Почему же эти задачи получили столь высокую оценку в существующей системе научных ценностей? Здесь нам придется обратиться к изложенному в предыдущих разделах.
Как мы уже неоднократно отмечали, с самого начала развития вторичной знаковой системы понятиям цифра и счет придавалось некоторое мистическое значение вплоть до появления откровенно сакрального, тайного учения — Каббалы. Это пошло от пифагорийской и птолемеевской школ, когда отдельные закономерности нашей Вселенной были представлены в виде простых числовых зависимостей и приобрели в сознании адептов указанных учений самостоятельное значение. Явно или неявно действовал лозунг «Цифра правит миром». Это породило надежды на»«ограниченные возможности ЭВМ в области эвристики. Хотя существуют и эвристические программы, и программы, формулирующие и доказывающие новые математические теоремы, но потенциала человеческого мозга они не достигают и в обозримом будущем вряд ли достигнут. Все дело в том, что самостоятельно циркулирующая в любой, даже самой сложной системе (типа Интернета) информация не имеет внутренних критериев выживания, то есть полностью зависит от производителей элементов этой системы: например, система «равнодушна» к отключению, перезаписи и пр. Даже программы защиты информации сами по себе никаких собственных целей не преследуют и не имеют причин «защищаться» от знающего их человека-оператора. В этом-то и заключается разница между информацией в ЭВМ и информацией в биологических, сформировавшихся естественным путем живых существах. Наиболее подходящим здесь представляется словосочетание воля к жизни, но в более широком, чем у философов, смысле.
Гипотеза Бёрча и Швиннертона-Дайера
Математики были всегда очарованы проблемой описания всех решений целых чисел х, у, z и алгебраическими уравнениями типа
х2 + у2 = z2.
Евклид дал полное решение данного уравнения, но для более сложных уравнений решение становится крайне трудным. Действительно, в 1970 году Ю. В. Матусевич показал, что десять проблем Гилберта являются нерешаемыми, так как нет общего метода определения того, когда такие уравнения имеют решения в целых числах. Но в некоторых случаях можно на что-то надеяться. Когда решения являются точками абелианского множества, гипотеза Бёрча и Швин-нертона-Дайера утверждает, что часть группы рациональных точек описывает поведение соединенной «зета» функции z (s) около точки s = 1. В частности, эта удивительная гипотеза утверждает, что если z(1) равно или приближается к нулю, то там есть бесконечное число рациональных решений, и, соответственно, если z (1) не равно нулю, то там есть только конечное число таких решений.
Проблемы описания действий над целочисленными множествами с помощью алгебраических уравнений типа
х2 + у2 = z2
на современном этапе решаются с привлечением ЭВМ и на основе использования достаточно простых алгоритмов, огромного объема вычислений и на последнем этапе — отбора полученных решений по определенным критериям.
Хотелось бы подчеркнуть, что в описанной задаче неявно просматривается идея Каббалы — самозначимость множества цифр, которым придается сакральное значение. Ведь что такое “единица»? Это ступенька перехода количества в качество, когда набор каких-либо элементов (однородных или неоднородных) образует объем, определяемый и выделяемый из окружающего мира: атом, кирпич, человек, Солнечная система и пр. Придавать единице особое, мистическое, значение вред ли целесообразно.
Однако у многих математиков всегда присутствует желание свести все к единым, по возможности целочисленным решениям и, соответственно, к единой формуле. Конечно, идеальное представление позволяет более или менее адекватно представить окружающую нас Вселенную, но не всегда и не везде действуют законы простых чисел. В частности, в особых точках (нуле или разрыве функции) решения всегда значительно усложняются. Математически это ведет к неоднозначности результатов и по формальным признакам дает возможность спекулятивных (как толковали «многозначность» в средневековье) решений. Но при математических преобразованиях теряется смысл этих решений. Нуль и единица, относящиеся к любому конкретному объекту, обозначают всего лишь его отсутствие или этап для дальнейшего счета. Поэтому разговор о стремящемся к нулю или равном нулю объекте физической Вселенной представляется уходом в ту область, откуда (при определенных граничных условиях) может появиться либо этот предполагаемый объект, либо нечто иное, либо вообще ничего.
В области вблизи единицы тоже не для всех объектов ясно, что надо прибавить или убавить для того, чтобы исследуемый объект оставался именно тем, чем мы его считаем.
В гипотезе, естественно, есть определенный практический смысл, но возникает вопрос о полноте отображения граничных условий при исчезающе малых их значениях или вообще при их отсутствии, а это уже — типичный случай выбора стратегии аналогово-цифрового аппарата.
Если мы натянем резиновую ленту вокруг поверхности яблока, то затем мы можем медленно стянуть ее вниз, в точку без разрыва, и не допуская соскальзывания с поверхности. Если же мы представим себе, что в другой руке такая же лента натянута вокруг бублика, то понятно, что невозможно стянуть резиновую ленту к такой же точке без разрыва ленты или разрушения бублика. Мы говорим, что поверхность яблока «просто соединена» (непрерывна), а поверхность бублика — нет. Пуанкаре больше ста лет назад понял, что двухмерная сфера существенно характеризуется этим свойством «простого соединения», и поставил вопрос о трехмерной сфере (набор точек в четырехмерном пространстве на одинаковом расстоянии от рассматриваемой фигуры-оригинала). Этот вопрос очень труден, и математики бьются над его решением до сих пор.
В XX веке математики открыли эффективные пути исследования форм сложных объектов. Основным является вопрос о том, до какой степени сложности мы можем приближать предлагаемые объекты, соединяя их вместе из простых геометрических блоков увеличивающихся размеров. Эта технология обещает быть очень сильной и должна привести к образованию мощных инструментов, которые позволят математикам достичь большого прогресса в каталогизации всего многообразия объектов исследования. К сожалению, геометрические начала этого процесса я рамках данного представления остаются неясными. В некоторых случаях приходится подставлять куски, не имеющие никакой геометрической интерпретации. В предположении Ходжи утверждается, что для каждого вида пространства, определяемого алгебраическим многообразием, фигуры, называемые кругами Ходжи, рационально-линейно формируются из геометрических фигур, называемых алгебраическими кругами.
В обеих задачах ставится очень важный практический вопрос о возможности описаний и вычисления многомерной поверхности, что необходимо для расчетов пространственных взаимодействий, например, химических реакций, тепло- и массопереноса и т. д. Здесь ответ на вопрос определяется рациональным выбором системы координат. Обычно используются прямоугольные системы, а полярные существенно упрощаются, что делает неизбежными ошибки даже при наиболее простых работах на поверхности геоида (Земли). Применение же более сложных систем неевклидовой геометрии, четырехмерных и более пространств либо сопровождается значительным увеличением объемов расчетов, либо ведет к многозначности ответа, либо происходит и то и другое вместе.
Предложения о сведении любой структуры к набору достаточно простых (в смысле математического описания) геометрических фигур являются перспективными. Но! По формальным признакам, что осложняет перенос решений в ЭВМ, возникают особые точки; где решения неоднозначны.
Предложенная задача Ходжи и является одной из попыток как-то скорректировать неоднозначность решения. При ее решении представляется наиболее разумным применить аналого-цифровой подход.
Известная нам Вселенная в своей основе состоит из полевых структур, в частности атомных и субатомных, образующих и так называемую материю-субстрат с более или менее определенными границами. Каждая частица имеет границу объема, далее которой она перестает быть сама собой. Определение этой границы является аналоговой операцией, констатирующей, где происходит переход количества в качество. Далее происходит просто цифровой счет. Это и есть наиболее общее решение задачи. Автор считает, что, скоординировав работу известных ему специалистов и финансируя эту работу так, как она того заслуживает, и посвятив ей лет 5–6, он мог бы получить как одно из решений этой задачи, так и несколько сопутствующих решений задач, здесь не приведенных по определению эталонных значений и систем координат, но предпочитает оставить эту рутинную (в хорошем смысле слова) работу коллективам математиков и физиков. К тому же примерная стоимость экспериментов и расчетов на 2 порядка превысит размер объявленной премии.
