Хотя символ ℵ0 наверняка неизвестен большинству читателей, еще один символ для обозначения бесконечности – ∞ – мы все прекрасно знаем. Вы можете вполне резонно спросить, чем же они отличаются Символом ∞ обозначается общая концепция бесконечности, тогда как символ ℵ0 применяется только к бесконечности определенного типа!
Концепция «бесконечности определенного типа» может показаться неправдоподобной, но представленная в одной из предыдущих глав история об отеле Гильберта продемонстрировала два очевидных вывода:
1. Бесконечность + 1 = бесконечность
2. Бесконечность + бесконечность = бесконечность
Вывод о том, что ничего нет больше бесконечности, а также что у всех бесконечностей, так сказать, одна и та же величина, был бы слишком прост. Однако на самом деле бесконечности бывают разных размеров, что можно продемонстрировать с помощью достаточно простого доказательства.
Давайте для начала рассмотрим множество десятичных чисел в диапазоне от 0 до 1. К ним относятся как простые десятичные числа, такие как 0,5, так и числа с гораздо большим количеством десятичных знаков, например 0,736829474638…. Очевидно, что таких десятичных чисел бесконечное множество, поскольку у любого десятичного числа (скажем, 0,9) есть число еще больше (0,99), затем еще больше (0,999) и т. д. Далее мы можем сопоставить бесконечное множество десятичных чисел от 0 до 1 с бесконечным множеством натуральных чисел 1, 2, 3, …. Одно бесконечное множество больше другого или они имеют одинаковую величину?
Для того чтобы определить, какая из бесконечностей больше (в случае, если это вообще возможно), давайте представим, что произойдет, если мы попытаемся сравнить все натуральные числа со всеми десятичными числами от 0 до 1. На первом этапе следует составить список всех натуральных чисел, а затем – отдельный список всех десятичных чисел от 0 до 1. В контексте данного доказательства все натуральные числа должны располагаться по порядку, тогда как десятичные могут находиться в любом порядке. Затем эти списки необходимо разместить рядом друг с другом, по принципу один к одному.
Гипотетически, если бы мы могли сопоставить натуральные и десятичные числа таким способом, то должно быть одинаковое количество чисел обоих типов, а значит, оба бесконечных множества имели бы одну и ту же величину. Однако установление такого взаимно однозначного соответствия невозможно.
Это становится очевидным на последнем этапе анализа бесконечности, который подразумевает создание числа, состоящего из первой цифры первого десятичного числа (в данном случае 7), второй цифры второго десятичного числа (5) и т. д. Это дает нам последовательность 7–5–3–4–1…. Затем, прибавив 1 к каждой цифре (0 → 1, 1 → 2, …, 9 → 0), мы получим новую последовательность: 8–6–4–5–2…. И наконец, ее можно использовать для создания десятичного числа – 0,86452….
Число 0,86452… интересно тем, что оно, по всей вероятности, не может входить в предположительно исчерпывающий список десятичных чисел от 0 до 1. На первый взгляд это утверждение кажется слишком смелым, но его можно проверить. Новое число не может быть первым числом в списке, поскольку мы знаем, что первые цифры не совпадают. Точно так же оно не может быть вторым числом в списке, потому что вторые цифры не совпадают, и т. д. В общем виде это число не может быть n-м числом в списке, так как n-е цифры не совпадают.
Незначительно измененные варианты этого доказательства могут продемонстрировать, что есть еще много других чисел, которые отсутствуют в исходном списке десятичных чисел. Иными словами, если мы попытаемся сопоставить два бесконечных множества, список десятичных чисел от 0 до 1 не может не быть неполным, предположительно потому, что бесконечное множество десятичных чисел больше бесконечного множества натуральных чисел.
Это доказательство представляет собой упрощенную версию диагонального метода Кантора – неопровержимого доказательства, опубликованного Георгом Кантором в 1892 году. Доказав, что некоторые бесконечные множества больше других, Кантор был уверен в том, что бесконечное множество натуральных чисел – это минимальная бесконечность, поэтому обозначил его как ℵ0, где ℵ – первая буква древнееврейского алфавита. Кантор также считал, что множество десятичных чисел от 0 до 1 – это следующее по величине бесконечное множество, поэтому обозначил его как ℵ1 (алеф-один). Поскольку существуют бесконечные множества большего размера, их было бы логично записать как ℵ2, ℵ3, ℵ4,….
Таким образом, хотя в кинотеатре ℵ0-плекс Loews из «Футурамы» бесконечное количество залов, мы теперь знаем, что это минимальное бесконечное множество. Если бы это был кинотеатр ℵ1-плекс, в нем было бы гораздо больше залов.
В «Футураме» есть еще одна ссылка на предложенную Кантором классификацию бесконечных множеств. Математики называют множество ℵ0 счетным бесконечным множеством, потому что оно описывает масштаб бесконечности, который ассоциируется с натуральными числами, тогда как бесконечные множества большей величины обозначаются термином «несчетные бесконечные множества». Как отметил Дэвид Х. Коэн, второй термин упоминается в эпизоде «Мебиус Дик» (Möbius Dick, сезон 6, эпизод 21; 2011 год): «Мы ненадолго попадаем в эту странную четырехмерную вселенную, где встречаем множество копий Бендера, вращающихся вокруг друг за другом, а затем он возвращается в реальный мир и говорит: “Это была самая крутая несчетная бесконечная толпа парней, которую я когда-либо встречал”».
Глава 16
Односторонняя история
В эпизоде «Мебиус Дик» космический корабль «Межпланетный экспресс» путешествует по галактике и случайно попадает в Бермудский тетраэдр, космическое кладбище десятков знаменитых исчезнувших кораблей. Экипаж «Межпланетного экспресса» решает исследовать эту область пространства, но тут на них нападает внушающий ужас четырехмерный космический кит, которому Лила дает имя Мебиус Дик.
В этом имени содержится как ссылка на роман Германа Мелвилла «Моби Дик», так и на удивительный математический объект, известный как лента Мебиуса, или петля Мебиуса. Ленту Мебиуса независимо друг от друга открыли в XIX столетии немецкие математики Август Мебиус и Иоганн Листинг. Воспользовавшись следующими простыми инструкциями, вы сами можете построить такую ленту. Вам понадобится:
1) полоска бумаги;
2) скотч.
Сначала возьмите полоску бумаги и переверните ее на пол-оборота, как показано на рисунке ниже. Затем склейте два конца полоски скотчем, чтобы получить ленту Мебиуса. Вот и все. Лента Мебиуса – это, по сути, петля с поворотом.
На первый взгляд в ленте Мебиуса нет ничего особенного, но простой эксперимент позволяет раскрыть одно ее удивительное свойство. Возьмите маркер и нарисуйте линию вдоль ленты, не отрывая кончик маркера от бумаги и не пересекая край, до тех пор пока не вернетесь в исходную точку. Вы заметите две вещи: во-первых, для того чтобы вернуться в исходную точку, вам понадобится пройти два круга; во-вторых, ваша линия пройдет по каждой стороне ленты. Это очень странно, поскольку мы исходим из предположения, что у листа бумаги две стороны, на которых можно нарисовать линию только тогда, когда вы можете оторвать перо от бумаги или обогнуть край. Так что же происходит в случае ленты Мебиуса?
Лист бумаги имеет две стороны (верхнюю и нижнюю), и сделанная из бумаги петля также имеет две стороны, но лента Мебиуса отличается наличием одного необычного свойства: у нее только одна сторона. Две стороны исходной полоски бумаги превратились в одну после того, как один конец полоски был перевернут перед соединением. Это необычное свойство ленты Мебиуса лежит в основе моей третьей любимой математической шутки:
Вопрос: Зачем цыпленок перешел ленту Мебиуса?
Ответ: Чтобы попасть на другую сторону… ну… в общем…
Хотя на самом деле мы не видим ленту Мебиуса в эпизоде «Мебиус Дик», это весьма прозрачный намек на планы включить эту необычную математическую шутку в следующий эпизод «Футурамы». Когда я осенью 2012 года встречался с Дэвидом Х. Коэном в офисе «Футурамы», он рассказал мне об одном из эпизодов следующего сезона[53] под названием «Двумерное шоссе» (2-D Blacktop)[54], в котором главную роль играет профессор Фарнсворт. Коэн объяснил, что по сюжету эпизода пожилой владелец компании «Межпланетный экспресс» превращается в помешанного на скорости типа, который увеличивает мощность двигателя космического корабля для того, чтобы принять участие в гонках по гоночной ленте Мебиуса. Интересное свойство такого маршрута состоит в том, что Фарнсворту понадобится пройти два круга, прежде чем он сможет попасть в исходную точку.
