Действительно, комплексные числа необходимы всем инженерам. В авиационно-космической промышленности они облегчили расчеты подъема крыла самолета. Инженеры-строители и инженеры-механики регулярно используют их для анализа вибрации элементов пешеходных мостов, небоскребов и автомобилей на ухабистой дороге.
Поворот на 90° также проливает свет на то, что на самом деле означает i2 = –1. Если мы умножим положительное число на i2, то стрелка, равная длине положительного числа, повернется на 180° в направлении с востока на запад, так как производится два поворота на 90° (по одному для каждой степени i), в итоге — на 180°.
Но умножение на –1 делает такое же сальто на 180°. Вот поэтому i2 = –1.
Компьютеры вдохнули новую жизнь в комплексные числа и вековую проблему извлечения корней. Когда ПК не используются нами для веб-серфинга или отправки и получения электронной почты, они на наших столах способны обнаружить такое, что древние и представить себе не могли.
В 1976 году мой коллега по Корнуолльскому университету Джон Хаббард попытался применить в задачах по динамике метод Ньютона30, мощный алгоритм для поиска корней уравнений в комплексной плоскости. В соответствии с этим методом выбирается начальное значение (близкое к значению корня) и неоднократно производятся определенные вычисления. При этом на каждом последующем шаге используется значение, полученное на предыдущем. Этот метод позволяет быстро приблизиться к корням уравнения.
Хаббард заинтересовался множественными корнями. Какой из множественных корней можно найти методом Ньютона? Хаббард доказал, что из двух корней всегда будет найден тот, который наиболее близок к начальному значению. Однако при наличии трех и более корней его предыдущее доказательство не сработало.
Тогда Хаббард провел так называемый численный эксперимент. Он запрограммировал компьютер на выполнение метода Ньютона, настроив устройство так, чтобы оно маркировало цветом миллионы различных начальных значений в соответствии с тем, к какому корню они приближались, и меняло интенсивность цвета в зависимости от скорости их приближения к корню.
До того как Хаббард увидел результат, он предполагал, что к корням уравнения быстрее всего притянутся наиболее близкие к ним по значению, и это отобразится в виде ярких точек на сплошном цветовом пятне. Но вот границы между пятнами? О них он даже не думал.
Компьютер выдал неожиданный результат.
Пограничная область между пятнами напоминала психоделические галлюцинации31. Цвета в ней смешивались беспорядочно, соприкасаясь друг с другом в невероятно большом количестве точек. Они всегда располагались в трех направлениях. Другими словами, где бы ни появлялись два цвета, между ними всегда присутствовал третий.
Расширение границ выявило наличие пятен внутри пятна.
Структура была фрактальной32 — сложной формы, внутренняя структура которой повторялась во все более мелких масштабах.
Кроме того, вблизи границы царил хаос. Две точки могли вначале находиться очень близко друг к другу, какое-то время попрыгать рядышком, а потом разойтись к разным корням. Выбранный корень был так же непредсказуем, как выигрышные числа при игре в рулетку. Мелочи, крошечные, незаметные изменения в начальных условиях могли полностью изменить всю картину.
Работа Хаббарда была одной из первых вылазок в область науки, ныне называемой комплексная динамика, — потрясающее сочетание теории хаоса, комплексного анализа и фрактальной геометрии. В некотором смысле это позволило геометрии вернуться к своим корням. В 600 году до Рождества Христова руководство для строителей храма в Индии33, написанное на санскрите, давало подробные инструкции, как при проектировании ритуальных алтарей вычислять квадратные корни. Спустя свыше 2500 лет математики все еще ищут корни, но в настоящее время инструкции пишутся в двоичном коде.
9. Ванна моя преисполнена[11]
Дядюшка Ирв был братом моего отца и его компаньоном. Они владели обувным магазином в нашем городе. Так вот, он хорошо разбирался в практической стороне вещей и по большей части находился наверху в своем кабинете, потому что лучше управлялся с цифрами, чем с клиентами.
Когда мне было лет десять или одиннадцать лет, дядя Ирв задал мне мою первую арифметическую задачу34. Этот день навсегда врезался мне в память, вероятно, потому, что я ошибся и чувствовал смущение.
В условии задачи говорилось о заполнении ванны водой35. Если включить кран с холодной водой, то ванна наполнится за полчаса, а если с горячей — то за час. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить ванну, когда включены оба крана?
Я уверенно, вероятно, как и многие из вас, ответил: «Сорок пять минут». Дядюшка Ирв покачал головой и усмехнулся. И своим высоким гнусавым голосом он преподал мне урок.
«Стивен, — обратился ко мне он, — скажи, сколько воды будет в ванне через минуту». Холодная вода заполняет ванну за 30 минут, так что за одну минуту она заполнит ее часть. Но горячая вода льется медленнее и наполнит ванну через 60 минут, то есть за минуту она заполнит только часть ванны. Поэтому, когда вода льется из обоих кранов, она заполняет + ванны за минуту.
Чтобы сложить эти дроби, обратите внимание, что наименьший общий знаменатель равен 60. Преобразовав в , получаем
Это означает, что вода из двух кранов за минуту заполнила ванны. Следовательно, ванна наполнится через двадцать минут.
С тех пор на протяжении многих лет я неоднократно вспоминал о той ванне, причем всегда с любовью к дядюшке Ирву и самой задаче. Мне преподали урок, как просто ради удовольствия решать задачи, основываясь на интуиции, и как найти приближенное решение, если сложно отыскать точное.
Рассмотрим мое первоначальное предположение — 45 минут — и, решив задачу интуитивно (в соответствии со здравым смыслом), поймем, что этот ответ не может быть правильным. Действительно, он абсурден. Чтобы понять почему, предположим, что горячая вода отключена, тогда холодная вода заполнит ванну за 30 минут. Поэтому какой бы дядюшка Ирв ни задал вопрос, ответ должен быть «меньше 30 минут»; если в ванну льется не только холодная, но и горячая вода, то ванна заполнится быстрее.
Правда, этот вывод не столь убедителен, как ответ «20 минут», который мы получили методом, предложенным дядюшкой Ирвом, зато он не требует никаких расчетов.
Другой способ упростить задачу — предположить, что вода из обоих кранов течет с одинаковой скоростью. Причем ванна при одном открытом кране заполняется за 30 минут. Тогда очевидно, что она наполнится за 15 минут, так как каждый кран выполнит половину работы.
Отсюда сразу становится ясно, что, по расчетам дядюшки Ирва, наполнение ванны должно занимать больше пятнадцати минут. Почему? Потому что «быстрый + быстрый» побьет «медленный + быстрый». Наша условно симметричная задача имеет два быстрых крана, в то время как у дядюшки Ирва один медленный и один быстрый. А поскольку 15 минут — ответ задачи для двух быстрых кранов, то ванна дядюшки Ирва будет наполняться дольше.
Получается, что благодаря рассмотрению двух гипотетических случаев — в первом ванна заполняется только холодной, так как горячая отключена, а во втором — горячей и холодной с одинаковой скоростью, — мы узнали, что ответ лежит в пределах 15–30 минут. В более сложных задачах, где порой невозможно найти точный ответ, и не только в математике, но и в других областях, такой подход может очень пригодиться.
Даже если вы все-таки найдете точное решение, не стоит самоуспокаиваться. Данную задачу можно решать более простыми способами. Это единственное место, где математика дает простор творчеству. Например, помимо метода дядюшки Ирва (с помощью обыкновенных дробей, приведенных к общему знаменателю), есть более забавный маршрут, приводящий к тому же результату. Несколько лет спустя, когда я попытался определить, почему эта задача настолько запутанна, до меня дошло, что в первую очередь из-за разных скоростей кранов. Необходимость следить, каков вклад каждого крана в наполнение ванны, вызывает напряжение. Особенно если вы можете представить такую картину: горячая и холодная вода плещется из кранов, перемешиваясь в ванне.
Так что давайте не смешивать два вида воды, по крайней мере в нашей голове. Вместо одной ванны представим себе две разные конвейерные ленты с движущимися ваннами с отдельными кранами с горячей и холодной водой.
Из каждого крана наполняется одна ванна — перемешивание не допускается. И как только одна ванна наполняется, она движется далее по конвейеру, уступая место следующей.
