Рафаель Роузен - Математика для гиков

Одна из идей пришла к Шеннону, когда он учился в магистратуре в Массачусетском технологическом институте. Он понял, что структура коммутационной схемы в аналоговых компьютерах и телефонных сетях напоминала структуру булевой алгебры (см. главу 3.19). В физическом смысле замкнутая цепь могла представлять логическое значение «истина», а открытая цепь – «ложь». В сущности, Шеннон понял, что можно записать работу логики в машине. Вы на самом деле можете решить проблему по логике и математике, используя переключатели и цепи. Это вылилось в магистерскую диссертацию Шеннона в 1938 году под названием «Символьный анализ реле и коммутаторов», теперь эту диссертацию называют самой важной диссертацией ХХ века.

Позднее, во время работы над взломом кодов во время Второй мировой войны, Шеннон заинтересовался дальней связью. Его мысли в конечном итоге переросли в книгу «Математическая теория связи», опубликованную в 1949 году. Шеннон изучал проблемы, присущие отправке сообщений на дальние расстояния по проводам, чем дальше было расстояние, тем сигнал становился все хуже и появлялось больше шума. Но путем преобразования информации в сообщении в основные единицы под названием «биты», состоящие из единиц и нулей, можно с легкостью восстановить сообщение на другом конце провода, так как единицы и нули очень легко отличить. А виды сообщений, которые можно передавать с помощью этих двух чисел, варьируются от видео до фотографий, от аудиофайлов до электронных писем: все, что можно передать через Интернет.

Шеннон также связал биты и понятие энтропии, которое для него указывает на количество информации в каждом конкретном сообщении. Вот его знаменитое уравнение:

Поэтому, когда в следующий раз будете отправлять письмо по электронной почте, подумайте о Клоде.

На техническом языке шифр – это четкий метод для кодирования информации. Примером является шифр замены, в котором одни буквы заменяются другими. В некоторых шифрах замены даже используются несколько алфавитов. В начале ХХ века электромеханические шифры, такие, как в немецкой машине «Энигма», означали, что машина, а не человек осуществляли эти замены.

Социальные сети на сегодняшний день являются большой частью общества. Велика вероятность того, что вы пользуетесь Twitter и Facebook, и возможно, Pinterest и Instagram. Еще со времен Friendster популярность социальных сетей сильно возросла. Но хотя соцсети имеют ряд преимуществ – они позволяют вам оставаться на связи с друзьями и знакомыми, – оказалось, что они снижают самооценку пользователей. Когда люди сидят на страницах друзей и видят фотографии на экзотических курортах, сообщения о повышениях и росте зарплаты или изображения новых машин и домов, они могут начать чувствовать себя неполноценными: почему их жизнь не такая хорошая, как жизнь их друзей?

Это явление – обобщенный случай так называемого парадокса дружбы. В 1991 году социолог Скотт Фельд изучал социальные сети, которые в те дни не включали в себя компьютеры и Интернет, и обнаружил, что в любой сети друзей у друзей человека А обычно будет больше друзей, чем у самого человека А. Другими словами, у ваших друзей всегда больше друзей, чем у вас. Но как такое возможно? Если вы мой друг, а я – ваш, то у каждого из нас есть друг. Кажется, что дружба таким образом сбалансирована.

Причиной парадокса является структура сети друзей. В любой сети несколько людей более популярны, чем все остальные; в среднем у них больше друзей, чем у остальных людей в этой сети. Следовательно, велика вероятность того, что если вы выберете любого человека из этой сети, то он будет дружить с одним из популярных людей. Ведь популярность подразумевает множество связей, и вы, вероятнее, будете дружить с тем, у кого 40 друзей, нежели с тем, у кого их 2. У вас больше шансов быть одним из 40, чем одним из 2. Но такой принцип применим к большинству людей в сети. Парадокс дружбы возникает из-за самой природы дружбы и небольших расчетов.

Как это все связано с социальными сетями? Ну, парадокс дружбы применяется не только к сетям, где люди сталкиваются лицом к лицу. Он еще применяется к электронным сетям. Поэтому, скорее всего, на ваших друзей в Twitter подписаны больше людей, чем на вас, и у большинства ваших друзей на Facebook больше друзей, чем у вас. А после недавнего исследования двух ученых парадокс дружбы зашел еще дальше: у ваших друзей не просто больше друзей, чем у вас, они еще и скорее всего богаче и счастливее вас. Ем Ен Хо из Университета Тулузы и Чо Хан Хен из Университета Аалто в Финляндии проанализировали сети ученых, в которых каждый ученый связывался с другим, если они вместе работали над исследованием. Ем и Чо обнаружили, что в каждой конкретной академической сети у связей ученого А было больше соавторов, чем у ученого А. Они также обнаружили, что у связей ученого А больше упоминаний и публикаций, чем у ученого А. Ем и Чо разработали математические характеристики такого вида сетей и узнали, что, если парадокс возникает в сети, он применяется к более чем одной характеристике – не просто к числу связей или упоминаний, – если эти характеристики отвечают определенным требованиям.

Поэтому, когда в следующий раз будете сидеть в социальных сетях и будете подавлены, помните, что большинство людей чувствуют себя точно так же.

Парадокс дружбы является примером предвзятости выбора. Так как ваш набор друзей зависит от людей, у которых изначально есть друзья, у этих друзей, вероятнее, больше друзей, чем у вас. У отбора скорее всего автоматически будут определенные характеристики лишь из-за того, как вы отобрали их для изучения. Другим примером является эффект пещерного человека. Так как люди нашли много следов первых людей в пещерах, легче сделать вывод, что наши предки обитали в пещерах. Но все, что они могли оставить за пределами пещеры, могло быть разрушено или размыто. Ошибка отбора – следы в пещерах – искажает вывод.

Кто бы мог подумать, что iPod и математика тесно связаны друг с другом? Оказывается, когда вы загружаете песню на компьютер или проигрываете цифровой музыкальный файл на плеере, вы пользуетесь математическим уравнением под названием преобразование Фурье.

Звучит странно, но представьте, что это своего рода инструмент: в сущности, он разделяет сложные волны на множество маленьких и соединяет простые волны обратно в сложные. И это могут быть почти любые виды волн, включая звуковые и световые. Когда звукорежиссеры хотят конвертировать аудиозапись в МР3-файл, они используют преобразование Фурье, чтобы выбрать отдельные частоты звуковой волны и отметить их амплитуду в каждый момент времени. Затем, если они хотят сжать файл, чтобы его было легче передавать через Интернет, они могут удалить частоты, которые человеческое ухо не может услышать. С другой стороны, звук на виниловой пластинке представляет собой цельную звуковую волну, частоты на ней нетронуты.

Человеческое ухо также может выполнять преобразование Фурье. В любой момент одна сложная звуковая волна входит в ухо, где происходит вибрация барабанной перепонки, и производит электрические волны, которые мозг потом анализирует и преобразовывает. Но вы никогда не слышите эту одну волну, вместо этого вы слышите человека, который слева от вас разговаривает по телефону, автобус, который сигналит автомобилю справа, щебечущую над вами птицу, которая сидит на дереве. Эта одна волна была разбита на составные части, и теперь вы можете выявить отдельные частоты и звуки и тем самым лучше взаимодействовать с миром.

Преобразование Фурье также можно встретить и в архитектуре, особенно в сейсмоопасных районах. Как и любой другой объект, каждое здание в городе вибрирует на своей собственной частоте. Представим здание в городе, в котором произошло землетрясение. Если колебания от землетрясения совпадают с естественным колебанием здания, колебания усилятся, и у такого здания вероятность разрушения становится выше. (Частота и сила колебаний – это два разных измерения.) Чтобы избежать разрушения, инженеры могут использовать преобразование Фурье для анализа отдельных частот типичных землетрясений в конкретном месте и потом «настроить» здание так, чтобы его частоты не совпадали с частотами землетрясений, которые чаще всего происходят в районе. Математика может буквально спасать города от разрушения.

Преобразование Фурье названо в честь Жана Батиста Жозефа Фурье, французского математика (1768–1830). Он его разработал, когда пытался определить, как тепло передается между твердыми телами.