Потребовалась бы несколько иная тактика, если бы мы столкнулись с необходимостью вычесть известное число из неизвестного, как в уравнении х – 2 = 5. Чтобы выделить x в этом случае, мы избавляемся от 2, добавив ее в обе части уравнения. Следовательно, слева будет х, а справа 5 + 2 = 7. Таким образом, x = 7, что вы, конечно, уже поняли.
Хотя этот метод сейчас знаком всем студентам, изучающим алгебру, они не осознают, что от него произошло само понятие алгебры. В начале IX века работавший в Багдаде математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми38 написал фундаментальный учебник, в котором говорилось, что к обеим частям уравнения следует прибавлять величину, равную вычитаемой величине (число 2 в приведенном выше примере). Он назвал этот процесс al-jabr (по-арабски «восстановление»), что позже трансформировалось в «алгебру». Затем, спустя много лет после своей смерти, он опять выиграл этимологический джекпот, поскольку его собственное имя, аль-Хорезми, живет и доныне в слове «алгоритм».
В своем учебнике, прежде чем начать пробираться сквозь хитросплетения вычислительного наследия прошлого, аль-Хорезми описал более сложный класс уравнений, воплощающий соотношение между тремя видами чисел, а не только теми двумя, которые мы рассматривали выше. Наряду с известными числами и неизвестными (х) в эти уравнения также включены квадраты неизвестных (x2). Они теперь называются квадратными уравнениями, от латинского quadratus, то есть «квадрат». Древние ученые в Вавилоне, Египте, Греции, Китае и Индии уже бились над головоломками, часто возникающими в архитектурных или геометрических задачах, связанных с определением площадей или пропорций, и показали, как решать некоторые из них.
Например, аль-Хорезми рассмотрел квадратное уравнение
x2 + 10x = 39.
Однако в его время такие задачи формулировались устно, а не в виде уравнений. Он задал вопрос: «Какая площадь при увеличении на десять собственных корней дает 39?» (Здесь термин «корень» относится к неизвестным х).
Эта задача гораздо сложнее, чем те две, которые мы рассматривали выше. Как мы можем выделить х сейчас? Приемы, используемые ранее, неэффективны, так как члены уравнения x2 и 10x здесь наступают друг другу на пятки. Даже если удастся освободиться от x в одном из них, другой член остается связанным. Например, если мы разделим обе части уравнения на 10, 10x сократится до x (к чему мы и стремились), но x2 превратится в x2/10, что нисколько не приближает нас к желаемому результату. Основным препятствием является то, что мы хотим одновременно сделать две, по-видимому, несовместимые вещи.
На предложенном аль-Хорезми решении квадратного уравнения стоит остановиться подробнее. Во-первых, потому что оно блестяще, а во-вторых, потому что оно настолько мощное, что позволяет решать все квадратные уравнения одним махом. Это означает, что, если известные числа 10 и 39 из нашего уравнения поменять на другие, метод все равно будет работать.
Идея аль-Хорезми состоит в том, чтобы представить каждое из слагаемых в уравнении геометрически. Первый член x2 — это площадь квадрата со стороной x.
Второй член 10x можно рассматривать как площадь прямоугольника 10 на х, или, более изощренно, как площадь двух равных прямоугольников, каждый размером 5 на х. (Разбиение прямоугольника на два меньших готовит почву для основного маневра, который последует далее, — получения полного квадрата.)
Прикрепите два новых прямоугольника к площади x2 для получения г-образной фигуры x2 + 10x:
В таком случае головоломка аль-Хорезми сводится к вопросу: если г-образная фигура занимает 39 квадратных единиц площади, то каким должен быть х?
Изображение само по себе неуклонно подталкивает к следующему шагу. Посмотрите на пустой угол. Если бы он был заполнен, то г-образная фигура превратилась бы в идеальный квадрат. Учтем это наблюдение и заполним квадрат.
Помещение в пустой угол квадрата 5 × 5 добавляет 25 квадратных единиц к уже существующей площади х2 + 10х и в общей сложности дает x2 + 10x + 25. Это равносильно выражению общей площади в виде (x + 5)2, так как каждая сторона заполненной площади равна х + 5 единиц.
Между тем, поскольку мы добавили 25 единиц к левой части уравнения x2 + 10x = 39, для сохранения баланса следует добавить 25 и к его правой части. Так как 39 + 25 = 64, то наше уравнение превращается в
(х + 5)2 = 64.
Это уравнение наверняка решаемо. Вычисляя квадратные корни из его обеих частей, получаем х + 5 = 8 и, следовательно, х = 3.
Число 3 действительно является корнем уравнения х2 + 10x = 39. Если возвести 3 в квадрат, получится 9, а затем добавить 10 раз по 3 (выйдет 30), то общая сумма составит 39, что и требовалось доказать.
В этом решении есть одна загвоздка. Если бы аль-Хорезми занимался алгеброй сейчас, то он не получил бы «полного доверия» к такому ответу, так как не упомянул, что отрицательное число х = –13 тоже является корнем. Возведение его в квадрат дает 169, умножение на 10 даст –130, а их сумма составит 39. Но это отрицательное решение в древние времена было бы проигнорировано, поскольку квадрат со стороной отрицательной длины геометрически не имеет смысла. Сегодня алгебра меньше обязана геометрии, и мы считаем положительные и отрицательные решения одинаково правильными.
Только спустя несколько столетий после смерти аль-Хорезми ученые пришли к пониманию, что все квадратные уравнения могут решаться аналогичным способом — путем заполнения квадратов до тех пор, пока они склонны это позволять отрицательным числам (и их квадратным корням), которые часто встречаются в ответах. Такая линия аргументации выявляет, что решения любых квадратных уравнений
ax2 + bx + c = 0
(где a, b, c — известные, но произвольные числа, а х — неизвестная) могут быть представлены в виде формулы для вычисления их корней
Что такого примечательного в этой формуле и насколько она точна и всеобъемлюща? Ответы находятся прямо в ней: она работает при любых коэффициентах a, b и c. Учитывая наличие бесконечного множества возможных вариантов значений каждого из них, для одной формулы это уже немало.
В наше время квадратные уравнения стали незаменимым инструментом для практического применения. Инженеры и ученые используют их для настройки радиоаппаратуры, анализа вибрации пешеходных мостов и небоскребов, расчетов движения пушечного ядра, снижения и роста популяции животных и бесчисленного множества других явлений реального мира.
Для формулы, родившейся тринадцать веков назад, это совсем немало.
11.Инструменты силы
Если вы были страстным любителем телевидения в 1980-х, то, конечно, помните сериал под названием «Детективное агентство “Лунный свет”» с живыми диалогами и романтическими отношениями между партнерами по фильму. В нем пару проницательных частных детективов Дэвида Эддисона и Мэдди Хэйс исполняли Брюс Уиллис и Сибилл Шепард.
В ходе расследования одного особенно жестокого дела Дэвид интересуется у помощника, кто ему кажется наиболее вероятным преступником. «Ума не приложу», — отвечает Мэдди. «А вы знаете, чего я не понимаю?» — спрашивает Дэвид. «Логарифмов?» — догадывается помощник. И Дэвид, реагируя на взгляд Мэдди, произносит: «А что? Вы их понимаете?»
Это довольно точно отражает всеобщее отношение к логарифмам. Большинство людей после окончания средней школы их никогда уже больше не используют, по крайней мере осознанно, и не обращают внимания на логарифмы, скрывающиеся за кулисами повседневной жизни.
То же самое касается и многих других функций39, рассматриваемых в высшей математике и началах анализа. Степенные функции, показательные функции — в чем их суть? В этой главе я хочу помочь вам по достоинству оценить их полезность, даже если вам никогда не приходилось нажимать на кнопки инженерного калькулятора.
Математику необходимы функции по той же причине, что и строителю молотки и сверла. Инструменты преобразовывают вещи. То же самое делают функции. Поэтому математики часто обращаются к ним для выполнения преобразований. Но вместо дерева и стали функции обрабатывают числа и графики, а порой и другие функции.
