — пары, допускающие по три степени свободы. Звенья всего механизма руки — кости, связаны между собой мускулами, которые можно было бы приблизительно считать пружинами и сложной системой нервов, управляемых центральной нервной системой.
Следовательно, при создании манипулятора, для того чтобы он в какой то степени имитировал движения руки, следует максимально приблизиться к тому пути, который проложен самой природой. Управление рукой человека происходит путем волевого акта, причем траектория движения руки может быть совершенно произвольной; она лишь не должна выходить за пределы того пространства, которое доступно для человека в каждом конкретном случае. Следует помнить также, что человек работает своей рукой или обеими руками не только в пределах их досягаемости, но и во всех точках того пространства, в которое может перейти.
Таким образом, проблема манипулятора, какой бы самостоятельной и усложненной она ни была, связывается с проблемой робота, имеющего возможность перемещения на плоскости или в пространстве, и с более сложной проблемой шагающего механизма. Кисть человека как сложная разомкнутая кинематическая цепь на практике может установить некоторый объект в произвольном положении в том пространстве, которое возможно для нее в каждом конкретном случае.
Как уже было указано, тело в свободном движении в трехмерном пространстве имеет шесть степеней свободы. Шесть степеней свободы можно описать как три движения вдоль трех взаимно перпендикулярных координатных осей и три поворота вокруг тех же осей. При выполнении этих условий рука может занять в пространстве требуемое место. Следовательно, и манипулятор должен прежде всего обладать шестью степенями свободы. Но этого недостаточно и для того, чтобы манипулятор имел возможность перенести некоторый предмет из одного положения в другое, ему нужно добавить еще седьмую степень свободы, а затем одну-две степени свободы, для того чтобы искусственная рука могла проходить через неудобные места.
Естественно, что каждая дополнительная степень свободы улучшает качество работы манипулятора, но дело заключается в том, что каждая степень свободы требует отдельного привода и увеличения сети управления, что само по себе может сказаться неблагоприятно.
Очень важно найти правильную структуру манипулятора. Его кинематическая цепь должна быть построена так, чтобы в результате сочленения его звеньев вся система имела запроектированное число степеней свободы. Так как цепь не замкнута, то количество звеньев равно числу всех пар, а число степеней свободы—тому числу, которое составляют все кинематические пары цепи. Таким образом, если цепь состоит из четырех звеньев, которые соединены тремя кинематическими парами четвертого класса (накладывающими по четыре связи и, следовательно, оставляющими по две степени свободы), а четвертое звено оборудовано захватом — парой пятого класса, то вся цепь имеет семь степеней свободы. Такая структура может быть использована при построении манипулятора. Конечно, подобное решение —лишь упрощенный пример, но сущность его от этого не меняется: число степеней свободы незамкнутой кинематической цепи—манипулятора должно равняться сумме степеней свободы кинематических пар. Кроме того, задача усложняется еще и ориентацией манипулятора, зависящей от его конструкции. Захват механической руки может действовать в каждой точке пространства, что определяется суммой длин звеньев, составляющих цепь манипулятора, однако возможности последнего в различных точках рабочего пространства неодинаковы: рабочая зона некоторой модели может не соответствовать рабочей зоне другой модели, хотя бы и с подобными параметрами.
