Если вы примете аргумент о том, что в оба дня должен быть момент времени, когда я находился на одной высоте, я доволен: мое доказательство сделало свое дело. Математическое доказательство — это всего лишь инструмент, используемый одним человеком для того, чтобы убедить другого человека в истинности математического утверждения — а я вас убедил [1].
Однако более требовательного математика могут не удовлетворить мои доводы. Он может отбросить их по причине недостаточной строгости. Где доказательство того, что я столкнусь сам с собой? Давайте нарисуем график, отображающий мое восхождение от подножия горы на высоте А к ее вершине на высоте В, а также наложим на него маршрут моего спуска на следующий день, как показано на рисунке ниже. Теперь вопрос стоит по-другому: существует ли точка, в которой эти две линии пересекутся? Большинство читателей ответят: конечно же, есть! Но придирчивого математика мне так и не удалось убедить.
До конца XVIII века считалось, что если кривая поднимается от высоты А до высоты В, то она обязательно должна пройти каждую точку между А и В. На интуитивном уровне это утверждение кажется очевидным. В действительности оно согласуется с тем, как определялась тогда непрерывная кривая. Однако, когда математики внимательнее проанализировали свойства непрерывности, они пришли к выводу о необходимости более четких определений. Утверждения, которые воспринимались раньше как нечто само собой разумеющееся, были переведены в категорию теорем, требующих доказательства на основании еще большего количества исходных предположений. К их числу относилось и приведенное выше утверждение о том, что непрерывная кривая с минимальным значением А и максимальным значением В обязательно должна пройти все промежуточные значения; сейчас оно известно как теорема о промежуточном значении. Но ее доказательство настолько сложное, что его изучают только в университетах, хотя его будет достаточно, чтобы убедить нашего дотошного друга. В итоге он согласится с тем, что две кривые на представленном выше графике пересекаются в определенной точке, поскольку это утверждение вытекает из доказательства за несколько шагов.
Маршрут восхождения на вершину горы и спуска к ее подножию
Эксперименты — движущая сила науки. Доказательства — движущая сила математики. Существует множество способов проведения экспериментов, так же как и множество методов доказательств математических утверждений. В этой главе мы рассмотрим некоторые из них. Кроме того, проанализируем, как изменилось отношение к доказательствам, и пообщаемся с анонимным членом тайного общества, исповедующего математическую строгость. Но сначала давайте перекусим.
Теорема о промежуточном значении может показаться очевидной, но у нее есть ряд интересных следствий. Одно из них — теорема о блинах, которую я предпочитаю описывать в менее сладких выражениях. Если вы рассыплете на столе соль (или подадите блины), мы можем доказать наличие прямой, которая делит соль (или блинчик) на две части равной площади, причем прямая может быть проведена под каким угодно углом [2]. Метод, с помощью которого это делается, представлен на рисунке ниже. Сначала нарисуйте за пределами пятна соли прямую под любым углом и назовите ее Х, а затем перемещайте ее в направлении соли, параллельно к исходному положению. Прямая пересечет пятно соли в точке А, когда она еще не покрывает площадь пятна, и оставит соль позади в точке В, когда все пятно пройдено. Пересеченная площадь пятна соли меняется непрерывно по мере того, как прямая проходит это пятно, перемещаясь из точки А в точку В. Согласно теореме промежуточного значения, эта прямая обязательно попадет в позицию, в которой пройденная площадь составляет ровно половину общей площади. Наше доказательство не указывает, где именно проходит линия раздела, а только говорит о том, что она однозначно существует.
Теорема о соли
А теперь давайте рассыплем на столе соль и перец. Здесь мы тоже можем доказать наличие прямой, разделяющей их на две части равной площади. Начнем с определения прямой Х, которая делит пополам пятно соли и не касается перца, как показано на рисунке ниже. Затем повернем прямую по часовой стрелке, не забывая следить за тем, чтобы она постоянно разбивала пятно соли на две равные части. Мы знаем, что это можно сделать, поскольку, как было показано выше, деление пятна соли пополам происходит под любым углом. Наша прямая касается пятна перца в точке А и выходит за его пределы в точке В. Покрытая площадь пятна перца увеличивается непрерывно от ноля до максимума, а значит, прямая обязательно пройдет ту точку, в которой она тоже делит пятно перца на две равные части. На рисунке пятна соли и перца расположены отдельно, но, даже если бы они пересекались, всегда найдется прямая, которая разделит их на две части равной площади.
Теорема о соли и перце
В период между Первой и Второй мировыми войнами математики из Львова (тогда Польша) регулярно встречались в Шотландском кафе и обсуждали там такие математические «лакомства», как теорема о блинах [3]. Один из членов группы Гуго Штейнгауз как-то задал вопрос о том, можно ли расширить эту теорему на три измерения. «Можем ли мы положить кусок окорока под нож мясорезки так, чтобы мясо, жир и кости были разрезаны ровно пополам?» — спросил он. Его друг Стефан Банах доказал, что это возможно, воспользовавшись теоремой, названной именами двух других участников группы — Станислава Улама и Кароля Барсука. Впоследствии вывод Банаха получил известность под названием «теорема о бутерброде с ветчиной», поскольку он эквивалентен утверждению о том, что можно разрезать бутерброд с ветчиной поровну одним движением ножа таким образом, что каждый слой хлеба и ветчины будет разделен поровну независимо от их исходного положения и формы.
Математики, которые собирались в Шотландском кафе, записывали в толстую тетрадь все обсуждаемые во время встреч вопросы, а когда уходили домой, отдавали ее на хранение метрдотелю. Эта тетрадь, впоследствии получившая название «Шотландская книга», представляет собой уникальный продукт совместной работы, и не только из-за того, как она написана. (Эта тетрадь так и не была издана в виде книги, но некоторые из записанных в ней задач были опубликованы впоследствии в журналах.) Штейнгауз, Банах и Улам были выдающимися математиками, образовавшими самую талантливую троицу ученых, когда-либо существовавшую где бы то ни было. В 1941 году, через несколько дней после того, как Штейнгауз записал в этой тетради, как оказалось, последнюю задачу, немецкие войска оккупировали Львов. Штейнгауз, который был евреем, скрылся и пережил войну в небольшом городке возле Кракова под именем умершего лесника. В эти годы он восстановил по памяти большинство известных ему математических задач и работал над новыми, в том числе и еще над одной, связанной с едой.
Штейнгауз хотел найти самый справедливый способ разделить пирог между людьми, когда каждый стремится получить как можно больший кусок. Когда на пирог претендует всего два человека, с давних времен используется следующий подход: один режет, другой выбирает. При таком подходе тот, кто режет пирог, заинтересован разделить его на максимально равные части, поскольку если между двумя частями будет заметная разница, ему достанется меньшая часть. Штейнгауз первым решил задачу о том, как справедливо разделить пирог между тремя людьми. (Описание ее решения можно найти в Приложении 7.) После Штейнгауза математические методы разрезания пирога легли в основу целой области знаний, имеющей практическое применение в экономике и политике. Существует много разных вариантов решения этой задачи, в зависимости от того, сколько людей принимает участие в дележе пирога и как они оценивают его разные фрагменты. Один оригинальный способ, найденный в 1960-х годах, подразумевает использование движущегося ножа. Нож размещается рядом с пирогом, а затем медленно передвигается над ним. Когда кто-то выкрикнет «Стоп!», нож разрезает пирог в этом положении, а отрезанный кусок получает тот, кто первым крикнул «Стоп!». Затем нож продолжает движение, отрезая куски оставшимся претендентам.
Гуго Штейнгауза помнят за две самые распространенные пищевые метафоры в математике: теорему о бутерброде с ветчиной и справедливое разрезание пирога. Он постоянно думал о еде. К сожалению, именно еды ему не хватало на протяжении всей жизни.
Один из самых распространенных методов доказательства — доказательство от противного, когда истинность утверждения подкрепляется доводами, что в случае, если оно ложное, это приводит к противоречию. Например:
Теорема. Все числа интересны [4].
Доказательство. Предположим, это утверждение ошибочно, а значит, есть очень скучные числа. Если бы это действительно было так, существовало бы самое малое скучное число. Однако сам факт наличия такого числа делает его интересным. Другими словами, термин «самое малое скучное число» противоречит сам себе. В этом и состоит несоответствие. Это утверждение не может быть ложным, стало быть, оно должно быть истинным.
