Разработка математических моделей для описания процесса диффузии связана с именами А. Эйнштейна, А. Фоккера, М. Планка. Однако только в середине тридцатых годов А. Н. Колмогоров — один из создателей современной теории турбулентности — построил строгую математическую модель и доказал ее применимость к описанию движения частиц в потоке с хаотически возникающими и перемешивающимися вихрями. В уравнение турбулентной диффузии в качестве известных параметров входят скорость ветра и мощность источника загрязнения. Кроме того, к параметрам модели относятся так называемые коэффициенты турбулентной диффузии, характеризующие взаимодействие облака примеси с турбулентными вихрями. В модели А. Н. Колмогорова значения этих коэффициентов, равные изменениям во времени квадрата дисперсии (среднего арифметического из квадратов отклонения от среднего значения) плотности примеси, находятся в каждой точке по данным о размерах облака и характере пульсаций турбулентных вихрей.
Замкнутая теория для конструктивного определения характеристик турбулентных пульсаций до сих пор не создана, и для вычисления коэффициентов турбулентной диффузии при решении конкретных задач пользуются различными эмпирическими упрощениями.
В задачах о распространении примесей встречаются и другие трудности, которые современная теория пока не в силах полностью устранить. В первую очередь это относится к взаимодействию облака примеси с земной поверхностью.
Но вернемся к рассмотрению движения этого облака, полагая, что ветровые потоки известны и построены алгоритмы и программы для решения уравнения турбулентной диффузии.
До сих пор мы говорили о частицах примеси, не конкретизируя их состава. Задавшись целью узнать его, мы неизбежно придем к вопросу о том, как он изменяется в процессе распространения примесей. Оказывается, что дать исчерпывающий ответ на этот вопрос не легче, чем рассчитать потоки ветра или решить уравнение турбулентной диффузии.
Состав атмосферы весьма сложен. В ней, помимо частиц примеси, в том или ином количестве присутствуют различные соединения, взаимодействующие с этими частицами. Кроме того, в атмосфере есть и соединения, ускоряющие химические реакции, — катализаторы, а также сильные окислители и вода. Наконец, днем атмосферу пронизывают мощные потоки солнечной радиации, оказывающей весомое воздействие на многочисленные химические преобразования, протекающие в атмосфере. Положение усугубляется еще и тем, что в различных местах планеты состав атмосферы неодинаков, так что фотохимические превращения примеси могут происходить с разной скоростью и давать в конечном счете различные соединения.
Таким образом, частицы примеси воздействуют не только с турбулентными вихрями, но и вступают в химические реакции с составными частями атмосферы. Образовавшиеся при этом соединения, в свою очередь, вступают в реакции и т. д. В результате получается цепочка преобразований, в которой часть исходного соединения переходит во второе, второе — в третье и т. д. В такой цепочке возможны и разветвления, когда часть некоторого соединения образует несколько новых соединений, дающих начало другим цепочкам.
Вспомним, однако, что все эти реакции протекают в процессе распространения примеси. Это означает, что для описания такого процесса в целом необходимо к уравнению турбулентной диффузии присоединить столько уравнений аналогичного типа, сколько образуется соединений в химических превращениях. При этом все уравнения новой системы оказываются взаимосвязанными — в каждом из уравнений присутствуют функции, входящие в другие уравнения, причем связь между функциями, как правило, нелинейная. На практике часто приходится рассматривать тот или иной регион, в котором действуют несколько промышленных предприятий, являющихся источником загрязнений. В этом случае количество уравнений в математической модели, описывающей процессы переноса, диффузии и трансформации примеси, соответственно увеличивается и становится равным сумме числа членов всех цепочек химических преобразований, начинающихся с момента выброса веществ промышленными предприятиями.
Модель для описания динамических характеристик атмосферы и отвечающая ей система уравнений гидротермодинамики должны учитывать и обратные связи, т. е. влияние выбросов промышленных предприятий на динамику атмосферы. Пример такого влияния в крупных масштабах — уже упоминавшийся арктический «туман». Воздействие антропогенных выбросов на атмосферные процессы среднего масштаба приводит к образованию «островов» теплого воздуха над крупными городами, где он поднимается вверх, а на его место с окраин устремляется более холодный. Так возникает специфическая «городская циркуляция». Особенно отчетливо она проявляется зимой, когда перепад температуры воздуха между центром города и окраинами значителен. Отсюда, в частности, следует вывод о необходимости строить промышленные предприятия не в пригороде (что не избавляет центр города от проникновения загрязнений), а на достаточном удалении от больших городов.
Обратимся, однако, снова к рассматриваемому облаку примесей. Рано или поздно его частицы вступают во взаимодействие с живой природой. Если модель адекватно отображает процессы, происходящие при распространении облака, можно узнать, какие именно загрязнители и в каком количестве принимают участие в этом взаимодействии. Но тут же встает очередной вопрос — как влияет определенное количество данного загрязнителя на конкретный объект или комплекс объектов биосферы и что будет, если это воздействие окажется длительным?
Математические модели эволюции популяций как элементов единой экологической системы строятся исходя из условия баланса изменений их биомассы, и формулируются обычно также в виде систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие популяций и скорость нарастания или убывания их биомассы. В общем случае каждое из уравнений системы включает в себя характеристики всех рассматриваемых популяций. Кроме того, в эти уравнения в качестве параметров входят величины, характеризующие скорость моделируемых процессов. Используются значения параметров из биологических экспериментов, а взаимозависимости характеристик популяций устанавливаются в соответствии с биологическими механизмами развития элементов экосистемы (определить эти параметры и детально описать каждый механизм развития популяции, конечно же, очень и очень не просто).
Воздействие загрязнителей на элементы экологической системы имеет, как правило, «пороговый» характер: если количество примеси меньше допустимой нормы, оно почти не сказывается на эволюции, если же превышает эту норму, то губит популяцию. Это означает, что скорость биологических процессов, а следовательно, и соответствующие им параметры модели, изменяются в зависимости от количества и типа загрязнений, причем она также носит весьма сложный «пороговый» характер.
При попытке оценить последствия загрязнений в общем случае мы снова сталкиваемся с необходимостью учета обратных связей. В самом деле, пусть некоторые из рассматриваемых компонентов экосистемы представляют собой те или иные виды растительности. Тогда вследствие воздействия загрязнений изменятся характеристики растительного покрова и, стало быть, такие важные свойства подстилающей поверхности, как способность отражать солнечное излучение или оказывать сопротивление ветровым потокам. Это, в свою очередь, влияет на взаимодействие примесей с подстилающей поверхностью, динамические характеристики атмосферы, так что, в конечном счете, приходится совместно решать системы уравнений гидродинамики атмосферы, турбулентной диффузии и динамики популяций.
Таким образом, проследив за распространением загрязняющих выбросов от заводской трубы вплоть до их взаимодействия с элементами природной среды, удается в общих чертах обрисовать структуру модели в целом.
Может показаться, что само по себе построение такой модели уже позволяет выработать стратегию оптимального ведения хозяйства с учетом охраны природы. Однако это далеко не так. Действительно, пусть в заданном регионе нужно возвести новое промышленное предприятие, для которого тип и количество выбрасываемых, загрязнений определены заранее. В этом районе уже существуют объекты, особо нуждающиеся в охране от загрязнения (жилые массивы, лесные угодья, парки, зоны отдыха и т. п.). Требуется определить место для строительства предприятия так, чтобы воздействие на эти объекты распространяющихся загрязняющих выбросов было минимальным.
Очевидно, в идейном плане для решения такой задачи наиболее прост подход, при котором предприятие «размещается» по очереди во всех точках региона, а воздействие загрязнений на указанные объекты определяется в каждом случае с помощью рассмотренной модели. Но, как нетрудно убедиться, для этого понадобится произвести столько вычислений, что их не удастся реализовать в разумное время даже на самых мощных ЭВМ. Значит, необходимы новые методы решения оптимизационных задач, ориентированных на охрану окружающей среды. Эти задачи относятся к бурно развивающемуся в последнее время разделу математики — теории оптимального управления.
