«После полувека железнодорожных перевозок мы все еще используем на путях только прямые линии и круги, — писал американский инженер Эллис Холбрук в 1880 году. — Создается впечатление, что железнодорожники принимают такое варварское сочетание как должное, даже не задавая вопросов по поводу того, что здесь не так» [11]. Холбрук нашел следующее решение: делать между прямым и круговым участками переходную кривую, на которой поезд, двигающийся с постоянной скоростью, находится под воздействием центростремительной силы, линейно увеличивающейся на протяжении определенного периода. Поскольку центростремительная сила рассчитывается по формуле , где m и v — это константы, для того чтобы эта сила росла по линейному закону, переходная кривая должна иметь кривизну .
Прежде чем вернуться к кривой Холбрука, давайте более внимательно рассмотрим концепцию . Математики называют эту величину кривизной окружности с радиусом r, которая представляет собой меру отклонения окружности от прямой линии. На рисунке ниже изображены две окружности: маленькая окружность с радиусом r и большая с радиусом R; обе касаются пунктирной линии в одной точке. Кривизна малой окружности больше кривизны большой окружности, поскольку она сильнее отклоняется от прямой. Для того чтобы понять концепцию кривизны окружности, можно представить ее себе как меру «стянутости»: чем меньше радиус окружности, тем сильнее она стянута, а значит, ее кривизна больше.
Чем меньше радиус окружности, тем больше ее кривизна
Кривизна окружности с радиусом r равна в любой точке окружности. С другой стороны, кривизна кривой (такой как на нижнем рисунке) постоянно меняется по мере перемещения по ней. Для того чтобы вычислить кривизну кривой в любой ее точке, необходимо построить «наиболее подходящую» окружность, которая касается кривой и максимально приближена к ней в этой точке. Я нарисовал максимально приближенные окружности в точках А и В. Поскольку радиусы этих окружностей — а и b, кривизна кривой в точке А равна , в точке В — . Чтобы понять концепцию максимально приближенной окружности, можно представить себе, что кривая — это дорога. Вы едете по ней на автомобиле, и у вас заклинивает руль, скажем, в точке А. Если вы продолжите движение, его траектория и будет представлять собой максимально приближенную окружность в точке А.
Таким образом, идея Холбрука состояла в том, чтобы делать часть дороги в форме кривой, кривизна которой увеличивается линейно по мере перемещения по этому участку, поскольку именно на такой кривой объект находится под воздействием центростремительной силы, растущей по линейному закону [12]. Возможно, Холбрук даже не знал о том, что, по сути, описывает знаменитую кривую, впервые изученную Леонардом Эйлером в XVIII столетии. Речь идет о кривой под названием «клотоида»22, которая изображена на рисунке ниже.
Клотоида
Начиная с конца XIX века клотоида (или, скорее, ее центральный фрагмент) стала стандартной переходной кривой на железных дорогах. Представьте себе, что участок прямой дороги трансформируется в такую кривую в точке 0 и далее следует вдоль нее. Кривизна постепенно увеличивается до тех пор, пока не сравняется с кривизной кругового участка. Когда в ХХ столетии на доминирующие позиции вместо поезда вышел автомобиль, клотоида по той же причине превратилась в основной элемент проектирования дорог [13]. Это самая подходящая кривая для езды на автомобиле между прямым и круговым участками дороги. Сеть автомагистралей — живой музей клотоид. Эти характерные кривые до сих пор используются в качестве формы поворотов на автомагистралях, скользких дорогах и особенно часто — на многоуровневых дорожных развязках с множеством переходов от прямых к круговым участкам. Если бы вы были инопланетянином, пролетающим на низкой высоте над сельской местностью, испещренной автомобильными дорогами и железнодорожными путями, вы вполне могли бы прийти к выводу, что клотоида — любимая кривая человечества.
Клотоида также решила проблему проектирования аттракционов, позволив найти ответ на вопрос, какова самая безопасная форма американских горок с мертвой петлей. В середине XIX века парижский инженер М. Клавьер сконструировал аттракцион, на котором одна вагонетка съезжала вниз по прямому участку, а затем делала резкий кувырок вдоль петли высотой почти четыре метра, прежде чем выйти на прямой участок поменьше, ведущий вверх к конечной остановке [14]. Во Франции было построено несколько таких «подвесных железных дорог», но вскоре все их закрыли из-за большого количества травм шеи, полученных людьми в момент перехода с прямого на круговой участок. После этого более ста лет организаторы аттракционов считали, что сделать безопасную мертвую петлю невозможно.
Аттракцион с мертвой петлей. Гавр, 1846 год
Из журнала: L’Illustration, 1846
Так продолжалось до тех пор, пока в 1970-х годах немецкий инженер Вернер Штенгель не проанализировал проблему и не пришел к выводу, что ее может решить клотоида. Штенгель сконструировал первый современный аттракцион с мертвой петлей под названием Great American Revolution, который начал функционировать в 1976 году в парке аттракционов Six Flags Magic Mountain. Вагонетка спускается вниз по слегка наклоненному прямому участку трассы, после чего переходит на участок клотоиды и движется по нему до тех пор, пока радиус кривой не достигнет значения 7 метров; в этот момент вагонетка начинает делать петлю, как показано на рисунке ниже. Вагонетка находится на круговом участке с радиусом 7 метров примерно до половины полного оборота, а затем зеркальная версия первой клотоиды подхватывает вагонетку и возвращает на прямой участок. «Это очень мягкий переход, — сказал Штенгель. — Изменение силы позволяет сделать эффектную американскую горку, но оно должно быть приемлемым для организма».
Аттракцион Great American Revolution сразу же обрел такую популярность, что даже получил дань уважения в стиле семидесятых, став темой фильма-катастрофы Rollercoaster (в русском прокате — «Русские горы»), в котором преступники планируют взорвать бомбу в день открытия аттракциона. С тех пор во всем мире было открыто около двухсот аттракционов такого типа, построенных по тому же принципу, что и аттракцион Штенгеля. Аттракцион в форме перевернутой капли, сконструированный с применением клотоиды, — это и современный символ нашей ненасытной жажды захватывающих приключений, и памятник математике Исаака Ньютона. Клотоида — механическая кривая, получившая второе воплощение в виде стального монстра, поражающего воображение.
Оригинальный чертеж аттракциона Great American Revolution, выполненный Вернером Штенгелем
© Вернер Штенгель
Физические законы Ньютона проросли из крохотного зерна бесконечно малых величин — величин, которые меньше всего остального, но больше нуля. Однако, несмотря на их плодотворную роль в создании новой науки, концепцию малых величин подвергали критике за внутреннюю противоречивость. «Что это за… крохотные приращения? — упорствовал философ и епископ Джордж Беркли. — Это и не конечные величины, и не бесконечно малые величины, и даже не ничто. Почему бы нам не называть их призраками величин, ушедших в мир иной?» [15]. Резкие замечания Беркли вызывали ропот среди ученых, вполне справедливо считавших исчисление величайшим математическим достижением эпохи Просвещения. Но все же священник был в какой-то мере прав. Хотя концепция бесконечно малых величин и обеспечивала получение правильных ответов, она не была до конца продуманной с научной точки зрения. Полемика, которую спровоцировал Беркли, поставила математиков на путь переоценки ценностей и самокритики. Какие концепции приемлемы, а какие — нет? В какой мере математика должна соответствовать здравому смыслу?
9. Назвние етой главы содержит три ошбки
Предлагаю вам решить головоломку. Однажды я поднялся на гору, переночевал на вершине, а на следующий день спустился вниз по тому же маршруту. Есть ли такая точка, в которой я был в одно и то же время в разные дни?
Подумайте об этом секунду.
Или две.
Ответ: да. Представьте себе, что оба путешествия происходят в один день. Если я одновременно поднимаюсь вверх и спускаюсь вниз, неизбежно наступит момент, когда я столкнусь с самим собой, и тогда значения времени и высоты совпадут.
Если вы примете аргумент о том, что в оба дня должен быть момент времени, когда я находился на одной высоте, я доволен: мое доказательство сделало свое дело. Математическое доказательство — это всего лишь инструмент, используемый одним человеком для того, чтобы убедить другого человека в истинности математического утверждения — а я вас убедил [1].
