Пифагорейцы обнаруживали в числах от единицы до десяти набор неких имманентных, обязательных свойств. Так или иначе того же подхода придерживалось и средневековье: например, теологи настаивали, что Божественных Ипостасей должно быть именно три, схоласты, опираясь на авторитет Аристотеля, говорили о трехзвенности силлогизма (двух посылках и заключении), о четырех основных видах логических суждений: общеутвердительного, общеотрицательного, частноутвердительного, частноотрицательного, – и Михаил Пселл для мнемонической иллюстрации отношений контрарности и контрадикторности предложил в ХI в. так называемый логический квадрат. В комплементарной теневой области средневековой культуры пребывали алхимики, астрологи, каббалисты. Первые, используя положения неоплатоников, связывали ряд чисел – единицу, двойку, тройку, четверку, семерку и др. – с метафизикой, полагая обязательным наличие, к примеру, семи металлов. Сходным образом астрологи почитали принципиальным существование именно семи известных тогда планет. Значительную дань теологии и алхимии отдал, как известно, Ньютон. Любопытно, что обладавший сильнейшим стремлением к логической точности Кант уже в другую эпоху пытается обосновать трехмерность физического пространства (его подход, как показало время, оказался хотя и не исчерпывающим, но отнюдь не пустым) или логическую обязательность факта тех же семи планет (что тут же было опровергнуто астрономией, открывшей восьмую планету).
В античных и средневековых исследованиях, не исключая сферы спекуляций о числах, очень трудно отделить зерна от плевел. Вдаваться в их хитросплетения, предварительно не дистанцировавшись от них, по всей видимости, даже контрпродуктивно – это вопрос интеллектуальной гигиены: слишком велика вероятность заразиться, повлекшись по пути в никуда. Поэтому большинство ответственных математиков Нового времени радикально перерубило канат, обратившись к вышеупомянутому акциденциальному, чисто количественному числу. Более того, число как таковое подспудно вытесняется на периферию математики, становящейся главным образом символьной: в центре внимания оказываются заимствованная у арабов и интенсивно развивающаяся новыми европейцами алгебра, а затем и дифференциальные уравнения. Хотя натуральные числа не полностью утрачивают свою конституирующую "качественную" роль – например, квадратные, т.е. второй степени, алгебраические уравнения отличаются по своему поведению и методам решения от линейных, кубических, четвертой степени и т.д., отчасти сходным образом обстоит дело и с дифференциальными уравнениями разных порядков, – но этот момент не педалируется, не становится предметом пристального интереса. В целом же назначение подобных чисел практически сводится к чисто указательному, индексному, а в обозначениях, индексах, в сущности, нечего обсуждать.
Аналогичный процесс элиминации натурального числа и связанных с ним элементарных операций вплоть до ХIХ в. наблюдался и в естественных науках, особенно в физике. Последняя, как мы помним, была радикально геометризована и, кроме того, опираясь на экспериментальный фундамент, поставила во главу угла измерение. Какая величина получится, подскажет природа, вопрос о числах – апостериорный, не имеющий конститутивного значения для модели как таковой. Одновременно: никогда еще пропасть, отделяющая точные науки от гуманитарных, не становилась столь непреодолимо широкой и глубокой, как в этот период.
Ситуация начинает постепенно или скачкообразно меняться с середины ХIХ и особенно в ХХ в. Во-первых, протекает революция в самой математике, обратившейся лицом к простейшим фундаментальным аспектам действительности. Возникают новые области: теория множеств, топология, математическая логика, высшая алгебра, изучающая строение объектов самой различной природы. Во-вторых, в естественных науках возникает встречный интерес к простейшим структурам: о физике, химии см. Предисловие, в биологии – Мендель открывает генетический код, представляющий собой обыкновенную комбинацию признаков. Элементарные дискретные и комбинаторные операции проникают и в искусство: впрочем, о кубистах, которые "по-топологически" представляли реальные фигуры в виде совокупности правильных геометрических тел, о пуантилистах с их разложением воспринимаемого цвета на исходные компоненты и о поэтах-футуристах, включая математика В.Хлебникова, широко использовавших приемы разложения и рекомбинации слова и, в свою очередь, давших толчок возникновению нового литературоведения, формальной школе, речь уже шла. От формальной же школы – прямая дорога к структурализму, распространившемуся на многие еще недавно чисто гуманитарные науки: не только на литературоведение, но и на искусствоведение, этнологию, культурологию. Вместе с возвратом на новом витке к древним логическим методам все чаще преодолевается разрыв между естественными и гуманитарными дисциплинами.
К данному вопросу предстоит возвращаться, но это целесообразнее в контексте более предметных исследований, когда появится возможность снабжать отвлеченные положения конкретными иллюстрациями. Пока же ограничимся несколькими частными замечаниями, необходимыми для текущего раздела.
Для раскрытия тем первых двух глав нам потребуется далеко не весь корпус арифметических и алгебраических знаний, объединенных рамками элементарной математики и, соответственно, в том или ином виде известных древним, являющихся атрибутом современного массового сознания. Прежде всего будут востребованы представления о целых числах, навыки комбинирования. Собственно говоря, сам счет есть одна из простейших комбинаторных операций, когда мы вправе отвлечься от различий рассматриваемых предметов друг от друга, а значит, и от порядка их размещения, следования. Подобное абстрагирование от различий – "все единицы одинаковы" – может быть как сознательным, что отвечает достаточно высокой ступени развития, так и автоматическим, "естественным". Например, имеет ли значение для вороны, что первого приблизившегося к ней человека зовут Джон Смит и у него длинный аристократический нос, а второго – Иван Петров и у него нос картошкой? Ворона не знакома ни с тем, ни с другим, и оба в равной мере – источник опасности. Однако запомнить, что людей двое, в высшей степени целесообразно: даже если один из них удалился, второй может подстерегать из укрытия, чтобы запустить камнем. Сходное "абстрагирование" полезно и на этапе беглого "экспресс-анализа", когда необходимо оперативно оценить ситуацию: так кошка, вернувшись с охоты, проверяет, все ли котята на месте, и не нужно ли кого-либо из них поискать.
Элементарные процедуры, аналогичные счету, играли исключительно важную роль в процессе выживания человека, обладая, без преувеличения, экзистенциальной значимостью. Первобытные племена, вступавшие в натуральный обмен, скажем, шкурок зверей на плоды, раскладывали их кучками в два параллельных ряда, устанавливая взаимно-однозначное соответствие между разнородными товарами, выявляя их общий эквивалент. Впоследствии в дело вступили более абстрактные предметы: счетные камешки, палочки, зарубки, загибаемые пальцы. Соответствующий психомоторный, "бихевиористский" аспект не исчез до сих пор: мы тыкаем пальцем в пересчитываемые вещи, фиксируя количество указательных движений, или по-прежнему используем загибание пальцев. В средние же века абацисты спорили с алгоритмиками, как следует проводить вычисления: с помощью вспомогательных предметов (счетной доски, абаки, по которой передвигались счетные марки) или посредством письменной записи, выполняемой по определенному общему правилу [199, с. 5]. Тогда победили алгоритмики.
В 1920 – 30-е гг. Г.Динглер проводит исследование экспериментальных корней абстрактных математических понятий. Так, понятие плоскости координируется с ремесленной технологией изготовления шлифованных поверхностей. "Три стальные поверхности ‹…› шлифуются друг о друга до тех пор, пока не станут полностью подходить друг к другу" [120, с.108]. Вообще же, "эксперимент является чем-то вроде очищения, изоляции одного-единственного действия, которое в общем процессе переживания не воспринимается непосредственно" [там же, с.105]. Обращается также внимание на повторяемость, воспроизводимость. В свою очередь, и счет, и комбинаторные перестановки суть однозначные, воспроизводимые операции, становление которых произошло в процессе длительной практики. Причем, операции более простые и универсальные, чем собственно ремесленные, и понятия о них сложились значительно раньше геометрических.
В счете и, шире, комбинаторных действиях, помимо их экзистенциального значения и психомоторности, существенны и другие аспекты. Прежде всего, таким элементарным интеллектуальным манипуляциям в равной мере подвержены как неживые, так и живые объекты, как "материальные", так и "духовные": души предков, боги подведомственны такому же учету. Собственно, в анимистическую праэпоху, когда крепли навыки счета, соответствующие границы и не проводились: человек внимал шепоту мудрых дубов и дубрав, присваивал имена собственные копьям и топорам, а боги рекли посредством природных явлений, то и дело оказываясь средь людей. Срубив дерево или убив медведя, перед ними извинялись как перед духами или людьми.
