Рафаель Роузен - Математика для гиков

Преобразование Фурье названо в честь Жана Батиста Жозефа Фурье, французского математика (1768–1830). Он его разработал, когда пытался определить, как тепло передается между твердыми телами.

Вы или ярый сторонник карт Google, или приверженец традиционных бумажных карт, но карты окружают нас повсюду. Они полезны и, несмотря на иногда возникающие трудности со складыванием, очень удобны. Зачастую они еще и очень красивые. (Посмотрите на карты из Средневековья, чтобы получить представление о художественности, которая вкладывалась в создание карт.) Карты также являются источником для одной из самых известных идей в математике: проблемы четырех красок.

Фрэнсис Гатри, английский студент, изучающий математику, впервые предложил проблему в 1852 году, когда пытался раскрасить карту округов Англии. Понимая, что ему необходимо всего четыре цвета, он задался вопросом, а нельзя ли применить это правило ко всем картам, даже к тем, которые еще не были созданы. Точнее говоря, Гатри интересовало, можно ли раскрасить карту, используя не больше четырех цветов, так, чтобы у двух граничащих территорий – округов, штатов, стран, чего угодно – не совпадали цвета. (Такие две территории должны иметь четкую границу. Если территории граничат углами, как штаты Юта и Нью-Мексико, то они не в счет.) Доказательство было наконец предоставлено в 1976 году, спустя 124 года после того, как Гатри задал этот вопрос, Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном, математиками из Иллинойсского университета в Урбане-Шампейне. И хоть это было значительное достижение, доказательство вызвало неоднозначную реакцию в математическом сообществе, так как оно использовало компьютер.

Немецкий математик Герберт Греч нашел доказательство, которое является продолжением проблемы четырех цветов: в плоском графе, если в нем нет треугольников (по существу, нет пунктов с тремя вершинами), теорема Греча утверждает, что вам нужно всего три цвета для достижения такого же результата.

За последние несколько десятилетий компьютерная анимация шагнула далеко вперед, и самую большую эффективность в этом продвижении сыграли аниматоры из Pixar. Но компьютеры могут лишь следовать инструкциям, которые основаны на математике. Поэтому, когда перед аниматорами возникает новая проблема, такая, как изображение движения вьющихся волос Мериды из «Храброй сердцем», они обращаются за помощью к математике.

Pixar опирается на алгоритмы – наборы инструкций – для моделирования сложных объектов и поведения, и они поняли, что им потребуется совершенно новый набор для создания волос Мериды, которые будут состоять из 100 тысяч различных элементов. Насколько это будет сложно сделать? Согласно правилам комбинаторики – если существует n элементов, то существует n² путей для их столкновения, – существует 10 миллиардов вероятностей взаимодействия элементов волос Мериды.

В Pixar также впервые разработали математический метод для того, чтобы сглаживать острые края, а это крайне важно для изображения гладких контуров кожи и одежды. Компьютерные аниматоры создают трехмерные фигуры, используя многоугольники – фигуры, у которых есть как минимум три стороны, но на получаемых объектах появляются бороздки, как будто их сделали из блоков. С помощью их разбиения на более мелкие части аниматоры находят средние точки каждой из сторон и усредняют их. После многократных повторов этого действия блочные линии изображения с острыми краями превращаются в настоящие плавные кривые. Прямые линии становятся параболами, и на экранах появляется отличительная манера Pixar.

Аниматоры и инженеры в Pixar, может, и достаточны умны для создания новых алгоритмов, но одна из их самых успешных картин «История игрушек 2» (1999) была практически утеряна из-за неосторожной ошибки. Эта лента одна из немногих оценена в 100 % на Rotten Tomatoes, она также взяла «Золотой глобус» за лучший фильм (комедия или мюзикл), но ее могли и вовсе не выпустить, так как кто-то случайным образом удалил файлы с компьютеров в Pixar. Это будет вам дружеским напоминанием, чтобы вы всегда делали резервную копию.

В последние несколько лет математики обнаружили, что популярная игра, в которую сейчас играют на Facebook и на мобильных устройствах, на самом деле является примером одной из самых сложных проблем в математической вселенной. Математические гуру доказали, что игра «Сага Candy Crush» является так называемым классом NP, то есть не существует простого прямого решения этой проблемы, хотя очень легко это решение проверить. Задачи класса NP отличаются от класса P, которые можно быстро решить.

Компьютерные ученые и математики с радостью хотели бы определить раз и навсегда, являются ли задачи класса Р и класса NP принципиально одинаковыми; то есть является ли каждая задача, которую можно легко проверить, той же задачей, которую можно легко решить. Решение этой задачи выдвинуто на премию задачи тысячелетия Институтом Клэя, и тот, кто сможет доказать, правдиво ли равенство P = NP или нет, получит заветный миллион долларов.

Одна из самых популярных игр на Facebook и на мобильных устройствах, игра «Сага Candy Crush» представляет собой игровую доску с разноцветными конфетами, включая лимонные леденцы и красные мармеладки. Игроки должны передвигать конфеты горизонтально или вертикально, чтобы создавать группу из трех одинаковых конфет.

Исследователи проанализировали скрывающуюся математику в игре «Candy Crush», отчасти используя сведение, то есть преобразование одной задачи в другую. Сведение помогает математикам определить, насколько трудно решить ту или иную задачу. Если новую задачу можно преобразовать в изначальную проблему, тогда обе задачи могут считаться одинаково сложными.

Математика может показать основные аспекты человеческого существования, которые, откровенно говоря, поражают разум. Например, какова вероятность того, что вы только что вдохнули молекулы, которые выдохнул на смертном одре тот, кто жил тысячи лет назад? Математика может ответить на этот вопрос с удивительно высокой степенью точности. Как такое возможно?

Проблема и ее решение изложены в книге «Математическая безграмотность и ее последствия» Джона Аллена Паулоса, профессора математики в Темпльском университете в Филадельфии. Паулос спрашивает, можем ли мы определить, вдохнули ли мы в этот самый момент молекулы, которые выдохнул Юлий Цезарь в последнюю секунду своей жизни после того, как Брут нанес ему роковой удар кинжалом. Оказывается, если вы принимаете несколько предварительных условий, то вероятность этого больше, чем 99 %!

1. Во-первых, вы должны считать, что те молекулы, которые выдохнул Цезарь, распространились более или менее равномерно по всей земной атмосфере. (В конце концов, прошло более 2000 лет с момента его смерти.)

2. Во-вторых, вы должны считать, что большинство из них до сих пор свободны (не связаны с другими молекулами).

Теперь начнем: допустим, что в атмосфере всего G (какое-то число) молекул. Еще предположим, что Цезарь выдохнул Z (другое число) из них. Так что вероятность того, что вы вдохнули одну из этих молекул, равна Z/G. Так как вероятности всегда меньше 1, то шанс, что вы не вдохнули одну из этих молекул, равен 1–Z/G.

Теперь представим, что вы вдохнули три молекулы: из-за принципа умножения, вероятность того, что ни одна из этих молекул не была выдохнута Цезарем, равна [1–Z/G]3. Естественно, этот принцип применим к любому числу, поэтому мы можем обобщить, что если вы сейчас вдохнули Т молекул, то вероятность того, что ни одну из них не выдохнул Цезарь, равна [1–Z/G]T.

Поэтому вероятность того, что вы вдохнули хотя бы одну из этих молекул, можно представить, как 1–[1–Z/G]T. А так как Паулос вычислил, что Z и Т, возможно, равны 2,2 × 1022, а G равна 1044, то вероятность составляет около 99. Невероятно.

В этих расчетах о дыхании Цезаря мы сделали ряд (разумных) предположений. Предположения на самом деле играют большую роль в математике в целом. Например, Евклид основывал свои геометрические соображения на пяти постулатах, один из которых утверждает, что прямая линия может быть проведена между двумя любыми точками. А другой – что все прямые углы равны.