Это ведет нас к важному, фундаментальному открытию, впервые детально разработанному Георгом Кантором. Это открытие нашло отзвук в работе математика XX века Курта Гёделя. Гёдель, воссоздавая основную особенность канторова доказательства, показал несостоятельность наиболее фундаментальных математических аксиом не только Бертрана Рассела, но и отца-основателя современного экономического системного анализа Джона фон Неймана. Не будем здесь рассматривать связанные с именем Кантора разработки несчетных последовательностей и мощности множеств. Подходы, соответствующие нашему обсуждению Смита, Маркса и фон Неймана, резюмируются следующими положениями.
В диалоге «Парменид» Платон раскрыл свой знаменитый онтологический парадокс: та объединяющая концепция изменения, которая как генерирующий принцип включает в себя и тем самым ограничивает все элементы коллекции, сама не может быть элементом этой коллекции. По-новому это высветил Кантор при помощи демонстрации, которую он определил явно с точки зрения платоновской работы и революционно развил относительно как формальных, так и онтологических особенностей всякого возможного математического мышления. Таким образом, если мы устанавливаем «наследственный принцип» любой формальной системы, например общепринятой в настоящее время математики, преподаваемой в университетах, в своей правильной форме как генерирующий принцип, то эта формулировка окажется вне формальной системы элементов, которую (имплицитно) определяет генерирующий принцип. Этот факт находится за пределами понимания сегодняшним математическим мышлением, но этот принцип, тем не менее, понятен и доступен для познания.
Это положение иллюстрирует история самой математики. Тот вид математики, который может быть выведен из множества аксиом и постулатов, представленных евклидовой геометрией, производит форму математики, именуемой «алгеброй» или «алгебраической системой». Это тот вид математики, который мы связываем с Рене Декартом или Исааком Ньютоном. В период с 1440 по 1697 гг. была создана более высокая форма неалгебраической математики, которую представили в более поздние времена, главным образом, Готфрид Лейбниц и Иоганн Бернулли. Более высокая форма неалгебраической математики стала известна как область трансцендентных функций. Евклидовы аксиомы о точке и прямой были отброшены и заменены аксиомой изопериметрического или кругового действия, также известного как «универсальное наименьшее действие». Установление превосходства неалгебраической математики по отношению к алгебраическим формам было продемонстрировано в 1670-е гг. удивительно точным измерением скорости света Оле Рёмером и успешным применением этих измерений к принципам рефракции Христианом Гюйгенсом, Лейбницем и Иоганном Бернулли.
Хотя Лейбниц и его друзья опровергли аксиомы алгебраического мышления, они не отбросили ничего из того, что представляло ценность для науки. Все ценное, что есть в алгебре, можно понять с точки зрения неалгебраической математики, но эти качества свободны от заблуждений алгебраического мышления. Это показало, что неалгебраическая математика внешним образом ограничивает алгебру, но в соответствии с парадоксом платоновского диалога «Парменид» истина неалгебраической математики не может быть произведена построениями из формальной алгебры. На языке Кантора, алгебраические и неалгебраические математические формализмы являются двумя отдельными разновидностями «наследственного принципа» или двумя различными «типами»; все справедливые положения[10] алгебры относятся к одному из подтипов неалгебраических функций. Подобным образом Кантор показал существование третьего, более высокого типа математики за пределами счетных последовательностей, который является более высоким типом математики, чем любой вариант из общепринятых учебных курсов математики.
Понятие (трансфинитных) аксиоматических типов приложимо к исследуемой здесь проблеме. Системы, представленные описываемыми математически положениями политической экономии Адама Смита, Давида Рикардо, Карла Маркса и Джона Стюарта Милля, принадлежат к общему канторовскому типу линейной схемы, которая по своему характеру энтропийна в том значении, как определял энтропию в механических моделях газовой системы или любой аналогичной системы Людвиг Больцман. Это же справедливо и для системного анализа Джона фон Неймана.
Сам факт, что больцмановская модель аксиоматически энтропийна, ведет прямо к следующему парадоксу. Если бы вселенная в целом подчинялась универсальному закону энтропии, как предполагает больцмановская механическая модель, сам Больцман никогда бы не смог появиться на свет и создать свою теорию. Таким образом, если бы больцмановская теория была бы достоверной, то ни Больцман, ни его теория никогда бы не существовали.
Ученый защитник больцмановской работы, выступая против нашего использования этого парадокса, выдвинул бы примерно то же возражение, что и сам Больцман. Это возражение было бы ссылкой на утверждение самого Больцмана, что неэнтропийное явление может существовать локально внутри вселенной, которая вообще является энтропийной.
Опровержением этого возражения является вкратце то, что такая защита Больцмана полностью зависит от собственного больцмановского расчета на выбор некомпетентного определения «отрицательной энтропии» (негэнтропии). Для того, чтобы Больцман появился, он сам должен быть жизненным процессом, способным к прогрессивным и эффективным интеллектуальным открытиям, аналогичным по форме эволюционным моделям жизненных процессов в целом, а также похожим на такие неорганические формы эволюционного процесса самопреобразования, как порождающий принцип или тип, представленный развитой формой менделеевской периодической таблицы элементов и изотопов. Как реально существующий человек, Больцман, вопреки своим теориям, соответствовал такой эволюционной модели. Однако, эти эволюционные «модели», включая и самого Больцмана, невозможно выразить тем чисто механистическим понятием «отрицательной энтропии», которое математически определено больцмановской теоремой.
Поэтому, например, утверждение Норберта Винера, что больцмановская механистическая модель — это модель принципа жизненных процессов, является элементарным крючкотворством. К тому времени, когда Винер написал свою «Кибернетику», существовало хорошо установленное, строгое различие между двумя типами систем: энтропийными и неэнтропийными. Формальная история этого различия начинается с платоновской трактовки уникальной возможности построения правильных геометрических тел. В современной науке платоновский довод развит Лукой Пачоли, Леонардо да Винчи, а также стал главной отличительной чертой трудов Иоганна Кеплера. Плоды трудов Платона, Да Винчи и Кеплера получили новое обоснование в Лейбницевом analysis situs (анализе положения) и важных, более поздних трудах Гаусса и др. в этом направлении. Усовершенствование менделеевской периодической таблицы в ходе исследований начала XX столетия, вплоть до 1930-х гг., в сферах ядерного излучения, ядерного синтеза и расщепления атома, ясно показало, что мы должны иметь в виду, когда выражаем эмпирически и математически наше обязательство соблюдать строгое формальное различие между живыми и энтропийными процессами. Применение к неэнтропийным особенностям жизненных процессов понятия «отрицательная энтропия» (негэнтропия), как просто перевернутой во времени статистической энтропии, было поэтому лишь детской игрой слов. А применение Винером больцмановской статистической теоремы к задаче определения общего принципа человеческого общения и жизненных процессов — наглая софистика и обман.
Например, в физической экономике отрицательная энтропия правильно представлена следующим образом.
Общее потребление вместе взятых инфраструктурных, производственных и семейных рыночных корзин основных физических товаров соответствует величине, которую современная практика называет «энергией системы». Желаемое возрастание отношения общего выпуска продукции к «энергии системы», воплощенной ранее в производственном процессе, функционально соответствует относительной «свободной энергии» этого общества как процесса. Отношение этой «свободной энергии» к «энергии системы» коррелирует с продуктивностью этого общества, рассматриваемого в целом. Проследим за этим еще несколько шагов.
Эти величины рассмотрены в общем плане, но они также рассматриваются функционально на душу населения, на домохозяйство, на квадратный километр, а также на душу населения в расчете на квадратный километр. В случае успеха, возрастание производительности уменьшает количество производственных усилий на душу населения, требуемых для поддержания удовлетворительного уровня энергии системы на душу населения. Однако есть два других примечательных изменения, которые входят в то, что требуется для поддержания этого возрастания в отношении свободной энергии к энергии системы. Выраженная физическими величинами (в отличие от измерения рабочего времени) энергия системы на душу населения должна возрастать. Сходным образом, отношение всех инфраструктурных товаров в сумме с производственными товарами к товарам домашнего потребления должно также возрастать, хотя абсолютная, физическая величина содержимого потребительской рыночной корзины на душу населения также должна возрастать. Удовлетворение этих предпосылок обеспечивает модель того значения, которое должна иметь «негативная энтропия», если мы приписываем этому термину любую степень конгруэнтности с различительными антиэнтропийными характеристиками жизненных процессов. Эта модель иллюстрирует требуемое альтернативное определение «отрицательной энтропии», если этот термин подразумевает соответствие с различающимися между собой характеристиками любого процесса, который будет допускать существование самого Больцмана.
