А вот еще одна сумасшедшая игра. Предположим, администрация Калифорнии объявит населению штата следующее: все те, кто вложит доллар-другой, ничего не приобретут, однако один получит целое состояние, а еще один будет лишен жизни жестоким способом. Кто-нибудь решится сыграть в такую игру? Еще как решится! Называется эта игра «государственная лотерея». И хотя государство рекламирует игру совсем не так, как это только что сделал я, на самом деле именно так все и происходит. В каждой игре один счастливчик получает крупную сумму, а миллионы других участников ездят к продавцам билетов, и при этом некоторые погибают в автокатастрофах. Если обратиться к статистике государственной дорожной инспекции и прикинуть, как далеко приходится ездить за билетом каждому из участников, сколько каждый из участников покупает билетов и сколько людей оказываются жертвами типичных аварий на дорогах, получится, что допустимое число несчастных случаев равно примерно одной смерти на игру.
Администрация штата обычно не принимает в расчет доводы о возможных негативных последствиях лотерей. И это потому, что в большинстве своем они достаточно осведомлены о математическом ожидании, чтобы рассчитать: на каждый купленный билет ожидаемые выигрыши — общая сумма призовых денег, поделенная на число купленных билетов — меньше стоимости одного билета. Обычно получается недурная сумма, которая перекочевывает в государственные закрома. Однако в 1992 г. некоторые инвесторы в австралийском Мельбурне заметили, что в Вирджинской лотерее этот принцип нарушается{80}. По условиям игры необходимо выбрать 6 чисел из группы от 1 до 44. Если бы нам удалось настолько продлить треугольник Паскаля, мы бы увидели, что существует 7 059 052 способов выбрать 6 чисел из группы от 1 до 44. Лотерейный джекпот составлял 27 млн долларов, а если считать вместе со вторым, третьим и четвертым призами, то и все 27 918 561 доллар. Сообразительные инвесторы возразили: если купить один билет с каждой из возможных 7 059 052 числовых комбинаций, стоимость этих билетов будет равна сумме джекпота. Значит, каждый билет будет стоить около 27,9 млн долларов разделенные на 7 059 052, то есть около 3,95 долларов. А по какой цене администрация штата Вирджиния, при всей ее мудрости, продает билеты? Как обычно: по 1 доллару.
Австралийские инвесторы быстро нашли 2 500 мелких инвесторов в Австралии, Новой Зеландии, Европе и США, каждый из которых согласился вложить в среднем по 3 тыс. долларов. Если все рассчитано правильно, примерный доход от этих вложений — 10 800 долларов. Однако план содержал в себе кое-какие риски. Во-первых, так как не они одни покупали билеты, существовала вероятность, что другой, и даже не один, а несколько окажутся с выигрышным билетом, то есть, выигрыш придется делить. Лотерея проводилась уже 170 раз; в 120 случаях победителя не оказывалось, в 40 случаях оказывался один победитель и лишь в 10 случаях — два. Если подобная частотность точно отражала ситуацию с шансами, тогда следовало, что в 120 случаях из 170 инвесторы получили бы весь выигрыш, в 40 случаях из 170 у них оказалась бы только половина, а в 10 случаях из 170 — лишь треть. Подсчитывая ожидаемый выигрыш с помощью принципа математического ожидания Паскаля, они пришли к следующей цифре: (120/170×27,9 млн долларов) + (40/170×13,95 млн долларов) + (10/170×6,975 млн долларов) = 23,4 млн долларов. А это 3,31 доллара за билет — неплохой доход с 1 доллара, даже после всех затрат.
Но существовала и другая опасность: кошмар службы логистики в связи с завершением выкупа всех билетов к окончанию срока розыгрыша. Могли потребоваться существенные незапланированные расходы, а значительную призовую сумму можно было так и не получить.
Члены инвестиционной группы тщательно подготовились. Они от руки, как того требуют правила, заполнили 1,4 млн билетов: каждый билет участвовал в пяти розыгрышах. В 125 торговых точках расставили выкупщиков и заручились поддержкой продуктовых магазинов, которые получали доход с каждого проданного билета. Схема была запущена за трое суток до завершения лотереи. Служащие магазинов работали посменно, чтобы успеть продать как можно больше билетов. В одном магазине за последние двое суток продали 75 тыс. билетов. Другой магазин, сетевой, принял банковских чеков на 2,4 млн билетов, распределил работу по печатанию билетов между своими торговыми точками и нанял курьеров, чтобы собрать их. И все-таки под конец группе не хватило времени: они купили всего 5 млн билетов из 7 059 052.
Прошло несколько дней с момента объявления выигрышного билета, но за выигрышем никто не явился. Выиграл консорциум инвесторов, однако им пришлось ждать в течение нескольких дней, чтобы удостовериться в этом. Затем, когда чиновникам от государственной лотереи стало известно, что выиграл консорциум, они стали уклоняться от выплаты призовых денег. Последовал целый месяц пререканий между юристами той и другой сторон, пока чиновники не признали: у них нет веских причин для отказа в выплате. В конце концов, инвесторы свой выигрыш получили.
Изучая понятие случайности, Паскаль обогатил науку своими идеями в отношении расчетов, а также понятием математического ожидания. Интересно, какие еще открытия совершил бы Паскаль, не брось он занятия математикой, не пошатнись его здоровье. Однако ничего больше не произошло. В июле 1662 г. Паскаль тяжело заболел. Врачи предписали традиционные для того времени средства: кровопускания, бесконечные очищения организма, клизмы, рвотные. На некоторое время ему стало лучше, но потом болезнь вернулась, а с ней и сильные головные боли, головокружения, судороги. Паскаль дал обет: если поправится, посвятит свою жизнь помощи бедным. Он попросил перевести его в клинику для неизлечимо больных — в случае своей скорой смерти он хотел быть среди них. Паскаль в самом деле умер — несколько дней спустя, в августе 1662 г. Ему было тридцать девять. Вскрытие показало, что причиной смерти было кровоизлияние в мозг. Кроме того, обнаружились патологические изменения в печени, желудке, кишках, чем и объяснялись болезни, терзавшие Паскаля всю жизнь.
Глава 5
ПРОТИВОСТОЯНИЕ ЗАКОНОВ БОЛЬШИХ И МАЛЫХ ЧИСЕЛ
В своих работах Кардано, Галилей и Паскаль предположили, что вероятности, соотносимые с задачами, за которые они взялись, уже известны. Например, Галилей предположил, что кость может с равным успехом упасть любой из шести сторон. Однако насколько «прочно» это знание? Возможно, кости герцога были сделаны таким образом, чтобы не отдавать предпочтение ни одной стороне, однако это не значит, что справедливость была на самом деле достигнута. Галилей мог проверить свое предположение путем наблюдений за бросками костей и последующей записи того, как часто кости падали той или иной стороной. Однако если бы он повторил эксперимент несколько раз, он, вполне возможно, обнаружил бы, что каждый раз результаты несколько разнятся, и даже небольшие отклонения могут оказаться значительными, в особенности, если иметь в виду ту крошечную разницу, которую его попросили объяснить. Чтобы ранняя работа из области теории случайности могла быть применена в реальном мире, необходимо задуматься над следующим вопросом: какова связь между неявными вероятностями и наблюдаемыми результатами? Когда мы говорим: шансы того, что кость упадет на 2, равны 1 из 6, что мы имеем в виду с практической точки зрения? Если это не значит, что при любой серии бросков кость упадет на 2 аккурат 1 раз из 6, то на чем тогда основывается наша уверенность, будто шансы бросить кость и получить 2 в самом деле равны 1 из 6? И что подразумевается, когда врач говорит: лекарство в 70% эффективно, в 1% случаев влечет за собой серьезные побочные эффекты? Или что при опросе выясняется: кандидата поддерживают 36% избирателей? Это непростые вопросы, они имеют отношение к самой сути понятия случайности, понятия, о котором математики до сих пор спорят.
Недавно, в один из теплых весенних дней, я ввязался в подобный спор, а моим оппонентом был статистик Моше, приехавший преподавать из Еврейского университета в Иерусалиме; за обедом в столовой Калифорнийского технологического института он сел напротив меня. Отправляя в рот одну за другой ложечки обезжиренного йогурта, Моше напирал на то, что по-настоящему случайных чисел не существует. «Таких в природе нет, — сказал он. — Ну да, они составляют таблицы, пишут компьютерные программы, но на самом деле сами себя обманывают. Никому еще не удалось изобрести метод получения случайных чисел лучший, нежели броски игральных костей, который как раз и не подходит».
Моше махнул пластмассовой ложечкой в мою сторону. Тема его не на шутку взволновала. Я чувствовал, что между его отношением к понятию случайности и его религиозными убеждениями существует связь. Моше — ортодоксальный еврей, а я знаю, что многие верующие люди с трудом могут представить, будто Господь допускает существование случайности. «Предположим, ты хочешь выстроить ряд N случайных чисел между 1 и 6, — говорит Моше. — Ты бросаешь кость N раз и записываешь ряд N чисел, которые выпадают. Как по-твоему, это ряд действительно случайных чисел?»
